北航计算机图形学公选期末考试整理资料.docx

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北航计算机图形学公选期末考试整理资料

裁剪算法

直线段裁剪

1.直线段和窗口的关系

我们所说的窗口是各边平行于坐标轴的矩形。

窗口把一个直线段分成窗口内部分和窗口外部分。

通常落在窗口内部分是可见的，而落在窗口外部分是不可见的。

裁剪：

确定图形中哪些部分落在显示区之内，哪些落在显示区之外,以便只显示落在显示区内的那部分图形。

这个选择过程称为裁剪。

裁减的依据是一对简单的不等式：

通常，我们只要验证点的坐标是否满足上述条件即可。

然而，如果逐点验证上述不等式，运算效率是非常低的。

直线段和窗口的关系有

（1）直线段在窗口外；

（2）直线段完全在窗口内；

（3）直线段与窗口的一条边相交；

（4）直线段与窗口的两条边相交；

　结论：

对于任意一条直线，它要么被完全排斥在窗口之外；要么在窗口内留下一个可见段，并且只能有一个可见段。

3.实现方法

代码裁剪法

v基本思想：

对于每条线段P1P2分为三种情况处理:

（1）若P1P2完全在窗口内，则显示该线段P1P2简称“取”之。

（2）若P1P2明显在窗口外，则丢弃该线段，简称“弃”之。

（3）若线段不满足“取”或“弃”的条件，则在交点处把线段分为两段。

其中一段完全在窗口外，可弃之。

然后对另一段重复上述处理。

v为快速判断，采用如下编码方法：

›

每个区域赋予4位编码

›

›

›若P1P2完全在窗口内code1=0,且code2=0,则“取”

›若P1P2明显在窗口外code1&code2≠0，则“弃”

›在交点处把线段分为两段。

其中一段完全在窗口外，可弃之。

然后对另一段重复上述处理。

中点分割裁剪算法

v基本思想：

与前一种Cohen-Sutherland算法一样首先对线段端点进行编码，并把线段与窗口的关系分为三种情况:

›全在、完全不在和线段和窗口有交。

对前两种情况，进行一样的处理。

›对于第三种情况，用中点分割的方法求出线段与窗口的交点。

求线段与窗口的交点

A、B分别为距P0、P1最近的可见点，Pm为P0P1中点

v从出发找最近可见点的方法

›先求出的中点

›若不是显然不可见的，并且在窗口中有可见部分，则距最近的可见点一定落在上，所以用代替；

›否则取代替

›再对新的求中点。

重复上述过程，直到长度小于给定的控制常数为止，此时收敛于交点Ａ。

v从出发找最近可见点采用上面类似方法。

多边形裁剪

v基本思想是一次用窗口的一条边裁剪多边形。

v考虑窗口的一条边以及延长线构成的裁剪线

该线把平面分成两个部分:

可见一侧；不可见一侧

v基本思想是一次用窗口的一条边裁剪多边形。

v考虑窗口的一条边以及延长线构成的裁剪线

该线把平面分成两个部分:

