动态误差分解与溯源理论与方法中若干关键技术.docx
《动态误差分解与溯源理论与方法中若干关键技术.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《动态误差分解与溯源理论与方法中若干关键技术.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
动态误差分解与溯源理论与方法中若干关键技术
引言
近几十年来，由于静态误差理论体系的日趋完善，动态测量技术得到了飞速发展，动态测量误差理论也因此被推上历史舞台，并逐渐成为现代误差理论研究的主流。
动态误差是指由于系统的静态或动态性质不理想以及受外界干扰所引起的测量误差，通过动态误差的分解和溯源可有效提高动态测量精度。
动态误差分解与溯源作为动态测量误差分析与处理理论的重要组成部分和提高测量系统精度的基础，越来越受到人们的重视并成为未来误差理论的研究方向之一。
动态测量误差溯源，必须建立在全系统精度理论“白化”建模的基础上。
首先根据全系统精度理论的建模思想，建立实际测量系统的“白化”或“准白化”模型，以及误差传输的“白化”模型，将测量结果中所包含的总误差，以误差“白化”模型为依据分解成各单项分误差，并找出生这部分误差的“源头”。
一旦实现了误差溯源，对测量系统的传输特性就有了深刻的了解，由此掌握了系统各环节误差对其输出总误差的影响及其随时间的变化规律，对系统中的薄弱环节或对总误差影响大的环节，可及时地采取有效措施,消除或减少其不良影响，从而提高动态测量系统的精度，以得到高精度测量的要求。
动态误差测量在当今的精密测量中占据着举足轻重的地位，因此动态误差的分解与溯源，以提高动态误差的精度，有着十分重要的意义。
1.动态测量与动态测量误差理论的发展
动态测量理论问题的研究，是以电测技术，特别是示波技术的需求为起点而发展起来的。
19世纪80年代，前苏联学者在关于示波器测量元件动态性能的著作中提出了动态测量的概念，但并未将其作为独立的问题提出。
现代动态测量理论的发展，应以1909年A．H．KpblnOS发表的学术论文为起点。
随后，随着科学技术和测量技术的进一步发展，动态测量越来越受到人们的重视。
美国标准局建立了动态电测量工作组，并在1974年末举行了首次全会，在1976年伦敦第七届和1980年莫斯科第八届大会上，以及后来国际计量技术联合会IMEKO召开的大会上，都把动态测量列入会议议程。
前苏联分别于1975年、1978年、1981年和1984年在列宁格勒举行了“动态测量”全苏联讨论会，大大促进了动态测量的发展。
近年来，国内外许多专家学者
均致力于动态测量理论的研究。
动态测量误差可分为两类：
一类是由组成系统的各部分元件本身的静态和动态性能不理想而引起的动态误差；另一类是由系统内外各种干扰引起的动态误差。
动态测量误差必然存在于动态测量过程中，因而，动态测量误差与精度理论的研究，是动态测量研究的重要基础内容之一。
近年来，随着光电、数字化、微处理、自动化等技术的广泛应用以及智能化测试、柔性测试、计算机辅助测试等的发展，各种动态测试数据处理方法及测试误差分析方法层出不穷，使动态测量误差理论得到了相应的发展，取得了一定的成果；动态测量数据处理方法的研究，一直受到各国学者的重视，提出了很多实用的方法。
这些方法主要有谱分析、回归分析、滑动平均分析、时间序列分析、滤波分析、神经网络、小波变换、遗传算法等，其中各种分析方法又都经过了不断的演变和改进，如谱分析方法，从开始基于傅立叶交换的传统谱分析方法发展到现代的最大熵谱分析方法、最大似然谱分析方法、自回归谱分析方法和最小互熵谱分析方法等。
有如回归分析方法，从开始的一元和多元线性回归分析、逐步舍选回归分析、正交多项式回归分析、分段回归、样条回归、加权回归等到现代的岭回归分析、递推回归分析、最小最大残差值回归和稳健性回归分析等。
2.传统动态测量系统建模方法
传统的建模方法无论是时域建模方法还是频域建模方法，均是将系统看作一个“黑箱”，在输入端加上不同的激励信号，然后根据输出的动态响应曲线来求取系统的特征参数，建立系统的数学模型。
这种“黑箱”方法，只关心系统的输入和输出，对系统内部结构不予考虑，对系统内部各组成环节自身的动态特性和各环节之间相互的传递特性更不关心，只是根据经验为动态系统简单的定阶，然后用已有的经验公式来定义系统，在所建立的传递函数中，没有包含时间的信息，无法反映系统传递特性随时间的变化关系。
