（1）＝________.
解析
（1）f（x）为偶函数，则ln（x＋）为奇函数，
所以ln（x＋）＋ln（－x＋）＝0，
即ln（a＋x2－x2）＝0，∴a＝1.
（2）因为f（x）是周期为2的奇函数，
所以f
（1）＝f（－1）＝－f
（1），即f
（1）＝0，
又f＝f＝－f＝－4＝－2，
从而f＋f
（1）＝－2.
答案
（1）1
（2）－2
热点二 函数图象的问题
[微题型1] 函数图象的变换与识别
【例2－1】
（1）（2016·成都诊断）已知f（x）＝2x－1，g（x）＝1－x2，规定：
当|f（x）|≥g（x）时，h（x）＝|f（x）|；当|f（x）|＜g（x）时，h（x）＝－g（x），则h（x）（ ）
A.有最小值－1，最大值1
B.有最大值1，无最小值
C.有最小值－1，无最大值
D.有最大值－1，无最小值
（2）函数f（x）＝sinx的大致图象为（ ）
解析
（1）由题意得，利用平移变换的知识画出函数|f（x）|，g（x）的图象如图，而h（x）＝
故h（x）有最小值－1，无最大值.
（2）由y1＝－x为奇函数，
y2＝sinx为奇函数，可得函数f（x）＝sinx为偶函数，因此排除C、D.又当x＝时，y1＜0，y2＞0，f＜0，因此选B.
答案
（1）C
（2）B
探究提高
（1）作图：
常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换.尤其注意y＝f（x）与y＝f（－x）、y＝－f（x）、y＝－f（－x）、y＝f（|x|）、y＝|f（x）|及y＝af（x）＋b的相互关系.
（2）识图：
从图象与x轴的交点及值域、单调性、变化趋势、对称性、特殊值等方面找准解析式与图象的对应关系.
[微题型2] 函数图象的应用
【例2－2】
（1）已知函数f（x）＝若|f（x）|≥ax，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，0]B.（－∞，1）
C.[－2，1]D.[－2，0]
（2）（2015·全国Ⅰ卷）设函数f（x）＝ex（2x－1）－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）<0，则实数a的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
解析
（1）函数y＝|f（x）|的图象如图.y＝ax为过原点的一条直线，
当a＞0时，与y＝|f（x）|在y轴右侧总有交点，不合题意；当a＝0时成立；当a＜0时，找与y＝|－x2＋2x|（x≤0）相切的情况，即y′＝2x－2，切线方程为y＝（2x0－2）（x－x0），由分析可知x0＝0，所以a＝－2，综上，a∈[－2，0].
（2）设
g（x）＝ex（2x－1），h（x）＝ax－a，由题知存在唯一的整数x0，使得g（x0）＜ax0－a，
因为g′（x）＝ex（2x＋1），可知g（x）在上单调递减，在上单调递增，作出g（x）与h（x）的大致图象如图所示，
故
即所以≤a<1，故选D.
答案
（1）D
（2）D
探究提高
（1）涉及到由图象求参数问题时，常需构造两个函数，借助两函数图象求参数范围.
（2）图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.
【训练2】（2016·安庆二模）已知函数f（x）＝|x－2|＋1，g（x）＝kx.若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（ ）
A.B.
C.（1，2）D.（2，＋∞）
解析 由f（x）＝g（x），∴|x－2|＋1＝kx，即|x－2|＝kx－1，所以原题等价于函数y＝|x－2|与y＝kx－1的图象有2个不同交点.
如图：
∴y＝kx－1在直线y＝x－1与y＝x－1之间，
∴＜k＜1，故选B.
答案 B
热点三 函数的零点与方程根的问题
[微题型1] 函数零点的判断
【例3－1】
（1）函数f（x）＝log2x－的零点所在的区间为（ ）
A.B.
C.（1，2）D.（2，3）
（2）（2016·武汉二模）函数f（x）＝4cos2cos－2sinx－|ln（x＋1）|的零点个数为________.
解析
（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且函数f（x）在（0，＋∞）上为增函数.
f＝log2－＝－1－2＝－3＜0，
f
（1）＝log21－＝0－1＜0，
f
（2）＝log22－＝1－＝＞0，
f（3）＝log23－＞1－＝＞0，即f
（1）·f
（2）＜0，
∴函数f（x）＝log2x－的零点在区间（1，2）内.
（2）f（x）＝4cos2sinx－2sinx－|ln（x＋1）|＝2sinx·－|ln（x＋1）|＝sin2x－|ln（x＋1）|，令f（x）＝0，得sin2x＝|ln（x＋1）|.在同一坐标系中作出两个函数y＝sin2x与函数y＝|ln（x＋1）|的大致图象如图所示.
观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f（x）有2个零点.
答案
（1）C
（2）2
探究提高 函数零点（即方程的根）的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.
[微题型2] 由函数的零点（或方程的根）求参数
【例3－2】
（1）（2016·郑州二模）若方程ln（x＋1）＝x2－x＋a在区间[0，2]上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A.B.[ln2－1，ln3－1）
C.[ln2－1，ln2]D.