可见一侧；不可见一侧

v对于

›情况

（1）仅输出顶点P；

›情况

（2）输出0个顶点；

›情况（3）输出线段PS与裁剪线的交点I；

›情况（4）输出线段PS与裁剪线的交点I和终点P

›上述算法仅用一条裁剪边对多边形进行裁剪，得到一个顶点序列，作为下一条裁剪边处理过程的输入。

›对于每一条裁剪边，只是判断点在窗口哪一侧以及求线段PS与裁剪边的交点算法应随之改变。

多边形运算

1.多边形的覆盖

　1）多边形覆盖情况分析

　当两个多边形互相重叠时，就会产生覆盖的效果。

覆盖是指一个多边形部分或全部地盖掉了下面的另一个多边形

对于多边形的覆盖，特别是凹多边形，由于情况比较复杂，画图的步骤一般是：

①利用“重叠性检验”，排除不会发生覆盖的多边形。

②逐条求出被覆盖多边形的边和覆盖多边形轮廓边的交点。

③对交点进行排序。

④利用“包含性检验”，区分出被覆盖段和未覆盖段。

⑤绘图输出未覆盖线段。

2.多边形的布尔运算

　1）布尔运算的概念

　多边形的布尔运算指的是：

在两个多边形之间进行并、交、差的运算。

2）多边形的描述

　任何一个多边形均是由顶点和边组成的。

所以可以把多边形的数据结构组成两张数据表：

顶点表和边表。

　　通常，在实际的布尔运算处理中，为了方便把多边形的边表改为环表。

环表是由组成多边形的顶点按照一定的顺序连接而成。

在环表中，每相邻两个顶点组成一条有向线段，它的方向与环的方向相同。

　3）布尔运算的规则

　在两个多边形有相互重叠的部分时，两个多边形可以进行布尔运算。

当两个多边形相互重叠时，表示两个多边形的两个环相交，其交点将有向直线段分为两部分：

环内部分和环外部分，分别表示处于另一个环的内部或外部。

　交点分为出点和入点两种：

当一个环的有向线段经过交点进入另一环，则该交点称为入点；反之，如果是走出另一环，则该交点称为出点。

　在进行布尔运算时，搜索新环的路径应该从交点处开始。

其运算规则如下：

（1）并运算　顺着环的方向搜索，当遇到的交点为入点时，则从该点在另一环上的对应点转入另一环，然后沿另一环的方向搜索；当遇到的交点为出点时，则继续顺着本环进行。

（2）交运算　顺着环的方向搜索，当遇到的交点为出点时，则从该点在另一环上的对应点转入另一环，然后沿另一环的方向搜索；当遇到的交点为入点时，则继续顺着本环进行。

　（3）差运算　进行差运算时，首先要将差环的原方向倒转过来，然后按照与并运算相同的规则进行处理。

曲线

　曲线、曲面主要分为两种：

　1.可以用一个称为标准方程解析式表示的，如圆、椭圆、双曲线、圆柱、圆球等。

　2.大部分曲线是由实验数据来给出的，只有一些数据点，称为“型值点”。

常见二次曲线的绘制

　1.绘制方法

（1）曲线的方程取参数方程。

（2）将曲线分割成很多短线段，用这些短线段来逼近曲线。

/*正弦曲线*/

#include

#include

#definePI3.1415926

main（）

{

intdlt,x;

floatn0,s0,n,s,ds,dn;

intgdriver=DETECT,gmode;

initgraph（&gdriver,&gmode,""）;

setbkcolor（15）;

setcolor（4）;

dlt=3;

ds=sin（2*dlt*PI/640）;

dn=cos（2*dlt*PI/640）;

s0=0;

n0=1;

line（0,240,640,240）;

moveto（0,240）;

x=0;

while（x<640）

{

s=s0*dn+n0*ds;

n=n0*dn-s0*ds;

x=x+dlt;

lineto（x,240–160*s）;

s0=s;

n0=n;

}

getch（）;

closegraph（）;

}

曲线参数表示

Ø参数表示:

曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。

假定用t表示参数，平面曲线上任一点P可表示为：

Ø空间曲线上任一三维点P可表示为：

Ø参数表示例子：

Ø直线

Ø圆

Ø

Ø参数表示的优点：

Ø1）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状

Ø2）对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何变换。

Ø3）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。

Ø4）便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。

Ø5）规格化的参数变量t∈[0,1]，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。

Ø6）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。

位置矢量、切矢量

●曲线上任一点的位置矢量可表示为：

P（t）=[x（t）,y（t）,z（t）]；

●

●

●

●

●

●切向量（切矢量）

•选择弧长s作为参数，则

•于是有

，即为单位矢量

插值、拟合、逼近

Ø给定一组有序的数据点Pi，i=0,1,…,n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。

Ø线性插值：

假设给定函数f（x）在两个不同点x1和x2的值，用一个直线：

y=ax+b近似代替，称为线性插值。

Ø抛物线插值:

已知在三个互异点

的函数值为

，要求构造一个函数

使抛物线

在结点

处与

在

处的值相等

Ø拟合：

构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点（但未必通过这些点），所构造的曲线为拟合曲线。

Ø在计算数学中，逼近通常指用一些性质较好的函数近似表示一些性质不好的函数。

在计算机图形学中，逼近继承了这方面的含义，因此插值和拟合都可以视为逼近。

抛物样条曲线

1、抛物线样条的由来

最主要的由来是由于二次曲线是曲线中最简单的，用它来拟合一般型值点比较方便。

2、过三点定义一段抛物线

设不在同一条直线上的三点：

P1，P2，P3，过P1，P2，P3三点抛物线方程为：

每相邻的四个点可以决定中间一段抛物线样条曲线。

2、曲线的讨论

（1）端点条件

前面我们讲到，在全部点列P[i]（I=1,2,…,n）中，我们只能得到n-3段曲线。

但n个点之间应当有n-1个曲线段，因为点列的首、尾两段P[1]P[2]和P[n-1]P[n]由于缺乏连续相邻的四点这样的条件而无法产生。

为了产生首尾两段曲线，一个最直接的方法是在原点列的两端各加入一个辅助点Ｐ[0]和P[n+1]。

如何加上点P[0]和P[n+1]呢？

通常有三种方法：

（1）已知两端的切矢P[1]‘和P[n]‘.

