普通高等学校招生全国统一考试新课标II数学理.docx
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普通高等学校招生全国统一考试新课标II数学理
2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标II)数学理
1.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=( )
A.{-1,0}
B.{0,1}
C.{-1,0,1}
D.{0,1,2}
解析:
B={x|-2<x<1},A={-2,-1,0,1,2},∴A∩B={-1,0}.
故选:
A
2.若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
解析:
因为(2+ai)(a-2i)=-4i,所以4a+(a2-4)i=-4i,
4a=0,并且a2-4=-4,所以a=0.
故选:
B
3.根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:
万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
解析:
A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少,且减少的最多,故A正确;
B2004-2006年二氧化硫排放量越来越多,从2007年开始二氧化硫排放量变少,故B正确;
C从图中看出,2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故C正确;
D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,而不是与年份正相关,故D错误.
故选:
D
4.已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )
A.21
B.42
C.63
D.84
解析:
∵a1=3,a1+a3+a5=21,
∴a1(1+q2+q4)=21,
∴q4+q2+1=7,
∴q4+q2-6=0,
∴q2=2,
∴a3+a5+a7=a1(q2+q4+q6)=3×(2+4+8)=42.
故选:
B
5.设函数f(x)=,则f(-2)+f(log212)=( )
A.3
B.6
C.9
D.12
解析:
函数f(x)=,
即有f(-2)=1+log2(2+2)=1+2=3,
f(log212)==12×=6,则有f(-2)+f(log212)=3+6=9.
故选C
6.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A.
B.
C.
D.
解析:
设正方体的棱长为1,由三视图判断,正方体被切掉的部分为以棱锥,
∴正方体切掉部分的体积为××1×1×1=,
∴剩余部分体积为1-=,
∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为.
故选:
D
7.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )
A.2
B.8
C.4
D.10
解析:
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则,
∴D=-2,E=4,F=-20,
∴x2+y2-2x+4y-20=0,
令x=0,可得y2+4y-20=0,∴y=-2±2,∴|MN|=4.
故选:
C
8.如图程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入a,b分别为14,18,则输出的a=( )
A.0
B.2
C.4
D.14
解析:
模拟执行程序框图,可得a=14,b=18,
满足条件a≠b,不满足条件a>b,b=4,
满足条件a≠b,满足条件a>b,a=10,
满足条件a≠b,满足条件a>b,a=6,
满足条件a≠b,满足条件a>b,a=2,
满足条件a≠b,不满足条件a>b,b=2,
不满足条件a≠b,输出a的值为2.
故选:
B
9.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )
A.36π
B.64π
C.144π
D.256π
解析:
如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时VO-ABC=VC-AOB=××R2×R=16R3=36,故R=6,则球O的表面积为4πR2=144π.
故选C
10.如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
解析:
由对称性可知函数f(x)关于x=对称,
且当0≤x≤时,BP=tanx,AP=,
此时f(x)=+tanx,0≤x≤,此时单调递增,排除A,C(不是直线递增),D.
故选:
B
11.已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,顶角为120°,则E的离心率为( )
A.
B.2
C.
D.
解析:
设M在双曲线的左支上,
且MA=AB=2a,∠MAB=120°,
则M的坐标为(-2a,a),
代入双曲线方程可得,
可得a=b,c=,即有e==.
故选:
D
12.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0)
D.(0,1)∪(1,+∞)
解析:
设g(x)=,则g(x)的导数为:
g′(x)=,
∵当x>0时总有xf′(x)<f(x)成立,
即当x>0时,g′(x)恒小于0,
∴当x>0时,函数g(x)=为减函数,
又∵g(-x)==f(x)x=g(x),∴函数g(x)为定义域上的偶函数
又∵g(-1)==0,∴函数g(x)的图象性质类似如图:
数形结合可得,不等式f(x)>0x·g(x)>0或,0<x<1或x<-1.
故选:
A
13.设向量,不平行,向量λ+与+2平行,则实数λ=.
解析:
因为向量,不平行,向量λ+与+2平行,所以λ+=μ(+2),
所以,解得λ=μ=.
故答案为:
14.若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为.
解析:
不等式组表示的平面区域如图阴影部分,当直线经过D点时,z最大,
由得D(1,),
所以z=x+y的最大值为1+=.
故答案为:
15.(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.
解析:
设f(x)=(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,
令x=1,则a0+a1+a2+…+a5=f
(1)=16(a+1),①
令x=-1,则a0-a1+a2-…-a5=f(-1)=0.②
①-②得,2(a1+a3+a5)=16(a+1),
所以2×32=16(a+1),所以a=3.
故答案为:
3
16.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.
解析:
∵an+1=SnSn+1,∴an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,
∴=1,即=-1,
又a1=-1,即=-1,∴数列{}是以首项和公差均为-1的等差数列,
∴=-1-1(n-1)=-n,∴Sn=-.
故答案为:
-
17.△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.
(1)求;
(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.
解析:
(1)如图,过A作AE⊥BC于E,由已知及面积公式可得BD=2DC,由AD平分∠BAC及正弦定理可得,sin∠C=,从而得解.
(2)由
(1)可求BD=.过D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,由AD平分∠BAC,可求AB=2AC,令AC=x,则AB=2x,利用余弦定理即可解得BD和AC的长.
答案:
(1)如图,过A作AE⊥BC于E,
∵=2,∴BD=2DC,
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC,
在△ABD中,,∴sin∠B=;
在△ADC中,,∴sin∠C=;
∴.
(2)由
(1)知,BD=2DC=2×=.
过D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,
∵AD平分∠BAC,∴DM=DN,
∴=2,∴AB=2AC,
令AC=x,则AB=2x,
∵∠BAD=∠DAC,∴cos∠BAD=cos∠DAC,
∴由余弦定理可得:
,
∴x=1,∴AC=1,∴BD的长为,AC的长为1.
18.某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:
A地区:
62738192958574645376
78869566977888827689
B地区:
73836251914653736482
93486581745654766579
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:
记事件C:
“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的频率,求C的概率.
解析:
(Ⅰ)根据茎叶图的画法,以及有关茎叶图的知识,比较即可;
(Ⅱ)根据概率的互斥和对立,以及概率的运算公式,计算即可.
答案:
(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:
通过茎叶图可以看出,A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散;
(Ⅱ)记CA1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”,
记CA2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”,
记CB1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”,
记CB2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”,
则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,
则C=CA1CB1∪CA2CB2,
P(C)=P(CA1CB1)+P(CA2CB2)=P(CA1)P(CB1)+P(CA2)P(CB2),
由所给的数据CA1,CA2,CB1,CB2,发生的频率为,,,,
所以P(CA1)=,P(CA2)=,P(CB1)=,P(CB2)=,
所以P(C)==0.48.
19.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
解析:
(1)容易知道所围成正方形的边长为10,再结合长方体各边的长度,即可找出正方形的位置,从而画出这个正方形;
(2)分别以直线DA,DC,DD1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,考虑用空间向量解决本问,能够确定A,H,E,F几点的坐标.设平面EFGH的法向量为=(x,y,z),根据即可求出法向量,坐标可以求出,可设直线AF与平面EFGH所成角为θ,由sinθ=|cos<,>|即可求得直线AF与平面α所成角的正弦值.
答案:
(1)交线围成的正方形EFGH如图:
(2)作EM⊥AB,垂足为M,则:
EH=EF=BC=10,EM=AA1=8;
∴MH==6,∴AH=10;
以边DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空