（2）已知函数f（x）＝函数g（x）＝b－f（2－x），其中b∈R，若函数y＝f（x）－g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
解析
（1）令f（x）＝ln（x＋1）－x2＋x－a，则f′（x）＝－2x＋＝.当x∈[0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（1，2]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减.由于方程ln（x＋1）＝x2－x＋a在区间[0，2]上有两个不同的实数根，即f（x）＝0在区间[0，2]上有两个不同的实数根，其充要条件为
解得ln3－1≤a＜ln2＋.所以方程ln（x＋1）＝x2－x＋a在区间[0，2]上有两个不同的实数根时，实数a的取值范围是.
（2）函数y＝f（x）－g（x）恰有4个零点，即方程f（x）－g（x）＝0，即b＝f（x）＋f（2－x）有4个不同实数根，即直线y＝b与函数y＝f（x）＋f（2－x）的图象有4个不同的交点，又y＝f（x）＋f（2－x）＝作出该函数的图象如图所示，
由图可知，当＜b＜2时，直线y＝b与函数y＝f（x）＋f（2－x）的图象有4个不同的交点，故函数y＝f（x）－g（x）恰有4个零点时，b的取值范围是.
答案
（1）A
（2）D
探究提高 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解.
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
【训练3】设函数f（x）＝x2＋3x＋3－a·ex（a为非零实数），若f（x）有且仅有一个零点，则a的取值范围为________.
解析
令f（x）＝0，可得＝a，
令g（x）＝，
则g′（x）＝＝－，令g′（x）＞0，可得x∈（－1，0），令g′（x）＜0，可得x∈（－∞，－1）∪（0，＋∞），所以g（x）在（－1，0）上单调递增，在（－∞，－1）和（0，＋∞）上单调递减.由题意知函数y＝g（x）的图象与直线y＝a有且仅有一个交点，结合y＝g（x）及y＝a的图象可得a∈（0，e）∪（3，＋∞）.
答案 （0，e）∪（3，＋∞）
1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f（x）＝的定义域时，只考虑x＞0，忽视lnx≠0的限制.
2.如果一个奇函数f（x）在原点处有意义，即f（0）有意义，那么一定有f（0）＝0.
3.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较.
（1）底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；
（2）底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；
（3）底数不同、指数也不同，或底数不同，真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小.
4.三种作函数图象的基本思想方法
（1）通过函数图象变换利用已知函数图象作图；
（2）对函数解析式进行恒等变换，转化为已知方程对应的曲线；
（3）通过研究函数的性质，明确函数图象的位置和形状.
5.对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
一、选择题
1.（2016·临沂模拟）下列函数中，既是奇函数，又在区间（－1，1）上单调递减的函数是（ ）
A.f（x）＝sinxB.f（x）＝2cosx＋1
C.f（x）＝2x－1D.f（x）＝ln
解析 由函数f（x）为奇函数排除B、C，又f（x）＝sinx在（－1，1）上单调递增，排除A，故选D.
答案 D
2.（2015·湖南卷）设函数f（x）＝ln（1＋x）－ln（1－x），则f（x）是（ ）
A.奇函数，且在（0，1）上是增函数
B.奇函数，且在（0，1）上是减函数
C.偶函数，且在（0，1）上是增函数
D.偶函数，且在（0，1）上是减函数
解析 易知函数定义域为（－1，1），f（－x）＝ln（1－x）－ln（1＋x）＝－f（x），故函数f（x）为奇函数，又f（x）＝ln＝ln，由复合函数单调性判断方法知，f（x）在（0，1）上是增函数，故选A.
答案 A
3.
已知二次函数f（x）＝x2－bx＋a的部分图象如图所示，则函数g（x）＝ex＋f′（x）的零点所在的区间是（ ）
A.（－1，0） B.（0，1）
C.（1，2） D.（2，3）
解析 由函数f（x）的图象可知，0＜f（0）＝a＜1，f
（1）＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.又f′（x）＝2x－b，所以g（x）＝ex＋2x－b，所以g′（x）＝ex＋2＞0，即g（x）在R上单调递增，又g（0）＝1－b＜0，g
（1）＝e＋2－b＞0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g（x）的零点所在的区间是（0，1），故选B.
答案 B
4.（2016·西安八校联考）函数y＝的图象大致是（ ）
解析 由3x－1≠0得x≠0，
∴函数y＝的定义域为{x|x≠0}，可排除A；
当x＝－1时，y＝＝＞0，可排除B；
当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝，
但从D中函数图象可以看出函数在（0，＋∞）上是单调递增函数，两者矛盾，可排除D.故选C.
答案 C
5.（2015·全国Ⅱ卷）如图
，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（ ）
解析 当点P沿着边BC运动，即0≤x≤时，在Rt△POB中，|PB|＝|OB|
tan∠POB＝tanx，在Rt△PAB中，|PA|＝＝，则f（x）＝|PA|＋|PB|＝＋tanx，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；当点P与点C重合，即x＝时，由以上得f＝＋tan＝＋1，又当点P与边CD的中点重合，即x＝时，△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f＝|PA|＋|PB|＝＋＝2，知f＜f，故又可排除D.综上，选B.