P[1]’=P[2]-P[0]P[0]=P[2]-P[1]’

P[1]’=P[2]-P[0]P[n+1]=P[n-1]+P[n]’

（2）自由端点

取P[0]=P[1]、P[n+1]=P[n]

（3）形成封闭曲线

取P[n+1]=P[1],P[0]=P[n],P[n+2]=P[2]

2.抛物线样条的性质

我们可以证明，抛物样条是一阶光滑的。

Ø连续性曲线间连接的光滑度的度量有两种：

●函数的可微性：

组合参数曲线在连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连续可微，这类光滑度称之为或n阶参数连续性。

●几何连续性：

组合曲线在连接处满足不同于的某一组约束条件，称为具有n阶几何连续性，简记为。

Ø若要求在结合处达到

连续或

连续，即两曲线在结合处位置连续：

Ø若要求在结合处达到

连续，就是说两条曲线在结合处在满足

连续的条件下，并有公共的切矢

当a＝1时，

连续就成为

连续

Ø若要求在结合处达到

连续，就是说两条曲线在结合处在满足

连续的条件下，并有公共的曲率矢：

三次参数曲线

代数形式

●上述代数式写成矢量式是

Ø几何形式

●对三次参数曲线，若用其端点位矢P（0）、P

（1）和切矢P¢（0）、P¢

（1）描述。

●将P（0）、P

（1）、P¢（0）和P¢

（1）简记为P0、P1、P¢0和P¢1，代入

得

●令：

可将其简化为：

上式是三次Hermite曲线的几何形式，几何系数是P0、P1、P¢0和P¢1。

称为调和函数（或混合函数）

二维图形的运算

1.交点计算

1.1两直线段的交点

则两条直线段的参数方程为：

如果两条直线相交，则满足

（1）Δ=0

方程组无解。

说明两条直线段所在直线相互平行或重合，所以不相交，没有交点产生。

（2）Δ0

方程组有唯一解。

如果0u1则说明交点P位于线段S1上。

否则，交点P位于线段S1延长线上。

如果0v1则说明交点P位于线段S2上。

否则，交点P位于线段S2延长线上。

所以，只有当0u1和0v1同时成立时，交点P既位于线段S1上又位于线段S2上。

1.2直线与圆弧的交点

设直线AB的方程为

圆心为C（xc,yc）半径为R的圆弧的参数方程为

如果直线段和圆弧相交，则有：

式中A,B,C均可由已知点的坐标求得

当Δ=B2-4AC0时，直线和圆弧不相交。

当Δ=B2-4AC＞0时，前面的一元二次方程有两个不相等的实根t1和t2。

当满足0t11或0t21时，直线段才有可能与圆弧相交。

此时可以通过

当求得的满足se时，直线段才与圆弧相交。

2.关系判断

　1.1.点的包含性检验

点的包含性检验是指：

判断一个点是否被包含在某一个区域内。

区域通常是多边形。

　通常有两种方法：

（1）夹角和检验法

（a）被测点p在多边形外（b）被测点p在多边形内

（2）交点数检验法

●由被测点P处向y=-方向作射线

●交点个数是奇数，则被测点在多边形内部

●否则，偶数，在多边形外部。

●若射线正好经过多边形的顶点，当共享顶点的两边在射线的同一侧，则交点计数加2，否则加1。

　1.2多边形重叠性检验

　　其思想是用包含多边形的最小矩形来检测。

3.窗口运算

　1.1.定义窗口和视区

　1.2.窗口－视区转换

假设在用户坐标系xoy中定义一个窗口，其左下角坐标为（xl,yb），右上角坐标为（xr,yt）；在设备坐标系x*o*y*中定义一个窗口，其左下角坐标为（xl*,yb*），右上角坐标为（xr*,yt*）；则有：

