人教版八年级数学上册 111 与三角形有关的线段 同步练习题Word版附答案.docx
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人教版八年级数学上册111与三角形有关的线段同步练习题Word版附答案
11.1与三角形有关的线段 同步练习题
11.1.1三角形的边
基础题
知识点 1三角形的概念
1.一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形,其中符合三角形概念的是()
2.如图,以 CD 为公共边的三角形是;∠EFB 是的内角;在
△BCE 中,BE 所对的角是,∠CBE 所对的边是 EC;以∠A 为公共角的三角形
有.
3.如图,过 A,B,C,D,E 五个点中任意三点画三角形.
(1)其中以 AB 为一边可以画出个三角形;
(2)其中以 C 为顶点可以画出个三角形.
知识点 2三角形的分类
4.下列关于三角形按边分类的图示中,正确的是()
5.下列说法正确的是()
A.所有的等腰三角形都是锐角三角形
B.等边三角形属于等腰三角形
C.不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形
D.一个三角形里有两个锐角,则一定是锐角三角形
6.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡,其中不能判断三角形类型的是()
ABCD
知识点 3三角形的三边关系
7.(金华中考)(教材 P4 练习 T2 变式)下列各组数中,不可能成为一个三角形三边长的是()
A.2,3,4B.5,7,7C.5,6,12D.6,8,10
8.如图,为估计池塘岸边 A,B 两点的距离,小方在池塘的一侧选取一点 O,测得 OA=15 米,OB
=10 米,A,B 间的距离不可能是()
A.5 米B.10 米C.15 米D.20 米
.在ABC 中,若 AB=5,BC=2,且 AC 的长为奇数,则 AC=5.
易错点没有验证是否满足三角形的三边关系致错
10.(教材 P8 习题 11.1T6 变式)已知等腰三角形的周长为 16 cm,若其中一边长为 4 cm,求另外两边
长.
中档题
11.(教材 P8 习题 11.1T1 变式)如图,图中三角形的个数是()
A.3B.4C.5D.6
12.下列长度的三条线段能组成三角形的是()
A.5,6,10B.5,6,11C.3,4,8D.4a,4a,8a(a>0)
13.(扬州中考)若一个三角形的两边长分别为 2 和 4,则该三角形的周长可能是()
A.6B.7C.11D.12
14.(教材 P8 习题 11.1T2 变式)有四条线段,长分别为 3 cm,5 cm,7 cm,9 cm,如果用这些线段组
成三角形,可以组成个三角形.
15.已知三角形的两边长分别为 2 cm 和 7 cm,最大边的长为 a cm,则 a 的取值范围是.
16.(大庆中考)如图,①是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点得到图形②,再连接图②
中间小三角形三边的中点得到图③,按这样的方法进行下去,第 n 个图形中共有三角形的个数为
.
17.(教材 P3 例题改编)用一条长为 25 cm 的绳子围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的 2 倍,那么三角形的各边长是多少?
(2)能围成有一边的长是 6 cm 的等腰三角形吗?
为什么?
18.已知 a,b,c 是△ABC 的三边长.
(1)若 a,b,c 满足|a-b|+|b-c|=0,试判断△ABC 的形状;
(2)若 a,b,c 满足(a-b)(b-c)=
,试判断ABC 的形状;
(3)化简:
|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|.
综合题
19.如图,点 P 是△ABC 内部的一点.
(1)度量线段 AB,AC,PB,PC 的长度,根据度量结果比较 AB+AC 与 PB+PC 的大小;
(2)改变点 P 的位置,上述结论还成立吗?
(3)你能说明上述结论为什么正确吗?
11.1.2三角形的高、中线与角平分线
11.1.3三角形的稳定性
基础题
知识点 1三角形的高
1.(教材 P5 练习 T1 变式)下列各图中,画出 AC 边上的高,正确的是()
2.如图,AD⊥BC 于 D,那么图中以 AD 为高的三角形有 6 个.
.如图,在ABC 中,∠C=90°.
(1)指出图中 BC,AC 边上的高;
(2)画出 AB 边上的高 CD;
(3)若 BC=3,AC=4,AB=5,求 AB 边上的高 CD 的长.
知识点 2三角形的中线
4.(教材 P8 习题 11.1T4 变式)如图,如果 AD 是△ABC 的中线,那么下列结论:
①BD=CD;②AB
1
=AC;③S△ABD=2S△ABC.其中一定成立的有()
A.3 个B.2 个C.1 个D.0 个
5.三角形的三条中线相交于一点,这个点一定在三角形的内部,这个点叫做三角形的.
