启迪教育一元一次方程讲义新的.docx

启迪教育一元一次方程讲义新的.docx

《启迪教育一元一次方程讲义新的.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《启迪教育一元一次方程讲义新的.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

启迪教育一元一次方程讲义新的

第三章《一元一次方程》讲义

一、主要概念

1、方程：

含有未知数的等式叫做方程。

2、一元一次方程：

只含有一个未知数，未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程。

3、方程的解：

使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

4、解方程：

求方程的解的过程叫做解方程。

二、等式的性质

等式的性质1：

等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

等式的性质2：

等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

三、解一元一次方程的一般步骤及根据

1、去分母-------------------等式的性质2

2、去括号-------------------分配律

3、移项----------------------等式的性质1

4、合并----------------------分配律

5、系数化为1--------------等式的性质2

6、验根----------------------把根分别代入方程的左右边看求得的值是否相等

二.解方程。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）4m＋3－3m=0

（7）y－

=3－

（8）4q－3（20－q）=6q－7（9－q）

（9）

（10）

（11）.

（12）.

四、解一元一次方程的注意事项

1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；

2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号；

3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；

4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；

5、系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号；

6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。

七．课堂练习与作业

（一）

1、下列是一元一次方程的是（）

A、2x+1B、x+2y=1C、x2+2=0D、x=3

2、解为x=-3的方程是（）

A、2x-6=0B、

=6C、3（x-2）-2（x-3）=5xD、

3、下列说法错误的是（）

A、若

=

，则x=yB、若x2=y2，则-4ax2=-4ay2

C、若-

x=-6，则x=

D、若1=x，则x=1

4、已知2x2-3=7，则x2+1=_______

5、已知ax=ay，下列等式不一定成立的是（）

A、b+ax=b+ayB、x=yC、ax-y=ay-yD、

=

6、下列方程由前一方程变到后一方程，正确的是（）

A、9x=4,x=-

B、5x=-

x=-

C、0.2x=1,x=0.2D、-0.5x=-

x=1

7、方程2x-kx+1=5x-2的解是-1时，k=_______

8、解方程2（x-2）-3（4x-1）=9,下列解答正确的是（）

A、2x-4-12x+3=9,-10x=9+4-3=10,x=1；B、2x-4-12x+3=9,-10x=10,x=-1

C、2x-4-12x-3=9,-10x=2,x=-

；D、2x-4-12x-3=9,-10x=10,x=1

9、如果

=6与

的值相等，则x=_________

10、已知方程3x+8=

-a的解满足|x-2|=0，则=_______

11、若方程3x+5=11与6x+3a=22的解相同，则a=______

12、某书中一道方程题

+1=x，处在印刷时被墨盖住了，查后面的答案，这道方程的解为x=-2.5，则处的数字为（）

A、-2.5B、2.5C、5D、7

13、已知3x+1=7,则2x+2=_______

14、|3x-2|=4，则x=____________

15、已知2xm-1+4=0是一元一次方程，则m=________

16、解方程

（1）1+17x=8x+3

（2）2（x+3）-5（1-x）=3（x-1）

（3）

-（x-5）=

-

（4）

+8x=

+4

17、已知关于x的方程（m+1）x|m|+3=0是一元一次方程，求m2-2+3m的值。

18、若（2x-1）3=a+bx+cx2+dx3,要求a+b+c+d的值，可令x=1，原等式变形为

（2×1-1）3=a+b+c+d，所以a+b+c+d=1，想一想，利用上述a+b+c+d的方法，能不能求

（1）a的值

（2）a+c的值？

若能，写出解答过程。

若不能，请说明理由。

五、列方程解应用题的一般步骤

1、审题

2、设未数

3、找相等关系

4、列方程

5、解方程

6、检验

7、写出答案

六、例题

例1、某班有50名学生，准备集体去看电影，买到的电影票中，有1元5角的，有2元的。

已知买电影票总共花88元，问票价是1元5角和2元的电影票各几张？

例2、一架飞机飞行在两城市之间，风速为24千米/时，顺风飞行需2小时50分，逆风飞行需3小时，求两个城市间的飞行路程。

例3、某校组织师生春游，如果单独租用45座车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租1辆，且余30个空座位。

求该校参加春游的人数？

一元一次方程应用题归类

列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。

许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；下面老师就从以下几个方面分门别类的对常见的数学问题加以阐述，希望对同学们有所帮助.

1.和、差、倍、分问题：

（1）倍数关系：

通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。

（2）多少关系：

通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。

 例1.根据2001年3月28日新华社公布的第五次人口普查统计数据，截止到2001年11月1日0时，全国每10万人中具有小学文化程度的人口为35701人，比1990年7月1日减少了3.66%，1990年6月底每10万人中约有多少人具有小学文化程度？

