高考数学总复习 95 线面面面垂直的判定与性质但因为测试 新人教B版.docx

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高考数学总复习95线面面面垂直的判定与性质但因为测试新人教B版

高考数学总复习9-5线面、面面垂直的判定与性质但因为测试新人教B版

1.（2011·北京西城模拟）已知两条不同的直线a，b和两个不同的平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　C

⇒a⊥b；

⇒α⊥β.

2．（文）（2011·唐山模拟）已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线a，在平面α内一定存在一条直线b，使得a与b（　　）

A．平行　　B．相交　　

C．异面　　D．垂直

[答案]　D

[解析]　当a与α相交时，平面内不存在直线与a平行；当a∥α时，平面内不存在直线与a相交；当a⊂平面α时，平面α内不存在直线与a异面；无论a在何位置，a在平面α内总有射影a′，当b⊂α，b⊥a′时，有b⊥a，故选D.

（理）（2011·青岛模拟）设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：

①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确命题的个数为（　　）

A．3　　　　B．2　　　　

C．1　　　　D．0

[答案]　C

[解析]　⇒α⊥β；l∥β，此时可能l⊂β，l⊥α，此时l与α还可能平行、斜交，故选C.

3．（文）（2011·东莞模拟）若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：

①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；

③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.

其中的真命题有（　　）

A．0个B．1个

C．2个D．3个

[答案]　C

[解析]　①中α与β可能平行，故①错，②③正确．

（理）（2011·北京市朝阳区模拟）设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题

①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β.

其中正确的命题是（　　）

A．①②B．②③

C．②④D．③④

[答案]　D

[解析]　对于①：

若α⊥β，β⊥γ，则可能α⊥γ，也可能α∥γ.对于②：

若l上两点到α的距离相等，则l∥α，显然错误．当l⊥α，l∩α＝A时，l上到A距离相等的两点到α的距离相等．③④显然正确．

4．（2011·安徽省皖南八校联考）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　）

A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α

B．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m

C．若l∥α，l∥m，则m∥α

D．若l∥α，m∥α，则l∥m

[答案]　B

[解析]　直线垂直于平面中两条相交直线，才能垂直于平面，故A错；C中m可能包含在平面α中；D中两条直线可能平行、相交或异面．

5.（2011·广东省深圳市高三调研）如下图，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（　　）

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

[答案]　C

[解析]　要判断两个平面的垂直关系，就需找一个平面内的一条直线与另一个平面垂直．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.所以选C.

6．（文）（2011·济宁三模）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为（　　）

A.B.

C.D.

[答案]　B

[解析]　解法1：

取BC中点E，连接AE、A1E，过点A作AF⊥A1E，垂足为F.

∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥BC，

∵AB＝AC.∴AE⊥BC.

∴BC⊥平面AEA1.

∴BC⊥AF，又AF⊥A1E，

∴AF⊥平面A1BC.

∴AF的长即为所求点A到平面A1BC的距离．

∵AA1＝1，AE＝，∴AF＝.

解法2：

VA1－ABC＝S△ABC·AA1＝××1＝.

又∵A1B＝A1C＝，

在△A1BE中，A1E＝＝2.

∴S△A1BC＝×2×2＝2.

∴VA－A1BC＝×S△A1BC·h＝h.

∴h＝，∴h＝.∴点A到平面A1BC距离为.

（理）（2011·海淀检测）若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（　　）

A.B．1

C.D.

[答案]　D

[解析]　依题可知∠B1AB＝60°，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，A1C1⊂平面A1B1C1D1，

∴B1B即为所求距离，在△ABB1中得，

B1B＝.故选D.

7．（文）（2011·扬州模拟）已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）

[答案]　充分不必要

[解析]　若l⊥α，则l垂直于平面α内的任意直线，故l⊥m且l⊥n，但若l⊥m且l⊥n，不能得出l⊥α.

（理）（2011·揭阳模拟）设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：

①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面，其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的序号是________．

[答案]　②③

[解析]　当x、y为直线，z为平面时，有x⊥z，y⊥z⇒x∥y；当x、y为平面，z为直线时，有x⊥z，y⊥z⇒x∥y，故②③正确．

[点评]　由正方体交于同一个顶点的三条棱和三个面知①④均使命题为假命题．

8．（2011·苏州模拟）已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：

①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；

②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；

③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；

④若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n.

