概率论实验.docx

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概率论实验

概率论实验

实

验

报

告

2015年6月

1

个人中至少有两人生日相同的概率是多少？

通过计算机模拟此结果。

程序：

n=[1,2,10,100];

N=10000;

M=zeros（1,length（n））;

fork=1:

length（n）

fori=1:

N

X=ceil（365*rand（1,n（k）））;

Y=unique（X）;

iflength（Y）

M（k）=M（k）+1;

end

end

end

p=M/N

运行结果：

p=

00.00220.11811.0000

p=

00.00330.11291.0000

p=

00.00220.11631.0000

p=

00.00260.11511.0000

实验结论：

当人数为1时，至少两人同一天生日概率模拟值接近0

当人数为2时，至少两人同一天生日概率模拟值接近0.0027

当人数为10时，至少两人同一天生日概率模拟值接近0.1156

当人数为100时，至少两人同一天生日概率模拟值接近1

2设

～

；

（1）当

时，求

，

，

;

（1）当

时,若

，求

；

（2）分别绘制

，

时的概率密度函数图形。

程序：

clear

clc

mu=1.5;

sigma=0.5;

p1=normcdf（2.9,mu,sigma）-normcdf（1.8,mu,sigma）

p2=1-normcdf（-2.5,mu,sigma）

p3=normcdf（0.1,mu,sigma）+（1-normcdf（3.3,mu,sigma））

x=norminv（0.95,mu,sigma）

fx=-2:

.1:

2;

f1=pdf（'norm',fx+1,1,0.5）;

subplot（311）

plot（fx+1,f1）

title（'\mu=1'）

f1=pdf（'norm',fx+2,2,0.5）;

subplot（312）

plot（fx+2,f1）

title（'\mu=2'）

f1=pdf（'norm',fx+3,3,0.5）;

subplot（313）

plot（fx+3,f1）

title（'\mu=3'）

运行结果：

p1=

0.2717

p2=

1.0000

p3=

0.0027

x=

2.3224

结论：

当

时

若

，求

；

3已知每百份报纸全部卖出可获利14元，卖不出去将赔8元，设报纸的需求量

的分布律为

012345

0.050.100.250.350.150.10

试确定报纸的最佳购进量

。

（要求使用计算机模拟）

理论值：

程序：

P=[0.050.100.250.350.150.10];

X=0:

5;

Profit=zeros（1,6）;

forx=1:

6

fori=1:

x-1

Profit（x）=Profit（x）+22*X（i）*P（i）;

end

fori=x:

6

Profit（x）=Profit（x）+22*（x-1）*P（i）;

end

Profit（x）=Profit（x）-8*（x-1）;

end

stem（X,Profit）

Profit

运行结果：

Profit=

012.900023.600028.800026.300020.5000

模拟值：

程序：

N=[10,100,1000,10000];

fork=1:

4

need=rand（1,N（k））;

fori=1:

N（k）

ifneed（i）>=0&&need（i）<0.05

need（i）=0;

elseifneed（i）>=0.05&&need（i）<0.15

need（i）=1;

elseifneed（i）>=0.15&&need（i）<0.4

need（i）=2;

elseifneed（i）>=0.4&&need（i）<0.75

need（i）=3;

elseifneed（i）>=0.75&&need（i）<0.9

need（i）=4;

elseifneed（i）>=0.9&&need（i）<=1

need（i）=5;

end

end

forx=0:

5

sale=-8*x*ones（1,N（k））;

fori=1:

N（k）

ifneed（i）>=x

sale（i）=sale（i）+22*x;

else

sale（i）=sale（i）+22*need（i）;

end

end

Profit（x+1）=mean（sale）;

end

stem（0:

5,Profit）

Profit

end

运行结果：

Profit=

014.000025.800031.000025.200017.2000

Profit=

012.680023.160028.580024.980018.9600

Profit=

013.032023.644028.822026.344020.5880

Profit=

012.816423.582428.797826.286820.5154

结论：

重复试验次数

0

1百份

2百份

3百份

4百份

5百份

10次

0

14

25.8

31

25.2

17.2

100次

0

12.68

23.16

28.58

24.98

18.96

1000次

0

13.032

23.644

28.822

26.344

20.588

10000次

0

12.8164

23.5824

28.7978

26.2868

20.5154

理论值

0

12.9

23.6

28.8

26.3

20.5

随重复试验的次数增多，模拟值逐渐接近理论值。

观察发现，当购进量为3百份时，利润期望值最高。

4.设总体

，

是来自总体

的一组样本，通过计算机模拟分别画出当

时

的概率密度曲线，观察当

越来越大时的概率密度曲线是否与某正态分布的概率密度曲线接近，以此验证中心极限定理。

程序：

clear

n=[2,4,10,20,100,1000];

m=50000;

fork=1:

length（n）

figure

temp=rand（n（k）,m）;