6.如图,已知 BD 是△ABC 的中线,AB=5,BC=3,△ABD 和△BCD 的周长的差是.
7.如图,AD 是△ABC 的中线,AE 是△ABD 的中线,若 DE=3 cm,则 EC=.
知识点 3三角形的角平分线
8.如图,若∠1=∠2,∠3=∠4.下列结论中错误的是()
A.AD 是△ABC 的角平分线B.CE 是△ACD 的角平分线
1
2
9.如图所示,AD 是△ABC 的角平分线,AE 是△ABD 的角平分线.若∠BAC=80°,则∠EAD 的
度数是()
A.20°B.30°C.45°D.60°
10.如图,D 是△ABC 中 BC 边上的一点,DE∥AC 交 AB 于点 E,若∠EDA=∠EAD,试说明 AD
是△ABC 的角平分线.
知识点 4三角形的稳定性
11.如图,工人师傅砌门时,常用木条 EF 固定长方形门框 ABCD,使其不变形,这样做的根据是
()
A.两点之间线段最短B.两点确定一条直线
C.三角形具有稳定性D.长方形的四个角都是直角
12.如图,把手机放在一个支架上面,就可以非常方便地使用,这是因为手机支架利用了三角形的
性.
中档题
13.下列有关三角形的说法:
①中线、角平分线、高都是线段;②三条高必交于一点;③三条角平
分线必交于一点;④三条高必在三角形内.其中正确的是()
A.①②B.①③C.②④D.③④
14.(教材 P9 习题 11.1T10 变式)如图,六根木条钉成一个六边形框架 ABCDEF,要使框架稳固且不
活动,至少还需要添根木条.
15.(原创题)如图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图,你能分析出他们各自折纸的意图吗?
简述
你判断的理由.
16.(教材 P9 习题 11.1T8 变式
如图,在ABC 中,AD⊥BC,BE⊥AC,BC=12,AC=8,AD=
6,BE 的长为多少?
17.如图,网格小正方形的边长都为
,在ABC 中,标出三角形重心的位置,并猜想重心将中线
分成的两段线段之间的关系.
综合题
18.(娄底中考改编)如图,在
ABC 中,∠ABC=90°,点 D 沿 BC 自 B 向 C 运动(点 D 与点 B,
C 不重合),作 BE⊥AD 于 E,CF⊥AD 于 F,在 D 点的运动过程中,试判断 BE+CF 的值是否发生
改变?
小专题 1三角形中线段的相关应用
类型 1三角形的三边关系
1.已知不等边三角形的一边等于 5,另一边等于 3,若第三边长为奇数,则周长等于()
A.13B.11C.11,13 或 15D.15
2.在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,其周长为 20 cm,求 AB 边的取值范围.
解:
设 AB=AC=x,则 BC=20-2x.
∴0<20-2x<2x.
∴5<x<10.
类型 2三角形高的应用
3.已知 AD 是△ABC 的高,∠BAD=70°,∠CAD=20°,求∠BAC 的度数.
.如图,在ABC 中,AB=AC,DE⊥AB,DF⊥AC,BG⊥AC,垂足分别为点 E,F,G.求证:
DE+DF=BG.
类型 3三角形中线的应用
5.如图,已知 BE=CE,ED 为△EBC 的中线,BD=
,AEC 的周长为
,则ABC 的周长为
()
A.40B.46C.50D.56
6.(广东中考改编
如图,ABC 的三边的中线 AD,BE,CF 的公共点为 G,且 AG∶GD=2∶1,
若 S△ABC=12,则图中阴影部分的面积是.
.在ABC 中,已知点 D,E,F 分别为 BC,AD,CE 的中点.
(1)如图 1,若 S△ABC=1 cm
,求BEF 的面积;
(2)如图 2,若 S△BFC=1,则 S△ABC=(提示:
对比第
(1)题,先作辅助线).
类型 4三角形角平分线的应用
8.
(1)如图,在△ABC 中,D,E,F 是边 BC 上的三点,且∠1=∠2=∠3=∠4,以 AE 为角平分
线的三角形有;
(2)如图,若已知 AE 平分∠BAC,且∠1=∠2=∠4=15°,计算∠3 的度数,并说明 AE 是
△DAF 的角平分线.
