《勾股定理》培优训练1.docx

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《勾股定理》培优训练1

《勾股定理》培优训练一

1.如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF.

（1）求证：

BF=2AE；

（2）若CD=

，求AD的长.

2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F.

（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；

（2）求线段BD的长.

3.联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.

定义：

到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.

举例：

如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心.

应用：

如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=

AB，求∠APB的度数.

探究：

已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长.

（1）连接PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度数；

（2）先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解．

4.已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC，分别与AB、AC交于点G.

（1）求证：

GE=GF；

（2）若BD=1，求DF的长.

5.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9．求AC的长．

6.已知等边△OAB的边长为a，以AB边上的高OA1为边，按逆时针方向作等边△OA1B1，A1B1与OB相交于点A2．

（1）求线段OA2的长；

（2）若再以OA2为边，按逆时针方向作等边△OA2B2，A2B2与OB1相交于点A3，按此作法进行下去，得到△OA3B3，△OA4B4，…△OAnBn（如图）．求△OA6B6的周长．

7.△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．

8.细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．

（

）2+1=2，S1=

；（

）2+1=3，S2=

；（

）2+1=4，S3=

（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；

（2）推算出OA10的长；

（3）求出S12+S22+S22+…+S102的值．

9.Rt△OAB的斜边AO在x轴的正半轴上，直角顶点B在第四象限内，S△OAB=20，OB：

AB=1：

2，求A、B两点的坐标．

10.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．

（1）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图①，求证：

MN2=AM2+BN2；请你完成证明过程：

（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

11.如图，△ABC是边长为4的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连结BD，交AC于F．

（1）猜想BD与DE的位置关系，并证明你的结论；

（2）求△BDE的面积S．

12.已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．

（1）如图1，若AB=2

，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；

（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB=2

，设BP=4，求QF的长．

13.四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B和∠D都是直角．

（1）求证：

BC=CD．

（2）若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽为“∠B和∠D互为补角”，其余条件不变，猜想：

BC边和邻边CD的长度是否一定相等？

请证明你的结论．

（3）探究：

在

（2）的情况下，如果再限制∠BAD=60°，那么相邻两边AB、AD和对角线AC之间有什么确定的数量关系？

需说明理由．

14.在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°．求证：

a2=b（b+c）

15.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=AB=4，BC=7，点E在BC边上，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点C'处．

（1）求∠C'DE的度数；

（2）求△C'DE的面积．

16.在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，∠ADC=60°，AB=2，BC=11，求：

（1）CD的长．

（2）四边形ABCD的面积．

17.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M、N在边BC上．

（1）如图1，如果AM=AN，求证：

BM=CN；

（2）如图2，如果M、N是边BC上任意两点，并满足∠MAN=45°，那么线段BM、MN、NC是否有可能使等式MN2=BM2+NC2成立？

如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

18.已知在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D点在边BC上，BF⊥AC分别交射线DA、射线CA于点E、F，若BD=4，∠BAD=45°．

（1）如图：

若∠BAC是锐角，则点F在边AC上，①求证：

△BDE≌△ADC；②若DC=3，求AE的长；

（2）若∠BAC是钝角，AE=1，求AC的长．

19.如图，△ABC是一个边长为1的等边三角形，BB1是△ABC的高，B1B2是△ABB1的高，B2B3是△AB1B2的高，B3B4是△AB2B3的高，…Bn-1Bn是△ABn-2Bn-1的高

（1）求BB1的长；

（2）填空：

B1B2的长为，B2B3的长为；

（3）根据

（1）、

（2）的计算结果，猜想写出Bn-1Bn的值（用含n的代数式表示，n为正整数）．

20.如图，△ABD、△CBD都是等边三角形，DE、BF分别是△ABD的两条高，DE、BF交于点G．

（1）求∠BGD的度数；

（2）连接CG，①求证：

BG+DG=CG；②求

的值．

21.

（1）如图1，在△ABC中，BC=3，AC=4，AB=5．D为AB边上一点，且△ACD与△BCD的周长相等，则AD=．

（2）如图2，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB2=BC2+AC2．E为BC边上一点，且△ABE与△ACE的周长相等；F为AC边上一点，且△ABF与△BCF的周长相等，求CE•CF（用含a，b的式子表示）．

22.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ABE=∠CBE．

（1）求证：

BH=AC；

（2）求证：

BG2-GE2=EA2．

23.如图，等边△ABC和等边△DEC，CE和AC重合，CE=

AB．

（1）求证：

AD=BE；

（2）若CE绕点C顺时针旋转30°，连BD交AC于点G，取AB的中点F边FG．求证：

BE=2FG．

24.在讨论问题：

“如图1，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD，请问：

BD、AB、BC三边满足什么关系”时，某同学在图中作△ACE≌△DCB，连接BE得图2，然后指出三边的关系为BD2=AB2+BC2．他的判断是否正确？

请说明理由．

26.如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．

（1）如果CA=CB，求证：

AE2+BF2=EF2；

（2）如图2，如果CA＜CB，

（1）中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

27.已知：

△ABC中，AB＜BC，AC的中点为M，MN⊥AC交∠ABC的角平分线于N．

（1）如图1，若∠ABC=60°，求证：

BA+BC=

BN；

（2）如图2，若∠ABC=120°，则BA、BC、BN之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明．

（1）连接AN、CN，过点N作NE⊥AB于点E，NF⊥BC于点F，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AN=NC，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NF，然后利用“HL”证明Rt△ANE和Rt△CNF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，然后求出BA+BC=2BF，在Rt△BNF中，利用∠NBF的余弦值列式整理即可得证；