因此，传统的“黑箱”方法无法反映系统动态特性的时变性。
随着测量要求的不断提高，测量系统的日益复杂化，这样的方法显然无法满足高精度的测量要求。
传统动态测量系统建模方法很多，主要分为两大类：
一是状态变量建模方法，二是系统辨识建模方法。
2.1状态变量建模方法
假设系统有m个输入
，n个输出
。
对该系统建模可以引入一组状态变量
。
引入此状态变量后，系统的输出方程变为状态方程。
此状态变量的选取必须满足两个条件：
（1）若已知某参考时间
时的状态变量值，及
时的输入，就能确定所有
时的输出和状态变量。
（2）状态变量之间必须相互独立。
建立微分方程：
（2-1）
2.2系统辨识法
上面介绍的状态变量建模方法是在没有外界干扰的前提下，系统遵循各元件定律。
而系统辨识法则是一种有动态激励的情况下，由系统输入动态激励信号和输出动态响应以求出系统动态数学模型的方法。
系统辨识的建模方法主要分为频率域建模方法、时间域建模方法和随机建模方法。
2.2.1时间域建模方法
（1）当系统为单位阶跃过渡或单位脉冲过渡过程时，其传递函数为：
（2-2）
或
（2）当系统为回零过渡过程时，其传递函数为：
（2-3）
或
2.2.2频率域建模方法
（1）典型二阶系统的频率域建模方法，其传递函数为：
（2-4）
（2）线性系统传递函数的频率域识别法
（2-5）
3.全系统动态精度的理论的建模方法
全系统动态精度理论的建模方法,它摒弃了传统动态系统建模方法的不足,在充分考虑动态测量系统内部具体结构参数所确定的系统单元及总体传输关系的基础上,从全面误差分析入手,综合动态系统内部各组成误差和系统内外各干扰因素对测量结果的影响,尽可能将传统的对动态系统的“黑箱”处理方案“白化”或“灰化”,建立单元误差传递函数,并以此为基础,根据各组成单元间对测量信号的传输关系,给出动态测量系统的总体误差模型,由此得出能反映实际情况的全系统动态测量精度。
图1混联式动态测量系统结构
典型的动态测量系统通常是一个混联系统，图1所示为一简单的混联式动态测量系统，现以此为例，说明全系统动态测量精度理论的“白化”建模思想。
分析图1中所示的动态测量系统，可知它由4个单元组成，其中第二单元与第三单元之间是串联的关系，两者一起与第四单元构成并联，然后，这3个单元组成的局部系统，又与第一单元构成串联的关系。
根据全系统动态精度理论的建模原理,整个系统的传递链函数可表示为：
（3-1）
式中：
为各单元传递函数，
。
从图1中可以看出，测量系统除了其本身内部各组成单元引起的误差外，还有系统受到内外干扰引起的误差，此时系统总的误差传输“白化”模型即全系统动态精度模型为：
（3-2）
式中：
为系统输出总误差；
为输入端受到的干扰信号；
为输出端受到的干扰信号。
则系统的总误差
经“百化”后可表示为：
（3-3）
式中：
为各单元误差，其中包含各单元本身的误差及其受到的干扰，
。
4.动态误差分解与溯源理论及方法
为了从测量的总误差有效地分解与溯源到测量系统内部的各组成环节的误差，可以采用频谱分析和小波分析等现代数学手段，根据已知测量系统各组成环节的误差模型及其谱特性，将测量的总误差首先分解为可能的各种误差组合，再对照测量系统内部各组成误差的谱特性，由各种可能的误差组合中选择符合总误差大小和各组成误差谱特性的相应误差，这样即可将测量的总误差有效地分解与溯源到测量系统内部各组成环节，这是测量误差分解与溯源的基本思想。
传统的信号处理方法以信号的平稳性为前提，仅从时域和频域分别给出统计平均结果，不能同时兼顾信号在时域和频域的局部化和全貌。
因此，无法对信号的非平稳性进行有效的分析和处理。
因此，本节不仅分析了经典的信号处理方法，更注重适用于分析非平稳（即时变）信号的各种现代信号处理方法的研究。
4.1经典的信号处理方法一Fourier分析
设
是一个长度为M的有限长序列，则定义
的N点离散Fourier变换（DFT）为：
（4-1）
由于DFT的快速算法FFT的出现，使DFT在数字通信、语音信号处理、图像处理、功率谱估计、仿真、系统分析、雷达理论、光学、医学、地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。
DFT常用于对信号做频谱分析，观察信号中的主要频率分量。
所谓信号的谱分析，就是计算信号的傅立叶变换。
DFT可用来对连续信号和数字信号进行谱分析。