One=ones（1,n（k））;

X=One*temp;

[p,x]=ksdensity（X）;

mu=0.5*n（k）;

sigma=sqrt（n（k）/（12））;

xx=mu-4*sigma:

.1:

mu+4*sigma;

yy=pdf（'norm',xx,mu,sigma）;

holdon

plot（x,p,'b',xx,yy,'r--'）

legend（['n='num2str（n（k））],['N~（'num2str（mu）','num2str（sigma）'）']）

title（['n='num2str（n（k））]）

end

5.就不同的自由度画出

分布、

分布及F分布的概率密度曲线，每种情况至少画三条曲线，并将

分布的概率密度曲线与标准正态分布的概率密度曲线进行比较。

程序：

figure

x=0:

.01:

5;

y=pdf（'chi2',x,1）;

plot（x,y,'b'）

holdon

y=pdf（'chi2',x,2）;

plot（x,y,'r'）

y=pdf（'chi2',x,3）;

plot（x,y,'g'）

title（'\chi^2'）

legend（'n=1','n=2','n=3'）

figure

x=-5:

.01:

5;

y=pdf（'t',x,1）;

plot（x,y,'b'）

holdon

y=pdf（'t',x,2）;

plot（x,y,'c'）

y=pdf（'t',x,1000000000000）;

plot（x,y,'g'）

y=pdf（'norm',x,0,1）;

plot（x,y,'r--'）

title（'t'）

legend（'n=1','n=2','n=1000000000000','N（0,1）'）

figure

x=0:

.01:

5;

y=pdf（'f',x,10,1000000000000）;

plot（x,y,'b'）

holdon

y=pdf（'f',x,10,10）;

plot（x,y,'r'）

y=pdf（'f',x,10,4）;

plot（x,y,'g'）

title（'F'）

legend（'m=10,n=1000000000000','m=10,n=10','m=10,n=4'）

运行结果：

n=1000000000000时，基本与标准正态重合。

6就正态总体的某一个参数，构造置信区间，以检验置信度。

即通过随机产生100组数据，构造100个置信区间，观察是否有100（1-

）%个区间包含此参数。

程序：

clear

m=100;

mu=1.5;

sigma=3;

alpha=[0.10.050.01];

count（3）=0;

fork=1:

3

fori=1:

100

X=mu+sigma*randn（1,m）;%X~N（mu,sigma）

UP=mean（X）+norminv（1-alpha（k）/2,0,1）*sigma/sqrt（m）;

DOWN=mean（X）-norminv（1-alpha（k）/2,0,1）*sigma/sqrt（m）;

ifDOWNmu

count（k）=count（k）+1;

end

end

end

p=count/100

运行结果：

p=

0.91000.96000.9800

p=

0.92000.93000.9900

p=

0.88000.94001.0000

p=

0.91000.92000.9900

结论：

对参数mu构造置信区间；

当alpha=0.1时，包含mu的区间的概率接近0.9

当alpha=0.05时，包含mu的区间的概率接近0.95

当alpaca=0.01时，包含mu的区间的概率接近0.99

7.对于正态总体，当均值已知时，至少用两种方法构造方差的置信度为95%的置信区间，比较两种方法的优劣。

验证所构造的置信区间置信度为95%

程序：

a=1;

b=0.5;

n=100;

alpha=0.05;

count1=0;

count2=0;

fori=1:

100

X=a+b*randn（1,n）;%X~N（a,b）

UP1=sum（（X-a）.^2）/（chi2inv（alpha/2,n））;

DOWN1=sum（（X-a）.^2）/（chi2inv（1-alpha/2,n））;

UP2=n*（mean（X）-a）^2/（chi2inv（alpha/2,1））;

DOWN2=n*（mean（X）-a）^2/（chi2inv（1-alpha/2,1））;

ifDOWN1

count1=count1+1;

end

ifDOWN2

count2=count2+1;

end

end

count1/100

count2/100

运行结果：

method1=

0.9300

method2=

0.9500

method1=

0.9500

method2=

0.9200

method1=

0.9600

method2=

0.9600

所构造的区间满足置信度95%

用

构造

UP1=

0.3248

DOWN1=

0.1861

UP1=

0.3482

DOWN1=

0.1994

UP1=

0.4066

DOWN1=

0.2329

用

构造

UP2=

222.0616

DOWN2=

0.0434

UP2=

1.9079

DOWN2=

3.7295e-004

UP2=

68.4270

DOWN2=

0.0134

结论：

用

构造

用

构造

第一次

（0.1861,0.3248）

（0.0434,222.0616）

第二次

（0.1994,0.3482）

（3.7295e-004,1.9079）

第三次

（0.2329,0.4066）

（0.0134,68.4270）

……

……

……

用

构造的区间比用

构造的区间长度要长，效果要差。