2.双曲线的标准方程和几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1（a＞0，b＞0）
－＝1（a＞0，b＞0）
图形
焦点
（±c,0）
（0，±c）
焦距
2c
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≥a或y≤－a，x∈R
顶点
（±a,0）
（0，±a）
对称性
关于x轴、y轴、坐标原点对称
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
渐近线方程
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝>1
3.抛物线的标准方程和几何性质
类型
y2＝2px（p>0）
y2＝－2px（p>0）
x2＝2py（p>0）
x2＝－2py（p>0）
图形
焦点
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
（0,0）
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
三、圆锥曲线的统一定义
（1）定义：
平面内到一个定点F和到一条定直线l（F不在l上）的距离比等于常数e的点的轨迹．
当01时，表示双曲线；当e＝1时，表示抛物线．
其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线．
（2）对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆或双曲线，与焦点F1（－c,0），F2（c,0）对应的准线方程分别为x＝－，x＝.
四、曲线与方程
1．定义
如果曲线C上点的坐标（x，y）都是方程f（x，y）＝0的解，且以方程f（x，y）＝0的解（x，y）为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f（x，y）＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f（x，y）＝0的曲线．
2．求曲线的方程的方法
（1）直接法：
建立适当的坐标系，设动点为（x，y），根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．
（2）代入法：
利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．
（3）定义法：
如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．
（4）参数法：
选择一个（或几个）与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标（x，y），即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．
（时间120分钟，满分160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上）
1．（江苏高考）双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．
解析：
令－＝0，解得y＝±x.
答案：
y＝±x
2．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是________．
解析：
因为抛物线的焦点坐标为（1,0），而双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以所求距离为＝.
答案：
3．方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则a的取值范围是________．
解析：
由题意得
解之得a<，且a≠0，
即a的取值范围是（－∞，0）∪.
答案：
4．（辽宁高考）已知F为双曲线C：
－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5,0）在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
解析：
由题意因为PQ过双曲线的右焦点（5,0），所以P，Q都在双曲线的右支上，则有FP－PA＝6，FQ－QA＝6，两式相加，利用双曲线的定义得FP＋FQ＝28，所以△PQF的周长为FP＋FQ＋PQ＝44.
答案：
44
5．设点P是双曲线－＝1（a>0，b>0）与圆x2＋y2＝2a2的一个交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且PF1＝3PF2，则双曲线的离心率为________．
解析：
由得PF1＝3a，PF2＝a，
设∠F1OP＝α，则∠POF2＝180°－α，
在△PF1O中，
PF＝OF＋OP2－2OF1·OP·cosα ①，
在△OPF2中，
PF＝OF＋OP2－2OF2·OP·cos（180°－α） ②，
由cos（180°－α）＝－cosα与OP＝a，
①＋②得c2＝3a2，∴e＝＝＝.
答案：
6．已知动圆P与定圆C：
（x＋2）2＋y2＝1相外切，又与定直线l：
x＝1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是________．
解析：
设P（x，y），动圆P在直线x＝1的左侧，其半径等于1－x，则PC＝1－x＋1，即＝2－x.
∴y2＝－8x.
答案：
y2＝－8x
7．已知双曲C1＝－＝1（a>0，b>0）的离心率为2.若抛物线C2：
x2＝2py（p>0）的焦点到双曲线C1的渐进线的距离为2，则抛物线C2的方程为________________________．
解析：
∵双曲线C1：
－＝1（a>0，b>0）的率心率为2.∴＝＝2，∴b＝a.∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0.∴抛物线C2：
x2＝2py（p>0）的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2.
∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.
答案：
x2＝16y
8．过抛物线x2＝8y的焦点F作直线交抛物线于P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点，若y1＋y2＝8，则P1P2的值为________．
解析：
由题意知p＝4，由抛物线的定义得P1P2＝P1F＋P2F＝＋＝（y1＋y2）＋p＝8＋4＝12.
答案：
12
9．椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是________．
解析：
∵椭圆＋＝1的右焦点为（1,0），
∴右焦点到直线x－3y＝0的距离d＝＝.
答案：
10．已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若AB＝10，BF＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为________．
解析：
在△ABF中，AF2＝AB2＋BF2－2AB·BF·cos∠ABF＝102＋82－2×10×8×＝36，则AF＝6.由AB2＝AF2＋BF2可知，△ABF是直角三角形，OF为斜边AB的中线，c＝OF＝＝5.设椭圆的另一焦点为F1，因为点O平分AB，且平分FF1，所以四边形AFBF1为平行四边形，所以BF＝AF1＝8.由椭圆的性质可知AF＋AF1＝14＝2a⇒a＝7，则e＝＝.
答案：
11．（新课标全国卷Ⅰ改编）已知椭圆E：
＋＝1（a>b>0）的右焦点为F（3,0），过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，－1），则E的方程为________．
解析：
因为直线AB过点F（3,0）和点（1，－1），所以直线AB的方程为y＝（x－3），代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，
所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，
又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3.所以E的方程为＋＝1.
答案：
＋＝1
12．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于__________________________．
解析：
令直线与抛物线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）
由得4x2－8x＋1＝0，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝，
∴AB＝
＝＝.
答案：
13．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．
解析：
如图，设椭圆的方程为＋＝1（a＞b＞0），焦半径为c.
由题意知∠F1AF2＝90°，
∠AF2F1＝60°.∴AF2＝c，
AF1＝2c·sin60°＝c.
∴AF1＋AF2＝2a＝（＋1）c.
