浙教版七年级数学下册试题专训一运用幂的运算法则巧计算.docx

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浙教版七年级数学下册试题专训一运用幂的运算法则巧计算

解码专训一：

运用幂的运算法则巧计算

名师点金：

同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法等运算是整式乘除运算的基础，同底数幂的除法和整式的除法分别是同底数幂的乘法和整式的乘法的逆运算，要熟练掌握同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除的运算法则，并能利用这些法则解决有关问题．

运用同底数幂的乘法法则计算

题型1：

底数是单项式的同底数幂的乘法

1．计算：

（1）a2·a3·a；

（2）－a2·a5；（3）a4·（－a）5.

题型2：

底数是多项式的同底数幂的乘法

2．计算：

（1）（x＋2）3·（x＋2）5·（x＋2）；

（2）（a－b）3·（b－a）4；

（3）（x－y）3·（y－x）5.

题型3：

同底数幂的乘法法则的逆用

3．

（1）已知2m＝a，2n＝b，求2m＋n的值；

（2）已知2x＝c，求2x＋3的值．

运用幂的乘方法则计算

题型1：

直接运用求字母的值

4．已知273×94＝3x，求x的值．

题型2：

逆用法则求字母式子的值

5．已知10a＝2，10b＝3，求103a＋b的值．

题型3：

运用幂的乘方解方程

6．解方程：

＝1－.

运用积的乘方法则进行计算

题型1：

逆用积的乘方计算

7．用简便方法计算：

（1）×（0.25）5××（－4）5；

（2）0.1252015×（－82016）．

题型2：

运用积的乘方求字母式子的值

8．若|an|＝，|b|n＝3，求（ab）4n的值．

运用同底数幂的除法法则进行计算

题型1：

运用同底数幂的除法法则计算

9．计算：

（1）x10÷x4÷x4；

（2）（－x）7÷x2÷（－x）3；

（3）（m－n）8÷（n－m）3.

题型2：

运用同底数幂的除法解方程

10．解方程：

已知（x－1）x2－1＝1，求x的值．

解码专训二：

巧用幂的有关法则比较大小

名师点金：

巧用幂的乘方比较大小的方法：

（1）底数比较法：

运用幂的乘方变形为指数相等，底数不同的形式进行比较；

（2）指数比较法：

运用幂的乘方变形为底数相等，指数不同的形式进行比较．

比较幂的大小

方法一：

指数比较法

1．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．a＜b＜cD．b＞c＞a

方法二：

底数比较法

2．350，440，530的大小关系是（　　）

A．350＜440＜530B．530＜350＜440

C．530＜440＜350D．440＜530＜350

方法三：

作商比较法

3．已知P＝，Q＝，那么P，Q的大小关系是（　　）

A．P＞QB．P＝Q

C．P＜QD．无法比较

比较指数大小

4．已知xa＝3，xb＝6，xc＝12，那么下列关系正确的是（　　）

A．a＋b＞cB．2b＜a＋cC．2b＝a＋cD．2a＜b＋c

比较底数大小

5．已知a，b，c，d均为正数，且a2＝2，b3＝3，c4＝4，d5＝5，那么a，b，c，d中最大的数是（　　）

A．aB．bC．cD．d

解码专训三：

幂的运算之误区

名师点金：

幂的相关运算法则种类较多，彼此之间极易混淆，易错点易误点较多，主要表现在混淆法则，符号辨别不清，忽略指数“1”等．

混淆运算法则

1．下列计算正确的是（　　）

A．a2＋a3＝a5B．a2·a3＝a5

C．（a2）3＝a5D．a3÷a2＝a5

2．计算：

（1）（a3）2＋a5；

（2）a4·a4＋（a2）4＋（－4a4）2.

符号辨别不清

3．计算的结果是（　　）

A．－a3b6B．－a3b5

C．－a3b5D．－a3b6

4．计算：

（1）（－a2）3；　　　　　

（2）（－a3）2；

（3）[（－a）2]3;（4）a·（－a）2·（－a）7.

忽略指数“1”

5．下列算式中，正确的是（　　）

A．3a3·2a2＝6a6B．2x3·4x5＝8x8

C．3x·3x4＝9x4D．5x7·5y7＝10y14

不能灵活运用整体思想

6．化简：

（1）（x＋y）5÷（－x－y）2÷（x＋y）；

（2）（a－b）9÷（b－a）4÷（a－b）3.