从窗口w到视口v的转换

1.直线的生成算法

　1.1.逐点比较法

（1）算法流程

算法说明：

①偏差判别：

按偏差来判断画笔的当前位置与规定图形的位置的偏差符号，以确定画笔下一步方向。

②画笔作图：

给出x向或y向的走步信号，使画笔在该方向上移动一个步距。

③终点判断：

判断当前画笔是否到终点。

④偏差计算：

在新位置上计算作图偏差，作为偏差判别的依据。

　如果把直线的起点设置在坐标原点，则规定直线处于4个不同的象限中时，画笔的走向如图所示。

（2）偏差计算

　①一般公式

　　设直线的终点为A（xa,ya）,当前位置为M（xm,ym）。

oA，oM与x轴的夹角分别为和。

则偏差为

由于上述公式的分母在所有的象限为正，故偏差判别式可简化为

Fm=ymxa-xmya

第一象限为例　

当＜0时，表示画笔在oA线的下方，应该走+y一步；当0，表示画笔在oA线上或上方，此时则应该走+x一步。

　②简化公式

　当Fm＜0时，应该走+y一步，即xm+1=xm，ym+1=ym＋1。

则

Fm＋1＝ym＋1xa-yaxm+1=Fm+xa

　当Fm0时，应该走+x一步，即xm+1=xm+1，ym+1=ym。

则

Fm＋1＝ym＋1xa-yaxm+1=Fm-ya

起始时，设F1=0，即假设画笔在直线段的起点。

　③其它象限中的偏差计算公式

　　第二象限

　当Fm＜0时，应该走-x一步，即xm+1=xm-1，ym+1=ym。

则

Fm＋1＝ym＋1xa-yaxm+1=Fm+ya=Fm+|ya|

当Fm0时，应该走+y一步，即xm+1=xm，ym+1=ym+1。

则

Fm＋1＝ym＋1xa-yaxm+1=Fm+xa=Fm-|xa|

　三、四象限是类似的。

④终点判断

　　设绘图机的步长为t，直线段在x,y两个方向上的增量分别为x和y，则绘图笔从直线的起点走到直线的终点，在x方

向应走x/t步，在y方向应走y/t步。

两个方向上的总步数为（x/t+y/t）。

●直线的扫描转换:

确定最佳逼近于该直线的一组象素，并且按扫描线顺序，将这些象素存入到帧缓存的相应单元中。

●三个常用算法：

数值微分法（DDA）

中点画线法

Bresenham算法。

数值微分（DDA）法

voidDDALine（intx0,inty0,intx1,inty1,intcolor）

intx；

floatdx,dy,y,k;

dx,=x1-x0,dy=y1-y0;

k=dy/dx,y=y0;

for（x=x0;xx1,x++）

drawpixel（x,int（y+0.5）,color）;

y=y+k;

注意上述分析的算法仅适用于k≤1的情形。

在这种情况下，x每增加1,y最多增加1。

当k1时，必须把x，y地位互换

Bresenham算法

voidBresenhamline（intx0,inty0,intx1,inty1,intcolor）

{intx,y,dx,dy;

floatk,e;

dx=x1-x0,dy=y1-y0,k=dy/dx;

e=-0.5,x=x0,y=y0;

for（i=0;idx;i++）

{drawpixel（x,y,color）;

x=x+1，e=e+k;

if（e0）

{y++,e=e-1;}

}

}

2.圆弧的生成算法

　2.1逐点比较法

　用逐点比较法生成圆弧是在绘图笔每走完一步，就要把绘图笔当前的位置距圆心的距离与半径进行比较，根据比较结果决定下一步的走向。

这种方法是用阶梯折线来逼近圆弧。

如图所示：

由于画圆的方向有顺时针和逆时针两种，所以讨论圆弧的生成算法时，要分成顺时针和逆时针及4个象限8种情况。

1）偏差计算

（1）一般公式

　　设圆弧的起点为A（xa,ya），终点为B（xb,yb），圆心在原点。

则圆弧的半径为

　　　　　　R=（xa2+ya2）1/2

设画笔的当前位置为M（xm,ym），则画笔至圆心的距离为　Rm=（xm2+ym2）1/2

记

　Fm＝Rm2-Ra2=（xm2+ym2）-（xa2+ya2）

以第一象限为例，

　　当Fm0时，即画笔在圆外或圆上，此时应向－x走步；

　当Fm0时，即画笔在圆内，此时应向＋y走步；

（2）简化公式

　　当Fm0时，此时应向－x走步，则xm+1=xm-1，ym+1=ym,从而

Fm＋1＝（xm+12+ym+12）-（xa2+ya2）

＝（xm2-2xm+1+ym2）-（xa2+ya2）

＝Fm-2xm+1

当Fm0时，此时应向＋y走步，则xm+1=xm，ym+1=ym＋1,从而

Fm＋1＝（xm+12+ym+12）-（xa2+ya2）

＝（xm2+ym2＋2ym+1）-（xa2+ya2）

＝Fm+2ym+1

2）公式的推广

　　以逆圆第三象限为例。

当Fm0时，此时应向+x走步，则xm+1=xm+1，ym+1=ym,从而

Fm＋1＝（xm+12+ym+12）-（xa2+ya2）

＝（xm2+2xm+1+ym2）-（xa2+ya2）

＝Fm+2xm+1

当Fm0时，此时应向-y走步，则xm+1=xm，ym+1=ym-1,从而

Fm＋1＝（xm+12+ym+12）-（xa2+ya2）

＝（xm2+ym2-2ym+1）-（xa2+ya2）

＝Fm-2ym+1

　3）终点的判断