在实际分析过程中，要对连续信号采样和截断，有些非时限数据序列也要截断，由此可能引起分析误差，产生截断效应。
截断效应是指泄漏和谱间干扰。
泄漏使频谱变模糊，使谱分辨率降低。
谱间干扰是指在主谱线两边形成很多旁瓣，引起不同频率分量间的干扰，影响频谱分辨率，特别是强信号谱的旁瓣可能湮没弱信号的主谱线，或者把强信号谱的旁瓣误认为是另一信号的谱线，从而造成假信号，这样就会使谱分析产生较大偏差。
4.2现代谱估计
利用给定的一组样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度称为功率谱估计。
在许多工程应用中，功率谱的分析与估计是十分重要的，因为它能给出被分析对象的能量随频率的分布情况。
功率谱估计分为两大类，一类是非参数化方法，另一类是参数化方法。
非参数化方法又叫做经典谱估计法，它实质上仍依赖于传统的傅立叶变换法。
经典的谱估计法通常又分为两种，一种是间接法。
它先依信号序列估计其自相关函数值，然后以适当的方式对自相关函数的估计进行加权，最后对加权了的自相关函数做傅立叶变换以获得功率谱估计。
另一种是直接法，通过对观测到的数据样本直接进行傅立叶变换，然后将所得结果的幅值平方后得到功率谱估计，这种方法又称为周期图法。
传统功率谱估计的主要优点为：
可使用FFT，计算效率高；功率谱的估计值正比与正弦波的信号的功率。
但是，它也有明显的缺点：
弱信号的主瓣易被强信号的旁瓣抑制；频率分辨率均为数据长度的倒数，而与数据的特征或信噪比无关；由于旁瓣的泄漏引入谱的畸变；需采用某种平滑或平均措施以改善谱估计的统计特性；某些加窗的相关函数会使功率谱估计出现负值。
总之，经典方法原理简单，便于实现，并有可采用FFT等技术而使计算量大为减小等优点，因此得到了广泛的应用。
但它的主要问题是：
由于假定信号的自相关函数在数据观测区以外等于零，因此估计出来的功率谱很难与信号的真实功率谱相匹配。
在一般情况下，周期图的渐近性能无法给出实际功率谱的一个满意的近似，因而是一种低分辨率（分辨率大约为数据长度的倒数）的谱估计方法，这就使得这种方法难以应用于短数据记录等情况。
功率谱估计的分辨能力用参量法可以改进，如自回归模型法、最大熵法和最大似然估计等。
由于这类参数化方法能够给出比周期图方法高得多的频率分辨率，故又称为高分辨率方法或现代谱估计方法。
然而这些方法在信嗓比较低时性能并不好，为此，人们陆续提出了多种基于矩阵奇异值分解或特征值分解的改进的谱估计方法，也叫做超分辨方法。
现代功率谱估计的一些主要方法有：
ARMA谱估计是以信号的差分模型为基础的现代谱估计；Burg的最大熵谱估计是来源于信息论的现代谱估计，它在不同的约束条件下，分别与AR谱估计和ARMA谱估计等价；Pisarenko谐波分解是一种以谐波信号为特定对象的谱估计方法，它将谐波频率的估计转化为信号相关矩阵的特征值分解；扩展Prony方法是一种利用复谐波模型拟合复信号的方法；MUSIC方法是一种估计信号空间参数的现代谱估计方法，它将功率谱推广为空间谱，是最早问世的子空间方法；ESPRIT方法是一种估计信号空间参数的旋转不变技术，虽然未使用任何谱的概念，但却可以达到谐波频率估计的目的。
其基本思想使江谐波频率的估计转变为矩阵束的广义特征值分解。
4.3数字滤波器
滤波器可以实现滤波、平滑和预测等信息处理的基本任务是信号处理的重要方法。
所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。
数字滤波器分为经典滤波器和现代滤波器。
当信号和干扰的频带不重叠时，可以选择经典滤波器滤除于扰得到纯信号。
面当信号和干扰的频带重叠时，就必须使用现代滤波器，例如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。
这些滤波器可按照随机信号内部的一些统计分布规律，从干扰中最佳地提取信号。
（1）经典滤波器
经典数字滤波器从功能上分类，可以分成低通、高通、带通和带阻等滤波器。
它的特点是输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器达到滤波的目的。
（2）维纳滤波器
信号检测与处理的一个十分重要的内容就是从噪声中提取信号。