其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）________．

[答案]　①④

⇒α⊥β；

②如下图，m为B1C1，n为A1B1，α为平面ADD1A1，β为平面ABCD，满足②的条件，故②错；

③在上图中，将A1B1、B1C1改为m、n，满足m⊥α，n⊥β，m⊥n，故③错；

⇒m⊥n.

9．如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

[答案]　DM⊥PC

[解析]　∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，

∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA，

∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC，

故当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，有PC⊥平面MBD，

从而有平面PCD⊥平面MBD.

10．（文）（2010·山东临沂）在直平行六面体AC1中，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，AC∩BD＝O，AB＝AA1.

（1）求证：

C1O∥平面AB1D1；

（2）求证：

平面AB1D1⊥平面ACC1A1.

[证明]　

（1）连接A1C1交B1D1于O1，连接AO1.

在平行四边形AA1C1C中，C1O1∥AO，C1O1＝AO，

∴四边形AOC1O1为平行四边形，∴C1O∥AO1.

∵C1O⊄平面AB1D1，AO1⊂平面AB1D1，

∴C1O∥平面AB1D1.

（2）在直平行六面体AC1中，

A1A⊥平面A1B1C1D1，∴A1A⊥B1D1.

∵四边形A1B1C1D1为菱形，∴B1D1⊥A1C1.

∵A1C1∩AA1＝A1，A1C1⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，∴B1D1⊥平面ACC1A1.

∵B1D1⊂平面AB1D1，∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1.

（理）（2011·广东省广州市调研）如下图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝4，AB＝2DC＝2.

（1）求证：

BD⊥平面PAD；

（2）求三棱锥A－PCD的体积．

[解析]　

（1）证明：

在△ABD中，由于AD＝2，BD＝4，AB＝2，∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD.

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.

（2）解：

过P作PO⊥AD交AD于O.又平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD.

∵△PAD是边长为2的等边三角形，∴PO＝.

由

（1）知，AD⊥BD，在Rt△ABD中，

斜边AB边上的高为h＝＝.

∵AB∥DC，∴S△ACD＝CD×h＝××＝2.

∴VA－PCD＝VP－ACD＝S△ACD×PO＝×2×＝.

11.（2011·广东广州一模）已知l，m是不同的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是（　　）

A．若l⊥α，α⊥β，则l∥β

B．若l∥α，α⊥β，则l∥β

C．若l⊥m，α∥β，m⊂β，则l⊥α

D．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m

[答案]　D

[解析]　⇒l⊥m.

12．（文）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，考察下列命题，其中正确的命题是（　　）

A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β

B．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n

C．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n

D．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β

[答案]　B

[解析]　如下图

（1）满足m⊥α，n⊂β，m⊥n，但β∥α，故A错；

⇒m⊥n，故B对；

如图

（2）满足α⊥β，m⊥α，n∥β，但m∥n，故C错；

如图（3）α⊥β，α∩β＝m，

AB⊥m于B，BC⊥m于B，直线AC为直线n，显然满足D的条件，但不能得出n⊥β.故D错．∴选B.

（理）如下图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，A1D与BC1所成的角为，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（　　）

A.B.

C.D.

[答案]　B

[解析]　连接B1C，∴B1C∥A1D，

∵A1D与BC1所成的角为，∴B1C⊥BC1，

∴长方体ABCD－A1B1C1D1为正方体，取B1D1的中点M，连接C1M，BM，∴C1M⊥平面BB1D1D，∴∠C1BM为BC1与平面BB1D1D所成的角，

∵AB＝BC＝2，∴C1M＝，BC1＝2，

∴sin∠C1BM＝＝，故选B.

13．（文）（2010·河北唐山）如下图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∠ADC＝90°，且AA1＝AD＝DC＝2，M∈平面ABCD，当D1M⊥平面A1C1D时，DM＝________.

[答案]　2

[解析]　∵DA＝DC＝DD1且DA、DC、DD1两两垂直，故当点M使四边形ADCM为正方形时，D1M⊥平面A1C1D，∴DM＝2.

（理）（2011·西安模拟）在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．

[答案]　60°

[解析]　

如上图，取BC中点E，连结DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE＝，DE＝，

tan∠ADE＝＝＝，∴∠ADE＝60°.

14．（文）如下图，已知在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，