答案 B
二、填空题
6.（2016·浙江卷）已知a＞b＞1.若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
解析 设logba＝t，则t＞1，因为t＋＝，解得t＝2，所以a＝b2，因此ab＝（b2）b＝b2b＝ba，∴a＝2b，b2＝2b，又b＞1，解得b＝2，a＝4.
答案 4 2
7.已知函数f（x）＝其中[x]表示不超过x的最大整数.若直线y＝k（x＋1）（k＞0）与函数y＝f（x）的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是________.
解析 根据[x]表示的意义可知，当0≤x＜1时，f（x）＝x，当1≤x＜2时，f（x）＝x－1，当2≤x＜3时，f（x）＝x－2，以此类推，当k≤x＜k＋1时，f（x）＝x－k，k∈Z，当－1≤x＜0时，f（x）＝x＋1，作出函数f（x）的图象如图，直线y＝k（x＋1）过点（－1，0），当直线经过点（3，1）时恰有三个交点，当直线经过点（2，1）时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k∈.
答案
8.（2016·海淀二模）设函数f（x）＝
（1）若a＝1，则f（x）的最小值为________；
（2）若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是________.
解析
（1）当a＝1时，f（x）＝
当x<1时，f（x）＝2x－1∈（－1，1），
当x≥1时，f（x）＝4（x2－3x＋2）＝4≥－1，
∴f（x）min＝－1.
（2）由于f（x）恰有2个零点，分两种情况讨论：
当f（x）＝2x－a，x<1没有零点时，a≥2或a≤0.
当a≥2时，f（x）＝4（x－a）（x－2a），x≥1时，有2个零点；
当a≤0时，f（x）＝4（x－a）（x－2a），x≥1时无零点.
因此a≥2满足题意.
当f（x）＝2x－a，x<1有一个零点时，0f（x）＝4（x－a）（x－2a），x≥1有一个零点，此时a<1,2a≥1，因此≤a<1.
综上知实数a的取值范围是.
答案
（1）－1
（2）∪[2，＋∞）
三、解答题
9.已知函数f（x）＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数的零点，求实数m的取值范围.
解 当m＝0时，f（x）＝－2x＋1，它显然有一个为正实数的零点.
当m≠0时，函数f（x）＝mx2－2x＋1的图象是抛物线，且与y轴的交点为（0，1），由f（x）有且仅有一个正实数的零点，则得：
①或②x＝＜0，
解①，得m＝1；解②，得m＜0.
综上所述，m的取值范围是（－∞，0]∪{1}.
10.已知函数f（x）＝x2－2lnx，h（x）＝x2－x＋a.
（1）求函数f（x）的极值；
（2）设函数k（x）＝f（x）－h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围.
解
（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），令f′（x）＝2x－＝0，得x＝1.
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，＋∞）时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）在x＝1处取得极小值为1，无极大值.
（2）k（x）＝f（x）－h（x）＝x－2lnx－a（x＞0），
所以k′（x）＝1－，令k′（x）＞0，得x＞2，
所以k（x）在[1，2）上单调递减，在（2，3]上单调递增，
所以当x＝2时，函数k（x）取得最小值，k
（2）＝2－2ln2－a，
因为函数k（x）＝f（x）－h（x）在区间[1，3]上恰有两个不同零点.
即有k（x）在[1，2）和（2，3]内各有一个零点，
所以即有
解得2－2ln2＜a≤3－2ln3.
所以实数a的取值范围为（2－2ln2，3－2ln3].
11.已知函数f（x）＝ex－m－x，其中m为常数.
（1）若对任意x∈R有f（x）≥0成立，求m的取值范围；
（2）当m＞1时，判断f（x）在[0，2m]上零点的个数，并说明理由.
解
（1）f′（x）＝ex－m－1，
令f′（x）＝0，得x＝m.
故当x∈（－∞，m）时，ex－m＜1，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（m，＋∞）时，ex－m＞1，f′（x）＞0，f（x）单调递增.
∴当x＝m时，f（m）为极小值，也是最小值.
令f（m）＝1－m≥0，得m≤1，
即若对任意x∈R有f（x）≥0成立，则m的取值范围是（－∞，1].
（2）由
（1）知f（x）在[0，2m]上至多有两个零点，当m＞1时，f（m）＝1－m＜0.
∵f（0）＝e－m＞0，f（0）f（m）＜0，
∴f（x）在（0，m）上有一个零点.
∵f（2m）＝em－2m，令g（m）＝em－2m，
∵当m＞1时，g′（m）＝em－2＞0，
∴g（m）在（1，＋∞）上单调递增，
∴g（m）＞g
（1）＝e－2＞0，即f（2m）＞0.
∴f（m）·f（2m）＜0，
∴f（x）在（m，2m）上有一个零点.
∴故f（x）在[0，2m]上有两个零点.
第2讲 不等式问题
高考定位 1.利用不等式性质比较大小，不等式的求解，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2.但在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大.
真题感悟
1.（2016·全国Ⅰ卷）若a>b>1，0A.acC.alogbc
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