实现这种功能的有效手段之一是设计一种具有最佳线性过滤特性的滤波器，当伴有噪声的信号通过这种滤波器时，它可以将信号尽可能精确地重现或对信号作出尽可能精确地估计，而对所伴噪声进行最大限度地抑制。
维纳滤波器就是这种滤波器的典型代表之一。
（3）卡尔曼滤波器
卡尔曼滤波和维纳滤波都是以最小均方误差为准则的最佳线性估计或滤波。
但是，维纳滤波只适用于平稳随机过程（信号），而卡尔曼滤波则没有这个限制。
这是它们的最大区别。
另外，在处理方法上，它们也有很大不同。
维纳滤波是根据全部过去的和当前的观测数据来估计信号的当前值，它的解是以均方误差最小条件下所得到的系统函数或冲激响应的形式给出的；而卡尔曼滤波则不需要全部过去的观测数据，它只是根据前一个估计值和最近一个观测数据束估计信号的当前值。
它是用状态方程和递推方法进行估计的，而且所得的解是以估计值的形式给出的。
（4）匹配滤波器
从噪声背景下检测波形己知信号的主要工具是匹配滤波器。
它可视为一种优化设计的滤波器。
其优化准则是使滤波器输出的信噪比达到最大值，而对输出信号波形是否与真实信号波形完全相同则无要求。
即着眼点不是保持原信号不失真，而是提高输出信噪比。
（5）自适应滤波器
自适应滤波器由于其参数可以用递推方式自适应更新，更适合实时动态信号处理，得到了更广泛的应用。
自适应噪声对消器、自适应信号分离器、自适应陷波器都是自适应滤波器的典型应用。
其中，自适应陷波器用于分离信号中的正弦分量时，效果很好。
4.4神经网络
从网络结构和学习算法的角度，人工神经网络可分为单层前向网络、多层前向网络、反馈网络、随机神经网络和竞争神经网络。
在众多人工神经网络模型中，最为简单的就是所谓的单层前向网络。
自适应线性元件模型就是典型的单层前向网络，早在1961年Widrow和Hoff就已将自适应线性元件用于信号处理领域，并且提出了易实现但效率高的自适应滤波的LMS（Least．Mean—Squarealgorithm）算法。
神经元的输入信号向量为
，突触权值向量为
，模拟输出为
，二值输出为
，期望输出为
，神经网络的学习也称为训练，指的是通过神经网络所在环境的刺激作用调整神经网络的自由参数（突触权值）使神经网络以一种新的方式对外部环境做出反应的一个过程。
不同的学习算法对神经元的突出权值调整的表达式有所同。
4.5时频分析
信号的时域分析或频域分析方法，使用的主要数学工具是Fourier变换，只适用统计量不随时间变化的平稳信号。
Kalman滤波、RLS算法等自适应滤波也适合非平稳信号，但只限于慢时变信号的跟踪，并不能得到一般时变信号的统计量等结果（如功率谱等）。
对非平稳信号而言，需要使用时域和频域的二维联合表示即时频分析。
非平稳信号的时频分析可以分为线性变换和非线性变换两大类。
线性变换如短时Fourier变换、小波变换和Gabor变换，是使用时间和频率的联合函数描述信号的频谱随时间的变化情况。
而使用时间和频率的联合函数来描述信号的能量密度随时间变化的情况，称为信号的时频分布，是非平稳信号的一种非线性变换，如Wigner--Ville时频分布。
4.5.1短时傅里叶变换：
令
是一个时间宽度很短的窗函数，它沿时间轴滑动。
于是，信号
的短时Fourier变换定义为：
（4-2）
其中*表示复数共轭。
4.5.2小波变换：
短时Fourier变换和Gabor变换都属于“加窗Fourier变换”，即都是以固定的滑动窗对信号进行分析。
很明显，这种时域等宽的滑动窗处理并不是对所有信号都合适。
有些非平稳信号的线性时频分析我们希望在时频平面不同位置具有不同的分辨率，即应该是一种多分辨率分析方法。
例如：
人工地震勘探信号就有一个明显的特点，即在信号的低频端应具有很高的频率分辨率，而在高频端的频率分辨率可以很低。
从时频不相容原理的角度看，这类信号的高频分量应具有高的时间分辨率，而低频分量的时间分辨率可以较低。
小波变换就是这样一种多分辨分析方法。
对于任意函数
的一维连续小波变换为：
（4-3）
其中
为小波母函数。
小波变换是一种信号的时间一尺度分析方法。
它具有多分辨分析的特点，且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，很适合探测信号中的奇异点。
同时，小波分解可将信号分解到不同的频段，是观察信号成分和消噪的有效手段。
4.5.3Wigner--Ville时频分布原理：
对信号作双线性变换，使用时间冲激函数作窗函数进行滑窗处理，得信号的局部相关函数：