分析：

等量关系为：

2.等积变形问题：

“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。

常用等量关系为：

①形状面积变了，周长没变；

②原料体积＝成品体积。

 例2.用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为

内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？

（结果保留整数

）

分析：

等量关系为：

圆柱形玻璃杯体积＝长方体铁盒的体积

3.劳力调配问题：

这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：

（1）既有调入又有调出；

（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；

（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。

 例3.机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？

4.比例分配问题：

这类问题的一般思路为：

设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。

常用等量关系：

各部分之和＝总量。

 例4.三个正整数的比为1：

2：

4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？

5.数字问题

（1）要搞清楚数的表示方法：

一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：

100a+10b+c。

（2）数字问题中一些表示：

两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。

例5.一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数

等量关系：

 6.工程问题：

　工程问题中的三个量及其关系为：

工作总量=工作效率×工作时间

经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。

 例6.一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？

分析设工程总量为单位1，等量关系为：

 7.行程问题：

（1）行程问题中的三个基本量及其关系：

路程=速度×时间。

（2）基本类型有

　　　　①相遇问题；②追及问题；常见的还有：

相背而行；行船问题；环形跑道问题。

　　（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。

并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。

 　　例7.甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

（1）慢车先开出1小时，快车再开。

两车相向而行。

问快车开出多少小时后两车相遇？

（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？

　　（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？

　　（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？

　　（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？

　　此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。

故可结合图形分析。

（1）分析：

相遇问题，画图表示为：

等量关系是：

（2）分析：

相背而行，画图表示为：

等量关系是：

　　（3）分析：

等量关系为：

快车所走路程－慢车所走路程+480公里=600公里。

　　解：

设x小时后两车相距600公里，由题意得，

（4）分析：

追及问题，画图表示为：

等量关系为：

快车的路程=慢车走的路程+480公里。

解：

设x小时后快车追上慢车。

由题意得，　　

（5）分析：

追及问题，等量关系为：

快车的路程=慢车走的路程+480公里。

解：

8.利润赢亏问题

（1）销售问题中常出现的量有：

进价、售价、标价、利润等

（2）有关关系式：

商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价

商品利润率=商品利润/商品进价

商品售价=商品标价×折扣率

例8.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？

分析：

探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为X元

进价

折扣率

标价

优惠价

利润

x元

8折

（1+40%）x元

80%（1+40%）x

15元

等量关系：

（利润=折扣后价格—进价）折扣后价格－进价=15

解：

设进价为X元，

 9.储蓄问题

⑴顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。

利息的20%付利息税

⑵利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息利息税=利息×税率（20%）

例9.某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。

半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？

（不计利息税）

分析：

等量关系：

本息和=本金×（1+利率）

解：

设半年期的实际利率为x，

答：

此处还有“方案决策问题鸡兔同笼问题购票问题积分问题航行问题”等

课堂练习与作业

（二）

1、某厂去年生产x台机床，今年增长了解情况15﹪，则今年产量为_______台。

2、甲队有54人，乙队有66人，问从甲队调给乙队__________人,能使甲队人数是乙队人数的

？

3、已知父子俩的年龄之和为70岁，且父亲的年龄是儿子年龄的2倍还多10岁，求父亲与儿子的年龄分别是________岁和_________岁。

4、某商品的标价为16.5元，若降价以9折出售，仍可获利10﹪，则该商品的进价为__________元。

5、x与y的平方和用式子表示为_____________。

6、m的3倍与它的一半的差是_________________。

7、某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款共20万元，甲种存款的年利率为1.4﹪,乙种存款的年利率为3.7﹪,该公司共和利息6250元，求甲、乙两种存款各_________和____________万元？

（不考虑利息税）

8、一件工程甲队独做需要8天完成，乙队独需要9天完成，现在先由甲队独做3天，然后乙队来支援，乙队做x天后二人共同完成任务的

，由此条件可列方程为________________________。

9、设x表示两位数，y表示三位数，如果x放在y的在边组成一个五位数，用式子表示这个五位数是_____________

10、某商品标价1315元，打8折售出，仍可获利10﹪，则该商品的进价是____元。

11、甲、乙、丙三辆卡车所运货物的吨数的比是6：

7：

4.5，已知甲车比丙车多运货物12吨，则三辆卡车共运货物___________吨。

12、我镇2004年人均收入是1600元，比2003年的人均收入翻两番（即原来的4倍）还400元，则我镇2003年的人均收入是___________元.

13、某人以每小时4千米的速度由甲地到乙地，然后又以每小时6千米的速度从乙地返回甲地，那么他往返一次的平均速度是每小时______________千米.

14、某商品售价为a元，盈利20﹪，则进价为____________元.

15、某人以貌取人8折的优惠买了一套服装省了25元，则买这套服装实际用了_元.

16、小王取出一年到期的本金及利息时，交了解4.5元的利息税，则小王一年前存入银行的钱是_____________元（年利率为2.25﹪）.

17、某水厂按以下规定收取每月的水费，若每月每户用水不超过20方，则每方水价按1.2元收费，若超过20方，则超过部份按每方按劳取酬2元收费，如果某用户某月所交水费的平均水价为每方1.25元，则他这个月共用了__________方的水。

18、足球比赛计分规则是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队打了解14场负5场共得19分，则这个队胜了________场，负了__________场。

19、光明中学七年级共三个班，向希望小学共捐书385本，一班与二班捐书的本数之比为4：

3，一班与三班捐书之比是6：

7，则二班捐书_________本。

20、某商人一次卖出两件商品，一件赚15﹪，另一件赔15﹪，卖价都是1955元，在这次买卖中，商人（）

A、不赔不赚B、赚90元C、赔90元D、赚100元

21、某学生做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道应用题只看到如下字样：

“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为每小时45千米，运货汽车的速度为每小时35千米，

__________________________________________________?

”请将这道作业题补充完整，并列方程解答。

22、商场出售两种冰箱：

A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度；B型冰箱每台售价比A型冰箱高出10﹪，每日耗电量为0.55度。

现将A型冰箱打八五折出售。

按使用期都是10年，每年都为365天，每度电费0.4元计算。

问购买A型冰箱合算吗？

若不合算，A型冰箱至少要折几折才合算？