∴e＝＝＝－1.
答案：
－1
14．给出如下四个命题：
①方程x2＋y2－2x＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆＋＝1的离心率e＝；③抛物线x＝2y2的准线的方程是x＝－；④双曲线－＝－1的渐近线方程是y＝±x.
其中所有不正确命题的序号是________．
解析：
①表示的图形是一个点（1,0）；②e＝；
④渐近线的方程为y＝±x.
答案：
①②④
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）求与椭圆＋＝1有共同焦点，且过点（0,2）的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．
解：
椭圆＋＝1的焦点是（0，－5），（0,5），焦点在y轴上，
于是设双曲线方程是－＝1（a>0，b>0），
又双曲线过点（0,2），∴c＝5，a＝2，
∴b2＝c2－a2＝25－4＝21，
∴双曲线的标准方程是－＝1，实轴长为4，
焦距为10，离心率e＝＝，
渐近线方程是y＝±x.
16．（本小题满分14分）已知抛物线C：
y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．
解：
抛物线y2＝4x的焦点为F（1,0），当直线l斜率不存在时，|AB|＝4，不合题意．设直线l的方程为y＝k（x－1），代入y2＝4x，整理得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知k≠0，
则x1＋x2＝.
由抛物线定义知，
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2，
∴x1＋x2＋2＝8，即＋2＝8.
解得k＝±1.
所以直线l的方程为y＝±（x－1），
即x－y－1＝0，x＋y－1＝0.
17．（本小题满分14分）如图，F1，F2分别是椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．
解：
（1）由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝.
（2）法一：
a2＝4c2，b2＝3c2，
直线AB的方程为y＝－（x－c）．
代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B.
所以|AB|＝·|c－0|＝c.
由S△AF1B＝|AF1|·|AB|sin∠F1AB＝a·c·＝a2＝40，解得a＝10，b＝5.
法二：
设AB＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.
由椭圆定义BF1＋BF2＝2a可知，BF1＝3a－t.
由余弦定理得（3a－t）2＝a2＋t2－2atcos60°可得，
t＝a.
由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知，
a＝10，b＝5.
18．（浙江高考）（本小题满分16分）如图，点P（0，－1）是椭圆C1：
＋＝1（a>b>0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：
x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.
（1）求椭圆C1的方程；
（2）求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．
解：
（1）由题意得
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．
由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.
又圆C2：
x2＋y2＝4，
故点O到直线l1的距离d＝，
所以AB＝2＝2.
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.
由消去y，整理得（4＋k2）x2＋8kx＝0，故x0＝－，y0＝－1.
所以PD＝.
设△ABD的面积为S，则S＝AB·PD＝，
所以S＝≤＝，
当且仅当k＝±时取等号．
所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.
19．（陕西高考）（本小题满分16分）已知动点M（x，y）到直线l：
x＝4的距离是它到点N（1,0）的距离的2倍．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）过点P（0,3）的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率．
解：
（1）设M到直线l的距离为d，根据题意d＝2|MN|.
由此得|4－x|＝2，
化简得＋＝1，
所以，动点M的轨迹方程为＋＝1.
（2）法一：
由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，
A（x1，y1），B（x2，y2）．
将y＝kx＋3代入＋＝1中，
有（3＋4k2）x2＋24kx＋24＝0，
其中Δ＝（24k）2－4×24（3＋4k2）＝96（2k2－3）＞0，
故k2>.
由根与系数的关系得，
x1＋x2＝－，①
x1x2＝.②
又因为A是PB的中点，故x2＝2x1，③
将③代入①，②，得
x1＝－，x＝，
可得2＝，且k2＞，
解得k＝－或k＝，
所以直线m的斜率为－或.
法二：
由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵A是PB的中点，
∴x1＝，①
y1＝.②
又＋＝1，③
＋＝1，④
联立①，②，③，④解得或
即点B的坐标为（2,0）或（－2,0），
所以直线m的斜率为－或.
20．（湖南高考）（本小题满分16分）过抛物线E：
x2＝2py（p>0）的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l.
（1）若k1>0，k2>0，证明：
·
<2p2；
（2）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．
解：
（1）证明：
由题意，抛物线E的焦点为F，
直线l1的方程为y＝k1x＋.
由得x2－2pk1x－p2＝0.
设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则x1，x2是上述方程的两个实数根．
从而x1＋x2＝2pk1，
y1＋y2＝k1（x1＋x2）＋p＝2pk＋p.
所以点M的坐标为，
＝（pk1，pk）．
同理可得点N的坐标为，
＝（pk2，pk）．
于是
·
＝p2（k1k2＋kk）．
因为k1＋k2＝2，k1>0，k2>0，k1≠k2，
所以0故
·
（2）由抛物线的定义得FA＝y1＋，FB＝y2＋，
所以AB＝y1＋y2＋p＝2pk＋2p，
从而圆M的半径r1＝pk＋p.
故圆M的方程为
（x－pk1）2＋2＝（pk＋p）2，
化简得x2＋y2－2pk1x－p（2k＋1）y－p2＝0.
同理可得圆N的方程为
x2＋y2－2pk2x－p（2k＋1）y－p2＝0.
于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为
（k2－k1）x＋（k－k）y＝0.
又k2－k1≠0，k1＋k2＝2，则l的方程为x＋2y＝0.
因为p>0，所以点M到直线l的距离
d＝＝
＝.
故当k1＝－时，d取最小值.
由题设，＝，解得p＝8.
故所求的抛物线E的方程为x2＝16y.
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