11.1与三角形有关的线段 同步练习题参考答案
11.1.1三角形的边
基础题
知识点 1三角形的概念
1.一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形,其中符合三角形概念的是(D)
2.如图,以 CD 为公共边的三角形是△CDF,△CDB;∠EFB 是△EFB 的内角;在△BCE 中,BE
所对的角是∠ ECB ,∠ CBE 所对的边是EC ;以∠ A 为公共角的三角形有△ ADB ,△ AEC ,
△ABC.
3.如图,过 A,B,C,D,E 五个点中任意三点画三角形.
(1)其中以 AB 为一边可以画出 3 个三角形;
(2)其中以 C 为顶点可以画出 6 个三角形.
提示:
(1)如图,以 AB 为一边的三角形有△ABC,△ABD,△ABE 共 3 个.
(2)如图,以点 C 为顶点的三角形有△ABC、△BEC、△BCD、△ACE、△ACD、△CDE 共 6 个.
知识点 2三角形的分类
4.下列关于三角形按边分类的图示中,正确的是(D)
5.下列说法正确的是(B)
A.所有的等腰三角形都是锐角三角形
B.等边三角形属于等腰三角形
C.不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形
D.一个三角形里有两个锐角,则一定是锐角三角形
6.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡,其中不能判断三角形类型的是(C)
ABCD
知识点 3三角形的三边关系
7.(金华中考)(教材 P4 练习 T2 变式)下列各组数中,不可能成为一个三角形三边长的是(C)
A.2,3,4B.5,7,7C.5,6,12D.6,8,10
8.如图,为估计池塘岸边 A,B 两点的距离,小方在池塘的一侧选取一点 O,测得 OA=15 米,OB
=10 米,A,B 间的距离不可能是(A)
A.5 米B.10 米C.15 米D.20 米
.在ABC 中,若 AB=5,BC=2,且 AC 的长为奇数,则 AC=5.
易错点没有验证是否满足三角形的三边关系致错
10.(教材 P8 习题 11.1T6 变式)已知等腰三角形的周长为 16 cm,若其中一边长为 4 cm,求另外两边
长.
解:
若腰长为 4 cm,则底边长为 16-4-4=8(cm).
三边长为 4 cm,4 cm,8 cm,不符合三角形三边关系定理.这样的三边不能围成三角形,
所以应该是底边长为 4 cm.所以腰长为(16-4)÷2=6(cm).三边长为 4 cm,6 cm,6 cm,符合
三角形三边关系定理,所以另外两边长都为 6 cm.
中档题
11.(教材 P8 习题 11.1T1 变式)如图,图中三角形的个数是(C)
A.3B.4C.5D.6
12.下列长度的三条线段能组成三角形的是(A)
A.5,6,10
B.5,6,11
C.3,4,8
D.4a,4a,8a(a>0)
13.(扬州中考)若一个三角形的两边长分别为 2 和 4,则该三角形的周长可能是(C)
A.6
B.7
C.11
D.12
14.(教材 P8 习题 11.1T2 变式)有四条线段,长分别为 3 cm,5 cm,7 cm,9 cm,如果用这些线段组
成三角形,可以组成 3 个三角形.
15.已知三角形的两边长分别为 2 cm 和 7 cm,最大边的长为 a cm,则 a 的取值范围是 7≤a 9.
16.(大庆中考)如图,①是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点得到图形②,再连接图②
中间小三角形三边的中点得到图③,按这样的方法进行下去,第n 个图形中共有三角形的个数为(4n
-3).
17.(教材 P3 例题改编)用一条长为 25 cm 的绳子围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的 2 倍,那么三角形的各边长是多少?
(2)能围成有一边的长是 6 cm 的等腰三角形吗?
为什么?
解:
(1)设底边长为 x cm,则腰长为 2x cm,根据题意,得 2x+2x+x=25.解得 x=5.
∴三角形的三边长分别为 10 cm,10 cm,5 cm.
(2)若长为 6 cm 的边是腰,则底边长为:
25-6×2=13(cm).
∵6+6<13,∴不能围成三角形,即长为 6 cm 的边不能为腰长;
若长为 6 cm 的边是底边,则腰长为:
(25-6)÷2=9.5(cm),满足三角形的三边关系.
综上所述,能围成底边长是 6 cm 的等腰三角形,且三角形的三边长分别为 9.5 cm,9.5 cm,6
cm.
18.已知 a,b,c 是△ABC 的三边长.
(1)若 a,b,c 满足|a-b|+|b-c|=0,试判断△ABC 的形状;
(2)若 a,b,c 满足(a-b)(b-c)=
,试判断ABC 的形状;
(3)化简:
|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|.
