16.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证:
AC-AB=2BE
∠BAC=180—(∠ABC+∠C=180—4∠C
∠1=∠BAC/2=90-2∠C
∠ABE=90-∠1=2∠C
延长BE交AC于F
因为,∠1=∠2,BE⊥AE
所以,△ABF是等腰三角形AB=AF,BF=2BE∠FBC=∠ABC—∠ABE=3∠C—2∠C=∠CBF=CFAC—AB=AC-AF=CF=BF=2BE
17.
已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC
作AG∥BD交DE延长线于G
AGE全等BDE
AG=BD=5AGF∽CDF
AF=AG=5
所以DC=CF=2
18.(5分)如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:
AD⊥BC.
延长AD至H交BC于H;BD=DC;
所以:
∠DBC=∠角DCB;∠1=∠2;
∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;∠ABC=∠ACB;
所以:
AB=AC;
三角形ABD全等于三角形ACD;
∠BAD=∠CAD;AD是等腰三角形的顶角平分线所以:
AD垂直BC
19.(5分)如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.
求证:
∠OAB=∠OBA
因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM,且∠MOA=∠MOB
所以MA=MB所以∠MAB=∠MBA
因为∠OAM=∠OBM=90度
所以∠OAB=90—∠MAB∠OBA=90-∠MBA所以∠OAB=∠OBA
20.(5分)如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证:
AD+BC=AB.
证明:
做BE的延长线,与AP相交于F点,∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=180°,
又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB为直角三角形在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线
∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中,∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
21.(6分)如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证:
∠C=2∠B
证明:
在AB上找点E,使AE=AC∵AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD∴△ADE≌△ADC。
DE=CD,∠AED=∠C∵AB=AC+CD,∴DE=CD=AB—AC=AB-AE=BE∠B=∠EDB∠C=∠B+∠EDB=2∠B
22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
(1)求证:
MB=MD,ME=MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?
若成立请给予证明;若不成立请说明理由.
分析:
通过证明两个直角三角形全等,即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形.再根据平行四边形的性质得出结论.
解答:
解:
(1)连接BE,DF.∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,,∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,在Rt△DEC和Rt△BFA中,∵AF=CE,AB=CD,∴Rt△DEC≌Rt△BFA,∴DE=BF.∴四边形BEDF是平行四边形.∴MB=MD,ME=MF;
(2)连接BE,DF.∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,,∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,在Rt△DEC和Rt△BFA中,∵AF=CE,AB=CD,∴Rt△DEC≌Rt△BFA,∴DE=BF.∴四边形BEDF是平行四边形.∴MB=MD,ME=MF.
23.(7分)已知:
如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点,
(1)求证:
△AED≌△EBC.
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):
(1)DC∥AE,且DC=AE,所以四边形AECD是平行四边形。
于是知AD=EC,且∠EAD=∠BEC.由AE=BE,所以△AED≌△EBC.
(2)△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。
24.(7分)如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.
求证:
BD=2CE.
证明:
延长BA、CE,两线相交于点F∵BE⊥CE∴∠BEF=∠BEC=90°在△BEF和△BEC中∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC∴△BEF≌△BEC(ASA)∴EF=EC∴CF=2CE∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°又∵∠ADB=∠CDE∴∠ABD=∠ACF在△ABD和△ACF中∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°∴△ABD≌△ACF(ASA)∴BD=CF∴BD=2CE
25、(10分)如图:
DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。
求证:
△AED≌△BFC。
26、(10分)如图:
AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。
求证:
AM是△ABC的中线。
证明:
∵BE‖CF∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM∴AM是△ABC的中线.
27、(10分)如图:
在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。
求证:
BD⊥AC。
三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等,它们全等,所以角ADB和角CDB相等,它们的和是180度,所以都是90度,BD垂直AC
28、(10分)AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点.求证:
BF=CF
证明:
在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD
∴△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC在△BDF与△FDC中BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=FC
29、(12分)如图:
AB=CD,AE=DF,CE=FB。
求证:
AF=DE。
因为AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB所以三角形ABE=三角形CDF因为角DCB=角ABFAB=DCBF=CE三角形ABF=三角形CDE所以AF=DE
30。
公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上。
证:
∵AB平行CD(已知)∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等)∵M在BC的中点(已知)∴EM=FM(中点定义)在△BME和△CMF中BE=CF(已知)∠B=∠C(已证)EM=FM(已证)∴△BME全等与△CMF(SAS)∴∠EMB=∠FMC(全等三角形的对应角相等)
∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°(等式的性质)
∴E,M,F在同一直线上
31.已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证:
△ABE≌△CDF.
证明:
∵AF=CE∴AF+EF=CE+EF∴AE=CF∵BE//DF∴∠BEA=∠DFC又∵BE=DF∴⊿ABE≌⊿CDF(SAS)
32.已知:
如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证:
AE=AF。
连结BD,得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC,由等腰△两底角相等得:
角ABC=角ADC在结合已知条件证得:
△ADE≌△ABF
得AE=AF
33.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
∠5=∠6.
因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC。
又因为AC是公共边,所以AAS==>三角形ADC全等于三角形ABC.所以BC等于DC,角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC所以∠5=∠6
34.已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证:
△ABC≌△DEF.
因为D,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因为AB平行DE,BC平行EF所以角A+角EDF,角BCA=角F(两直线平行,内错角相等)然后SSA(角角边)三角形全等
35.已知:
如图,AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,求证:
BE=CD.
