（3）重力做功WG＝－20J时，物体的重力势能减小20J.（ × ）
（4）重力做功一定与路径无关，只与初、末位置的高度差有关.（ √ ）
2.质量为m的物体（可视为质点）从地面上方H高处由静止释放，落在地面后出现一个深度为h的坑，如图1所示，重力加速度为g，在此过程中，重力对物体做功为______，重力势能________（填“减少”或“增加”）了________.
图1
答案 mg（H＋h） 减少 mg（H＋h）
一、重力做功
如图2所示，一个质量为m的物体，从高度为h1的位置A分别按下列三种方式运动到高度为h2的位置B，在这个过程中思考并讨论以下问题：
图2
（1）根据功的公式求出甲、乙两种情况下重力做的功；
（2）求出丙中重力做的功；
（3）重力做功有什么特点？
答案
（1）甲中WG＝mgh＝mgh1－mgh2
乙中WG′＝mglcosθ＝mgh＝mgh1－mgh2
（2）把整个路径AB分成许多很短的间隔AA1、A1A2…，由于每一段都很小，每一小段都可以近似地看成一段倾斜的直线，设每段小斜线的高度差分别为Δh1、Δh2…，则物体通过每段小斜线时重力做的功分别为mgΔh1、mgΔh2….
物体通过整个路径时重力做的功
WG″＝mgΔh1＋mgΔh2＋…＝mg（Δh1＋Δh2＋…）＝mgh
＝mgh1－mgh2
（3）物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关.
1.重力做功大小只与重力和物体高度变化有关，与受到的其他力及运动状态均无关.
2.物体下降时重力做正功，物体上升时重力做负功.
3.重力做功的特点可推广到任一恒力的功，即恒力做功的特点是：
与具体路径无关，而跟初、末位置有关.
例1
如图3所示，质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚下经过水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达
的D点时，速度为零，在这个过程中，重力做功为（重力加速度为g）（ ）
图3
A.
B.
C.mghD.0
答案 B
解析 解法一 分段法.
小球由A→B，重力做正功W1＝mgh
小球由B→C，重力做功为0，
小球由C→D，重力做负功W2＝－mg·
故小球由A→D全过程中重力做功
WG＝W1＋W2＝mg
＝
mgh，B正确.
解法二 全过程法.
全过程，小球的高度差h1－h2＝
h，故WG＝
mgh.故选B.
计算重力做功时，找出初、末位置的高度差h，直接利用公式WG＝mgh即可，无需考虑中间的复杂运动过程.
二、重力势能
如图4所示，质量为m的物体自高度为h2的A处下落至高度为h1的B处.重力加速度为g，求下列两种情况下，重力做的功和重力势能的变化量，并分析它们之间的关系.
图4
（1）以地面为零势能参考平面；
（2）以B处所在的水平面为零势能参考平面.
答案
（1）重力做的功WG＝mgΔh＝mg（h2－h1），选地面为零势能参考平面，EpA＝mgh2，EpB＝mgh1，重力势能的变化量ΔEp＝mgh1－mgh2＝－mgΔh.
（2）选B处所在的水平面为零势能参考平面，重力做功WG＝mgΔh＝mg（h2－h1）.物体的重力势能EpA＝mg（h2－h1）＝mgΔh，EpB＝0，重力势能的变化量ΔEp＝0－mgΔh＝－mgΔh.
综上两次分析可见WG＝－ΔEp，即重力做的功等于重力势能的变化量的负值，而且重力势能的变化与零势能参考平面的选取无关.
1.重力做功与重力势能变化的关系
WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
2.重力势能的相对性
物体的重力势能总是相对于某一水平参考面，选不同的参考平面，物体重力势能的数值是不同的.故在计算重力势能时，必须首先选取参考平面.
注意：
（1）参考平面的选择具有任意性.
（2）重力势能变化量的绝对性：
物体在两个高度不同的位置时，由于高度差一定，重力势能之差也是一定的，即物体的重力势能的变化量与参考平面的选取无关.
例2
下列关于重力势能的说法正确的是（ ）
A.物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B.物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C.一个物体的重力势能从－5J变化到－3J，重力势能增加了
D.在地面上的物体具有的重力势能一定等于零
答案 C
解析 物体的重力势能与参考平面的选取有关，同一物体在同一位置相对不同的参考平面的重力势能不同，A选项错；物体在零势能面以上，距零势能面的距离越大，重力势能越大，物体在零势能面以下，距零势能面的距离越大，重力势能越小，B选项错；重力势能的正、负号表示大小，－5J的重力势能小于－3J的重力势能，C选项对；只有选地面为零势能面时，地面上的物体的重力势能才为零，否则不为零，D选项错.