（2）连接AN、CN，在BC上截取BE=AB，然后利用“边角边”证明△ABN和△ABE全等，根据全等三角形对应边相等可得NA=NE，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得NA=NC，从而得到NE=NC，过点N作NF⊥BC于点F，根据等腰三角形三线合一的性质可得EF=

EC，然后表示出BF，在Rt△BFN中，利用∠NBF的余弦值列式整理即可得解．

28.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，BC=2

，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°（A，D，E按逆时针方向）．如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．

（1）求证：

∠1=∠2．

（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

※（3）如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E′，是否存在点D，使△ADE′是等腰三角形？

若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由．

（1）求出∠B=45°，根据三角形外角性质得出∠1+∠B=∠ADC=45°+∠2，求出即可．

（2）分为三种情况，①DE=AE，②AD=AE，③AD=DE，根据等腰三角形性质（等腰三角形两边相等），三角形全等推出即可．（3）存在，条件是CD=AC，求出∠DE′A=∠CAD=22.5°，根据CD=CA可得∠CAD=∠ADC，∠ADE=45°可根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠CAD；再根据∠CAD+∠E′=∠ADE可得∠CAD=∠E′．存在，当D在BC延长线上，且CD=CA时，△ADE′是等腰三角形，理由是：

∵∠ACB=45°，∴∠ADB＜45°，∴∠EDB＜90°，∴∠BDE′永远是钝角，∴∠ADE′是钝角，即∠ADE′只能为等腰△ADE′的顶角，∵∠ADE=45°=∠ACB=∠DCE′，又∵CD=CA，∴∠CAD=∠CDA=22.5°，∴∠EDC=67.5°，∴∠DE′C=∠EDC-∠DCE′=22.5°，∴∠CAD=∠CE′D，∴DA=DE′，∴△ADE′是等腰三角形．

29.如图，△ABC是等边三角形，过点C作CD⊥CB交∠CBA的外角平分线于点D，连接AD，过点C作∠BCE=∠BAD，交AB的延长线于点E．

（1）求证：

BD=BE；

（2）若CD=4，求AD的长．

30.已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．

（1）如图1，若AB=AE，∠DAC=∠EAB=60°，则∠BFC=；

（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，BC=4，AB=3．求BD的长；

（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H，当BD2=4AH2+BC2时，判定∠DAC与∠ABC的数量关系，并证明你的结论．

（3）∠DAC=2∠ABC成立，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK，仿照

（2）利用旋转法证明△EAC≌△BAD，利用内角和定理证明结论．∠DAC=2∠ABC成立，以下证明：

过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK．∵AH⊥BC于H，∴∠AHC=90°．∵BE∥AH，∴∠EBC=90°．∵∠EBC=90°，BE=2AH，∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2．∵BD2=4AH2+BC2，∴EC=BD．∵K为BE的中点，BE=2AH，∴BK=AH．∵BK∥AH，∴四边形AKBH为平行四边形．又∵∠EBC=90°，∴四边形AKBH为矩形．∴∠AKB=90°．∴AK是BE的垂直平分线．∴AB=AE．∵AB=AE，EC=BD，AC=AD，

∴△EAC≌△BAD．∴∠EAC=∠BAD．∴∠EAC-∠EAD=∠BAD-∠EAD．即∠EAB=∠DAC．∵∠EBC=90°，∠ABC为锐角，∴∠ABC=90°-∠EBA．∵AB=AE，∴∠EBA=∠BEA．∴∠EAB=180°-2∠EBA．∴∠EAB=2∠ABC．∴∠DAC=2∠ABC．

31.某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：

“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：

如图

（1）△ABC中，M是BC的中点，P是射线MA上的点，设

=k，若∠BPC=90°，则称k为勾股比．

（1）如图

（1），过B、C分别作中线AM的垂线，垂足为E、D．求证：

CD=BE．

（2）①如图

（2），当=1，且AB=AC时，AB2+AC2=BC2（填一个恰当的数）．

②如图

（1），当k=1，△ABC为锐角三角形，且AB≠AC时，①中的结论还成立吗？

若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由；

③对任意锐角或钝角三角形，如图

（1）、（3），请用含勾股比k的表达式直接表示AB2+AC2与BC2的关系（写出锐角或钝角三角形中的一个即可）．

32.在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，点E在DC的延长线上，AE交BC边于点F，且AE=AB．

（1）如图1，求证：

∠B=∠E：

（2）如图2，在

（1）的条件下，在BC上取一点M，使BM=CE，连接AM，过M作MH⊥AE于H，连接CH，若∠BAE=∠EHC=60°，CF=2，求线段AH的长．

33.如图，在直角坐标系中，点B坐标为（-4，0），点C与点B关于原点O对称，点A为y轴上一动点，其坐标为（0，k），BE，CD分别为△ABC中AC，AB边上的高，垂足分别为E，D．

（1）当k=-3时，求AB的长；

（2）试说明△DOE是等腰三角形；（3）k取何值时，△DOE是等边三角形？

（直接写出k的值即可）

34.如图，已知△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，如果点P在线段AC上以1厘米/秒的速度由A点向C点运动，同时，点Q在线段BC上由C点向B点运动，运动速度与点P的运动速度相等，点M是AB的中点．

（1）在点P和点Q运动过程中，△APM与△CQM是否保持全等，请说明理由；

（2）在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积是否变化？

若变化说明理由；若不变，求出这个四边形的面积；

（3）线段AP、PQ、BQ之间存在什么数量关系，写出这个关系，并加以证明．