解:
(1)∵|a-b|+|b-c|=0,
∴a-b=0 且 b-c=0.∴a=b=c.
∴△ABC 为等边三角形.
(2)∵(a-b)(b-c)=0,∴a-b=0 或 b-c=0.
∴a=b 或 b=
∴ABC 为等腰三角形.
(3)∵a,b,c 是△ABC 的三边长,
∴a-b-c<0,b-c-a<0,c-a-b<0.
∴原式=-a+b+c-b+c+a-c+a+b
=a+b+c.
综合题
19.如图,点 P 是△ABC 内部的一点.
(1)度量线段 AB,AC,PB,PC 的长度,根据度量结果比较 AB+AC 与 PB+PC 的大小;
(2)改变点 P 的位置,上述结论还成立吗?
(3)你能说明上述结论为什么正确吗?
解:
(1)如图有:
AB+AC>PB+PC.
(2)改变点 P 的位置,上述结论还成立.
(3)连接 AP,BP,CP,延长 BP 交于 AC 于点 E,
在△ABE 中有,AB+AE>BE=BP+PE.①
在△CEP 中有,PE+CE>PC.②
①+②,得 AB+AE+PE+CE>BP+PE+PC,
即 AB+AC+PE>BP+PE+PC,
∴AB+AC>BP+PC.
11.1.2三角形的高、中线与角平分线
11.1.3三角形的稳定性
基础题
知识点 1三角形的高
1.(教材 P5 练习 T1 变式)下列各图中,画出 AC 边上的高,正确的是(D)
2.如图,AD⊥BC 于 D,那么图中以 AD 为高的三角形有 6 个.
.如图,在ABC 中,∠C=90°.
(1)指出图中 BC,AC 边上的高;
(2)画出 AB 边上的高 CD;
(3)若 BC=3,AC=4,AB=5,求 AB 边上的高 CD 的长.
解:
(1)BC 边上的高是 AC,AC 边上的高是 BC.
(2)如图所示.
11
(3)∵
ABC=2AC·BC=2AB·CD,
∴3×4=5CD.∴CD=2.4.
知识点 2三角形的中线
4.(教材 P8 习题 11.1T4 变式)如图,如果 AD 是△ABC 的中线,那么下列结论:
①BD=CD;②AB
1
=AC;③S△ABD=2S△ABC.其中一定成立的有(B
A.3 个B.2 个C.1 个D.0 个
5.三角形的三条中线相交于一点,这个点一定在三角形的内部,这个点叫做三角形的重心.
6.如图,已知 BD 是△ABC 的中线,AB=5,BC=3,△ABD 和△BCD 的周长的差是 2.
7.如图,AD 是△ABC 的中线,AE 是△ABD 的中线,若 DE=3 cm,则 EC=9__cm.
知识点 3三角形的角平分线
8.如图,若∠1=∠2,∠3=∠4.下列结论中错误的是(D)
A.AD 是△ABC 的角平分线B.CE 是△ACD 的角平分线
1
2
9.如图所示,AD 是△ABC 的角平分线,AE 是△ABD 的角平分线.若∠BAC=80°,则∠EAD 的
度数是(A)
A.20°B.30°C.45°D.60°
10.如图,D 是△ABC 中 BC 边上的一点,DE∥AC 交 AB 于点 E,若∠EDA=∠EAD,试说明 AD
是△ABC 的角平分线.
证明:
∵DE∥AC,
∴∠EDA=∠CAD.
∵∠EDA=∠EAD,
∴∠CAD=∠EAD.
∴AD 是△ABC 的角平分线.
知识点 4三角形的稳定性
11.如图,工人师傅砌门时,常用木条 EF 固定长方形门框 ABCD,使其不变形,这样做的根据是
(C)
A.两点之间线段最短B.两点确定一条直线
C.三角形具有稳定性D.长方形的四个角都是直角
12.如图,把手机放在一个支架上面,就可以非常方便地使用,这是因为手机支架利用了三角形的
稳定性.
中档题
13.下列有关三角形的说法:
①中线、角平分线、高都是线段;②三条高必交于一点;③三条角平
分线必交于一点;④三条高必在三角形内.其中正确的是(B)
A.①②B.①③C.②④D.③④
14.(教材 P9 习题 11.1T10 变式)如图,六根木条钉成一个六边形框架 ABCDEF,要使框架稳固且不
活动,至少还需要添 3 根木条.
15.(原创题)如图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图,你能分析出他们各自折纸的意图吗?