例3
如图5所示，桌面距地面的高度为0.8m，一物体（可看成质点）质量为2kg，放在桌面上方0.4m的支架上，则：
（g取9.8m/s2）
图5
（1）以桌面为参考平面，计算物体具有的势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能的减少量；
（2）以地面为参考平面，计算物体具有的势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能的减少量；
（3）比较以上计算结果，说明什么问题？
答案
（1）7.84J 23.52J
（2）23.52J 23.52J
（3）见解析
解析
（1）以桌面为参考平面，物体距参考平面的高度为h1＝0.4m，因而物体具有的重力势能为
Ep1＝mgh1＝2×9.8×0.4J＝7.84J.
物体落至地面时，物体的重力势能为
Ep2＝mgh2＝2×9.8×（－0.8）J＝－15.68J，
因此物体在此过程中的重力势能减少量为
ΔEp＝Ep1－Ep2＝7.84J－（－15.68）J＝23.52J.
（2）以地面为参考平面，物体距参考平面的高度为h1′＝（0.4＋0.8）m＝1.2m，因而物体具有的重力势能为
Ep1′＝mgh1′＝2×9.8×1.2J＝23.52J.
物体落至地面时，物体的重力势能为Ep2′＝0.
在此过程中，物体的重力势能减少量为
ΔEp′＝Ep1′－Ep2′＝23.52J－0＝23.52J.
（3）通过上面的计算，说明重力势能是相对的，它的大小与参考平面的选择有关，而重力势能的变化量是绝对的，它与参考平面的选择无关.
三、重力做功与重力势能变化的关系
重力做多少功，物体的重力势能就减少多少.关系式为：
WG＝mgh1－mgh2＝Ep1－Ep2＝－ΔEp.
其中，Ep1＝mgh1表示物体在初位置的重力势能，Ep2＝mgh2表示物体在末位置的重力势能，ΔEp表示此过程中重力势能的变化量.
1.当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，也就是WG＞0，Ep1＞Ep2.这里重力势能的减少量等于物体重力所做的功.
2.当物体由低处运动到高处时，重力做负功（物体克服重力做功），重力势能增加，即WG＜0，Ep1＜Ep2.这时重力势能的增加量等于物体克服重力所做的功.
例4
（2018·南昌二中期末）如图6所示，质量为m的小球，用一长为l的细线悬于O点，将悬线拉直成水平状态，并给小球一个竖直向下的速度让小球向下运动，O点正下方D处有一小钉子，小球运动到B处时会以D为圆心做圆周运动，并经过C点，若已知OD＝
l，重力加速度为g，则小球由A点运动到C点的过程中，重力做功为多少？
重力势能减少了多少？
图6
答案
mgl
mgl
解析 从A点运动到C点，小球下落的高度为h＝
l，
故重力做功WG＝mgh＝
mgl，
重力势能的变化量ΔEp＝－WG＝－
mgl
负号表示小球的重力势能减少了.
重力势能变化多少是由重力做功的多少来度量的，与物体除重力外是否还受其他力作用以及除重力做功外是否还有其他力做功等因素均无关.
针对训练 在水平地面上平铺n块砖，每块砖的质量均为m，厚度均为h，如图7所示，如将砖一块一块地竖直叠放起来，在此过程中，重力做多少功？
重力势能如何变化？
（重力加速度为g）
图7
答案 －
mgh 增加了
mgh
解析 砖由平放在地面上到把它们一块块地叠放起来，克服重力所做的功等于砖增加的重力势能.
取n块砖整体为研究对象，原来整体重心距地面高度为
，叠放起来后整体重心距地面高度为
nh，
WG＝nmgΔh＝nmg
＝－
mgh.
所以重力势能增加了
mgh.
1.（重力做功的特点）如图8所示，一位小朋友在同一高度分别沿两种滑梯滑到水平地面上，此过程中（ ）
图8
A.沿滑梯1重力做功最大
B.沿滑梯2重力做功最大
C.沿滑梯1和2重力做功相等
D.条件不足不能判断
答案 C
2.（对重力势能的理解）关于重力势能，下列说法正确的是（ ）
A.重力势能是地球和物体共同具有的，而不是物体单独具有的
B.处在同一高度的物体，具有的重力势能相同
C.重力势能是标量，不可能有正、负值
D.浮在海面上的小船的重力势能一定为零
答案 A
解析 重力势能具有系统性，重力势能是物体与地球共有的，故A正确；重力势能等于mgh，其中h是相对于参考平面的高度，参考平面不同，h不同，另外质量也不一定相同，故处在同一高度的物体，其重力势能不一定相同，选项B错误；重力势能是标量，但有正负，负号表示物体在参考平面的下方，故C错误；零势能面的选取是任意的，并不一定选择海平面为零势能面，故浮在海面上的小船的重力势能不一定为零，选项D错误.