证明:
因为AB=AC,所以∠EBC=∠DCB因为BD⊥AC,CE⊥AB所以∠BEC=∠CDBBC=CB(公共边)则有三角形EBC全等于三角形DCB所以BE=CD
36、如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。
求证:
DE=DF.
AAS证△ADE≌△ADF
37。
已知:
如图,AC
BC于C,DE
AC于E,AD
AB于A,BC=AE.若AB=5,求AD的长?
角C=角E=90度
角B=角EAD=90度-角BAC
BC=AE
△ABC≌△DAE
AD=AB=5
38.如图:
AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为E、F,ME=MF。
求证:
MB=MC
证明∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形∴∠B=∠C
又∵ME=MF,△BEM和△CEM是直角三角形
∴△BEM全等于△CEM∴MB=MC
39。
如图,给出五个等量关系:
①
②
③
④
⑤
.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结论(只需写出一种情况),并加以证明.
已知:
求证:
证明:
已知1,2求证4因为AD=BCAC=BD,在四边形ADBC中,连AB所以△ADB全等于△BCA所以角D=角C
以4,5为条件,1为结论。
即:
在四边形ABCD中,∠D=∠C,∠A=∠B,求证:
AD=BC因为∠A+∠B+∠C+∠D=360∠D=∠C,∠A=∠B,所以2(∠A+∠D)=360°,∠A+∠D=180°,所以AB//DC
40.在△ABC中,
,
,直线
经过点
,且
于
,
于
.
(1)当直线
绕点
旋转到图1的位置时,求证:
①
≌
;②
;
(2)当直线
绕点
旋转到图2的位置时,
(1)中的结论还成立吗?
若成立,请给出证明;若不成立,说明理由。
(1)证明:
∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,而AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,∴∠ADC=∠CEB=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∴∠ACD=∠CBE.在Rt△ADC和Rt△CEB中,{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB,∴Rt△ADC≌Rt△CEB(AAS),∴AD=CE,DC=BE,∴DE=DC+CE=BE+AD;
(2)不成立,证明:
在△ADC和△CEB中,{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB,∴△ADC≌△CEB(AAS),∴AD=CE,DC=BE,∴DE=CE—CD=AD-BE;
41.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。
求证:
(1)EC=BF;
(2)EC⊥BF
(1)证明;因为AE垂直AB所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因为AF垂直AC所以角CAF=角CAB+角BAF=90度所以角EAC=角BAF因为AE=ABAF=AC所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F
(2)
(2)延长FB与EC的延长线交于点G因为角ECA=角F(已证)所以角G=角CAF因为角CAF=90度所以EC垂直BF
42.如图:
BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。
求证:
(1)AM=AN;
(2)AM⊥AN。
证明:
(1)∵BE⊥AC,CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC,CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN
(2)∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN
43.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:
BC∥EF
连接BF、CE,
证明△ABF全等于△DEC(SAS),
然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF
从而求得BC平行于EF
44.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?
请说明理由
在AB上取点N,使得AN=AC∠CAE=∠EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN
所以∠ANE=∠ACE又AC平行BD
所以∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180
所以∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBNBE为公共边,
所以三角形EBN全等三角形EBD
所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD
45、(10分)如图,已知:
AD是BC上的中线,且DF=DE.求证:
BE∥CF.
证明:
∵AD是中线∴BD=CD∵DF=DE,∠BDE=∠CDF∴△BDE≌△CDF∴∠BED=∠CFD∴BE‖CF
46、(10分)已知:
如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,
.
求证:
.
证明:
∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEC=∠AFB=90°,在Rt△DEC和Rt△BFA中,DE=BF,AB=CD,∴Rt△DEC≌Rt△BFA,∴∠C=∠A,∴AB∥CD.
47、(10分)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
AB=CD
【待定】
48、(10分)如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段CE与DE的大小与位置关系,并证明你的结论.
结论:
CE〉DE.当∠AEB越小,则DE越小。
证明:
过D作AE平行线与AC交于F,连接FB由已知条件知AFDE为平行四边形,ABEC为矩形,且△DFB为等腰三角形。
RT△BAE中,∠AEB为锐角,即∠AEB〈90°∵DF//AE∴∠FDB=∠AEB〈90°△DFB中∠DFB=∠DBF=(180°—∠FDB)/2>45°RT△AFB中,∠FBA=90°—∠DBF〈45°∠AFB=90°—∠FBA>45°∴AB〉AF∵AB=CEAF=DE∴CE>DE
49、(10分)如图,已知AB=DC,AC=DB,BE=CE,求证:
AE=DE。
先证明△ABC≌△BDC的出角ABC=角DCB
在证明△ABE≌△DCE
得出AE=DE
50.如图9所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:
∠ADC=∠BDE.
证明:
作CG平分∠ACB交AD于G∵∠ACB=90°∴∠ACG=∠DCG=45°∵∠ACB=90°AC=BC∴∠B=∠BAC=45°∴∠B=∠DCG=∠ACG∵CF⊥AD∴∠ACF+∠DCF=90°∵∠ACF+∠CAF=90°∴∠CAF=∠DCF∵AC=CB∠ACG=∠B∴△ACG≌△CBE∴CG=BE∵∠DCG=∠BCD=BD∴△CDG≌△BDE∴∠ADC=∠BDE