简述
你判断的理由.
解:
甲折出的是 BC 边上的高 AD,
由图可知∠ADC=∠ADC′,
∴∠ADC=90°,即 AD 为 BC 边上的高.
乙折出的是∠BAC 的平分线 AD,
由图可知∠CAD=∠C′AD,即 AD 平分∠BAC.
丙折出的是 BC 边上的中线 AD,
由图可知 CD=BD,∴AD 是 BC 边上的中线.
16.(教材 P9 习题 11.1T8 变式
如图,在ABC 中,AD⊥BC,BE⊥AC,BC=12,AC=8,AD=
6,BE 的长为多少?
1
解:
∵
ABC=2BC·AD
1
2
=36,
1
又∵
ABC=2AC·BE,
1
2
17.如图,网格小正方形的边长都为
,在ABC 中,标出三角形重心的位置,并猜想重心将中线
分成的两段线段之间的关系.
解:
如图所示,AB 与 AC 两边的中线的交点 D 即为重心.
重心将每条中线分成 1∶2 两部分,BD=2ED,CD=2DF.
综合题
18.(娄底中考改编)如图,在
ABC 中,∠ABC=90°,点 D 沿 BC 自 B 向 C 运动(点 D 与点 B,
C 不重合),作 BE⊥AD 于 E,CF⊥AD 于 F,在 D 点的运动过程中,试判断 BE+CF 的值是否发生
改变?
解:
由
ABC=
ACD+
ABD,得
1111
2222
∵△ABC 的面积不变,且点 D 由点 B 运动到点 C,AD 的长度逐渐变大,
∴BE+CF 的值逐渐减小.
小专题 1三角形中线段的相关应用
类型 1三角形的三边关系
1.已知不等边三角形的一边等于 5,另一边等于 3,若第三边长为奇数,则周长等于(D)
A.13B.11C.11,13 或 15D.15
2.在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,其周长为 20 cm,求 AB 边的取值范围.
解:
设 AB=AC=x,则 BC=20-2x.
∴0<20-2x<2x.
∴5<x<10.
类型 2三角形高的应用
3.已知 AD 是△ABC 的高,∠BAD=70°,∠CAD=20°,求∠BAC 的度数.
解:
当高 AD 在△ABC 的内部时(如图 1),∠BAC=90°.当高 AD 在△ABC 的外部时(如图 2),
∠BAC=50°.
综上可知,∠BAC 的度数为 90°或 50°.
.如图,在ABC 中,AB=AC,DE⊥AB,DF⊥AC,BG⊥AC,垂足分别为点 E,F,G.求证:
DE+DF=BG.
证明:
连接 AD,
∵
ABC=
ABD+
ADC,
111
222
又∵AB=AC,
∴BG=DE+DF.
类型 3三角形中线的应用
5.如图,已知 BE=CE,ED 为△EBC 的中线,BD=
,AEC 的周长为
,则ABC 的周长为
(A)
A.40B.46C.50D.56
6.(广东中考改编
如图,ABC 的三边的中线 AD,BE,CF 的公共点为 G,且 AG∶GD=2∶1,
若 S△ABC=12,则图中阴影部分的面积是 4.
.在ABC 中,已知点 D,E,F 分别为 BC,AD,CE 的中点.
(1)如图 1,若 S△ABC=1 cm
,求BEF 的面积;
(2)如图 2,若 S△BFC=1,则 S△ABC=4(提示:
对比第
(1)题,先作辅助线).
解:
由中线平分三角形的面积,可得
BED =
CED ,
BEF =
BCF ,∴ S△BEC =
BED =
11
BEF,∴
BED=
BEF=
ABE,同理可得
ACE=
CDE=
BEF,∴
BEF=4S△ABC=4.
类型 4三角形角平分线的应用
8.
(1)如图,在△ABC 中,D,E,F 是边 BC 上的三点,且∠1=∠2=∠3=∠4,以 AE 为角平分
线的三角形有△ABC 和△ADF;
(2)如图,若已知 AE 平分∠BAC,且∠1=∠2=∠4=15°,计算∠3 的度数,并说明 AE 是
△DAF 的角平分线.
解:
∵AE 平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE.
又∵∠1=∠2=15°,
∴∠BAE=∠1+∠2
=15°+15°
=30°.
∴∠CAE=∠BAE=30°,
即∠CAE=∠4+∠3=30°.
又∵∠4=15°,∴∠3=15°.
∴∠2=∠3=15°.
∴AE 是△DAF 的角平分线.