（4-4）
对瞬时相关函数作关于滞后
的Fourier变换，即得Wigner—Ville分布：
（4-5）
短时傅立叶变换和时频分布除用于观察非平稳信号的主要成分和所占频带外，还可以通过在时频面上加窗对信号进行分解。
都可取得较好的效果。
短时傅立叶变换的时频聚集性没有Wigner--Ville时频分布好，但Wigner--Ville时频分布存在干扰项。
5.动态测量误差的希尔伯特-黄分解
针对傅立叶变换、小波变换等方法在分解动态测量误差时存在的不足，即选用不同的基函数会导致不同的分解结果，提出了基于希尔伯特-黄变换（HHT）的动态测量误差分解方法。
该方法不需要选取基函数，可以自适应地分解动态测量误差信号;对一个混联式动态测量系统建立了全系统误差模型，并用该方法对测量系统的总误差信号进行了分解;与傅立叶变换、小波变换的分解结果相比，希尔伯特-黄变换的分解结果更准确，与测量系统的误差理论模型基本一致。
希尔伯特-黄变换多分辨分析法分解动态测量误差分两个步骤进行:
首先利用经验模式分解（EMD）方法将给定的信号分解为若干本征模态函数（IMF），这些IMF是满足一定条件的分量;然后，再利用希尔伯特（Hilbert）变换和瞬时频率方法获得信号的时频谱。
经验模态分解方法是HHT的核心部分，也就是通过将信号分解表示成许多单分量信号之和。
在EMD分解过程中，强调本征模态函数需要满足如下两个条件：
①在整个数据序列中，极值点的数量与过零点的数量必须相等或最多只相差1个；②在任一时刻，由极大值点定义的上包络线和由极小值点定义的下包络线的均值为零，也就是说信号的上下包络线对称于时间轴。
满足以上条件的基本模式分量被称为本征模态函数（IMF）。
通过EMD算法把复杂的动态测量误差
分解成有限个本征模态函数，获得分解结果：
（5-1）
式中：
为分解后的n个IMF分量，
，
为分解后的残余分量。
信号经分解得到IMF分量后，可以对每一个分量作希尔伯特变换，得到其瞬时频率和幅度。
设对IMF分量
进行Hilbert变换后得到
：
（5-2）
式中：
P为柯西主值，
。
从而
和
可以得到解析信号
：
（5-3）
式中：
为幅值函数，表示在每个采样点信号的瞬时能量幅值，
；
为相位函数，表示每个采样点信号的瞬时相位，
。
幅值函数
的时频分布定义为
的Hilbert谱，对
求导可得瞬时角频率
。
综合上述两步，动态测量误差信号可以表达为：
（5-4）
的图像是一个时间－频率－能量三维分布图，可以准确地描述信号幅值在整个频率段上随时间和频率变化的规律。
6.结论
本文介绍了一些动态误差分解与溯源的理论与方法，通过对这些方法的了解，有助于认识动态误差。
动态误差分解与溯源理论有利于更好的掌握动态测量，提高动态测量精度。
通过对测量系统内部各误差的来源及其分布的充分了解与掌握，为精度损失诊断提供依据；及时分析掌握各组成单元及其在实践中的误差时变规律，对实际动态测量系统的设计，也有着实际的指导意义。
参考文献
[1]费业泰.误差理论与数据处理[M].北京：
机械工业出版社，2004，第五版.1–98.
[2]许桢英，费业泰，陈晓怀.动态精度理论研究与发展.仪器仪表学报，2001，22（4）：
70–74.
[3]费业泰.论全系统动态测试精度理论的研究.合肥工业大学学报，2000，23
（1）：
6–9.
[4]费业泰.精度理论若干问题研究进展与未来.中国机械工程，2000，11（3）：
255-256.
[5]费业泰，卢荣胜.动态测量误差修正原理与技术[M].北京：
中国计量出版社，2005.1–70.
[6]余慧，胡绍林，李平.基于希尔伯特－黄变换的雷达数据误差修正处理技术［J］，中国空间科学技术，2010（6）：
57－63.
[7]陈晓怀，费业泰，黄强先.全系统动态测量精度理论的基本问题［J］.制造业自动化，1999，21（6）：
46－51.
[8]BraunS,FeldmanM.Decompositionofnon-stationarysignalsintovaryingtimescales:
SomeaspectsoftheEMDandHVDmethods［J］.MechanicalSystemsandSignalProcessing,2011,25（7）:
2608－2630.
[9]李晓惠.动态测量误差分解及溯源研究［D］.合肥：
合肥工业大学，2006：
50-60.
升级会员 