3.（重力势能及重力势能的变化）（2018·孝感八校教学联盟高一下学期期末联考）质量为m的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地面高度为h，如图9所示，若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个下落过程中重力势能的变化分别为（ ）
图9
A.mgh，减少mg（H－h）
B.mgh，增加mg（H＋h）
C.－mgh，减少mg（H＋h）
D.－mgh，增加mg（H－h）
答案 C
4.（重力做功的计算）（2017·浙江11月选考）如图10所示，质量为60kg的某运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将她的身体视为一根直棒.已知重心在c点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离Oa、Ob分别为0.9m和0.6m.若她在1min内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4m，则克服重力做的功和相应的功率约为（ ）
图10
A.430J,7WB.4300J,70W
C.720J,12WD.7200J,120W
答案 B
解析 设每次俯卧撑中，运动员重心变化的高度为h，由几何关系可得，
＝
，即h＝0.24m.一次俯卧撑中，克服重力做功W＝mgh＝60×9.8×0.24J＝141.12J，所以1min内克服重力做的总功为W总＝NW＝4233.6J，功率P＝
＝70.56W，故选B.
5.（重力做功与重力势能变化的关系）（2018·高邮中学高一下学期期末）如图11所示，一质量为m＝2kg的物块在大小为20N、方向沿斜面向上的拉力F作用下，由静止沿倾角为θ＝37°的固定斜面向上运动.运动x＝10m时，速度达到v＝6m/s.已知g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.求此过程中：
图11
（1）F对物块做的功W；
（2）物块重力势能的增量ΔEp；
（3）物块克服重力做功的最大瞬时功率P.
答案
（1）200J
（2）120J （3）72W
解析
（1）WF＝Fx＝200J
（2）物块重力势能增量：
ΔEp＝mgxsin37°＝2×10×10×0.6J＝120J
（3）物块克服重力做功的最大瞬时功率：
P＝|mgvcos（180°－53°）|＝72W
[基础对点练]
考点一 重力做功的特点
1.某游客领着孩子游泰山时，不小心将手中质量为m的皮球滑落，球从山上的位置A滚到了山脚下的位置B，高度标记如图1所示，则下列说法正确的是（重力加速度为g）（ ）
图1
A.从A到B的曲线长度不知道，无法求出此过程重力做的功
B.从A到B过程中阻力大小不知道，无法求出此过程重力做的功
C.从A到B重力做功mg（H＋h）
D.从A到B重力做功mgH
答案 D
解析 重力做功与路径无关，根据两点间的高度差即可求得重力做的功.因A、B两点间的高度差为H，则重力做功W＝mgH，D正确.
2.（多选）在高处的某一点将两个质量相等的小球以相同速率v0分别竖直上抛和竖直下抛，下列结论正确的是（不计空气阻力）（ ）
A.从抛出到刚着地，重力对两球所做的功相等
B.从抛出到刚着地，重力对两球做的功都是正功
C.从抛出到刚着地，重力对两球做功的平均功率相等
D.两球刚着地时，重力的瞬时功率相等
答案 ABD
解析 重力做功只取决于初、末位置的高度差，与路径和运动状态无关.由W＝mgh得出重力做功的大小只由重力和高度的变化决定，故A、B项正确；由于竖直上抛比竖直下抛的运动时间长，由P＝
，知P上＜P下，故C项错误；由运动学公式得出着地时速度相同，重力的瞬时功率P＝mgv相同，故D项正确.
考点二 对重力势能的理解
3.下列关于重力势能的几种理解，正确的是（ ）
A.重力势能等于零的物体，一定不能对别的物体做功
B.放在地面上的物体，它的重力势能一定等于零
C.选取地面为参考平面，从不同高度将某一物体抛出，落地时物体的重力势能不相等
D.选取不同的参考平面，物体具有不同数值的重力势能，但两位置重力势能之差相等
答案 D
4.一物体以初速度v竖直向上抛出，做竖直上抛运动，则物体的重力势能Ep－路程s图象应是下列四个图中的（ ）
答案 A
解析 以抛出点为零势能点，则上升阶段路程为s时，克服重力做功mgs，重力势能Ep＝mgs，即重力势能与路程s成正比；下降阶段，物体距抛出点的高度h＝2h0－s，其中h0为上升的最高点，故重力势能Ep＝mgh＝2mgh0－mgs，故下降阶段，随着路程s的增大，重力势能线性减小，选项A正确.
5.（多选）（2018·石室中学期末考试）如图2所示，质量相同的A、B两小球用长度不同的两轻绳悬于等高的O1、O2点，绳长LA、LB的关系为LA>LB，将轻绳水平拉直，并将小球A、B由静止开始同时释放，取释放的水平位置为零势能的参考平面，则下列说法正确的是（ ）
图2
A.在下落过程中，当两小球到同一水平线L上时具有相同的重力势能
B.两小球分别落到最低点的过程中减少的重力势能相等
C.A球通过最低点时的重力势能比B球通过最低点时的重力势能大
D.A、B两小球只要在相同的高度，它们所具有的重力势能就相等
答案 AD
解析 下落过程中，当两小球到同一水平线L上时，因它们的质量相同，则具有相同的重力势能，故A正确；根据重力势能的变化与重力及下落的高度有关知两小球分别落到最低点的过程中减少的重力势能不相等，故B错误；取释放的水平位置为零势能的参考平面，则根据重力势能的定义知，A球通过最低点时的重力势能比B球通过最低点时的重力势能小，故C错误；两小球只要在相同的高度，它们所具有的重力势能就相等，故D正确.
考点三 重力做功与重力势能的变化
6.（多选）物体在运动过程中，克服重力做功100J，则以下说法正确的是（ ）
A.物体的高度一定降低了
B.物体的高度一定升高了
C.物体的重力势能一定是100J
D.物体的重力势能一定增加100J
答案 BD
解析 克服重力做功，即重力做负功，重力势能增加，高度升高，克服重力做多少功，重力势能就增加多少，但重力势能是相对的，增加100J的重力势能，并不代表现在的重力势能就是100J，故B、D正确，A、C错误.
7.一根长为2m、重为200N的均匀直木杆放在水平地面上，现将它的一端缓慢地从地面抬高0.5m，另一端仍放在地面上，则重力势能增加量为（ ）
A.50JB.100J
C.200JD.400J
答案 A
解析 由几何关系可知，杆的重心向上运动了h＝
m＝0.25m，故克服重力做功WG＝mgh＝200×0.25J＝50J，即重力势能增加量为50J，选项A正确.
[能力提升练]
8.图3所示，物体A的质量为m，A的上端连接一个轻弹簧，弹簧原长为L0，劲度系数为k，整个系统置于水平地面上，现将弹簧上端B缓慢地竖直向上提起，B点上移距离为L，此时物体A也已经离开地面，则下列说法中正确的是（重力加速度为g）（ ）
图3
A.提弹簧的力对系统做功为mgL
B.物体A的重力势能增加mgL
C.物体A的重力势能增加mg（L－L0）
D.物体A的重力势能增加mg
答案 D
解析 将弹簧上端B缓慢地竖直向上提起，由于开始时有支持力，故拉力先小于mg，物体离地后等于mg，拉力的位移为L，故提弹簧的力对系统做功小于mgL，故A错误；B点上移距离为L，弹簧伸长量为ΔL＝
，故A上升的高度为L－ΔL，所以物体A的重力势能增加mg
，故B、C错误，D正确.
9.如图4，一质量为m、长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂.用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距
l.重力加速度大小为g.在此过程中，外力做的功为（ ）
图4
A.
mglB.
mgl
C.
mglD.
mgl
答案 A
解析 由题意可知，PM段细绳的重力势能不变，MQ段细绳的重心升高了
，则重力势能增加ΔEp＝
mg·
＝
mgl，由功能关系可知，在此过程中，外力做的功为W＝
mgl，故选项A正确，B、C、D错误.
10.在离地80m处无初速度释放一小球，小球质量为m＝200g，不计空气阻力，g取10m/s2，取最高点所在水平面为零势能参考平面.求：
（1）在第2s末小球的重力势能；
（2）前3s内重力所做的功及重力势能的变化.
答案
（1）－40J
（2）90J 减少了90J
解析
（1）在第2s末小球下落的高度为：
h＝
gt2＝
×10×22m＝20m
重力势能为：
Ep＝－mgh＝－0.2×10×20J＝－40J.
（2）在前3s内小球下落的高度为
h′＝
gt′2＝
×10×32m＝45m.
前3s内重力做功为：
WG＝mgh′＝0.2×10×45J＝90J
WG>0，所以小球的重力势能减少，且减少了90J.
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