不能灵活运用转化思想

7．

（1）若3x＋2y－3＝0，求27x·9y的值；

（2）已知3m＝a，9n＝b，求32m－4n＋1的值．

用科学记数法表示较小的数时指数出错

8．已知1毫米＝1000微米，用科学记数法表示2.5微米是________毫米．

　　解码专训四：

整体思想在整式乘除运算中的应用

名师点金：

解决某些数学问题时，把一组数或一个代数式看作一个整体进行处理，不仅可以简化解题过程，而且还能拓宽思路，培养创新意识，体现了数学中的一种重要思想——整体思想．这一思想在整式的乘法运算中体现明显，在解题中应用较多，要引起重视．

利用整式的运算化简求值

1．先化简，再求值：

（1）÷xy2z÷－·4xy÷y4z5，其中x＝－1，y＝－2，z＝3；

（2）x（x2－4）－（x＋3）（x2－3x－2）－2x（x－2），其中x＝5.

利用整式的运算解方程

2．求适合方程2x（x－1）－x（2x－5）＝12的未知数x的值．

利用整式的运算解决面积问题（数形结合思想）

3．如图，某市有一块长为（3a＋b）m，宽为（2a＋b）m的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？

并求出a＝3，b＝2时的绿化面积．

（第3题）

利用整式乘积中项的特征求字母的取值

4．多项式（mx＋8）（2－3x）展开后不含x的一次项，求m的值．

整体思想在整式运算中的应用

5．已知（2016－a）（2014－a）＝2015，求（2016－a）2＋（2014－a）2的值．

6．计算：

（a1＋a2＋…＋an－1）（a2＋a3＋…＋an－1＋an）－（a2＋a3＋…＋an－1）（a1＋a2＋…＋an）．

解码专训五：

巧用乘法公式进行计算

名师点金：

乘法公式是指平方差公式和完全平方公式，公式可以正用，也可以逆用．在使用公式时，要注意以下几点：

（1）公式中字母a，b广泛的含义，a，b可以是任意一个代数式；

（2）公式可以连续使用；（3）掌握好公式中各项的关系及整个公式的结构特点；（4）在运用公式时要学会运用一些变形技巧．

乘法公式的灵活运用

1．计算：

（1）（4x－5y＋3）（4x＋5y＋3）；

（2）（3a＋2b＋7c）2.

巧用乘法公式的变形求代数式的值

2．已知（a＋b）2＝7，（a－b）2＝4.求a2＋b2和ab的值．

3．已知x＋＝3，求x4＋的值．

巧用乘法公式进行简便运算

4．

（1）20172－2016×2018；

（2）×××…××

；

（3）（2＋1）×（22＋1）×（24＋1）×…×（21024＋1）．

巧用乘法公式解决整除问题

5．试说明：

（n＋7）2－（n－5）2（n为整数）能被24整除．

巧用乘法公式解决复杂问题（换元法）

6．计算的值．

巧用乘法公式解决实际问题（分类讨论思想）

7．王老师在一次团体体操队列造型设计中，先让全体队员排成一方阵（行与列的人数一样多的队形，且总人数不少于25人），人数正好够用，然后再进行各种造型变化，其中一个造型需分为5人一组，手执彩带变换图形，在讨论分组方案时，有人说现在的队员人数按5人一组分将多出3人，你说这可能吗？

答案

解码专训一

1．解：

（1）a2·a3·a＝a6.

（2）－a2·a5＝－a7.

（3）a4·（－a）5＝－a9.

2．解：

（1）（x＋2）3·（x＋2）5·（x＋2）＝（x＋2）9.

（2）（a－b）3·（b－a）4＝（a－b）3·（a－b）4＝（a－b）7.

（3）（x－y）3·（y－x）5＝（x－y）3·[－（x－y）5]＝－（x－y）8.

3．解：

（1）2m＋n＝2m·2n＝a·b＝ab；

（2）2x＋3＝2x·23＝8·2x＝8c.

4．解：

273×94＝（33）3×（32）4＝39×38＝317＝3x，所以x＝17.

5．解：

103a＋b＝103a·10b＝（10a）3·10b＝23×3＝24.

6．解：

＝1－

＝

＝

所以x－1＝2，x＝3.

7．解：

（1）×（0.25）5××（－4）5

＝×××（－4）5

＝[（－）8×（）8]×

＝1×（－1）

＝－1.

（2）0.1252015×（－82016）

＝×（－82015×8）

＝×（－82015）×8

＝－1×8

＝－8.

8．解：

∵|an|＝，|b|n＝3，

∴an＝±，bn＝±3.

∴（ab）4n＝a4n·b4n＝（an）4·（bn）4＝×（±3）4＝×81＝.

9．解：

（1）x10÷x4÷x4＝x2；

（2）（－x）7÷x2÷（－x）3＝－x7÷x2÷（－x3）＝x2；

（3）（m－n）8÷（n－m）3＝（n－m）8÷（n－m）3＝（n－m）5.

10．解：

∵（x－1）x2－1＝1，∴x2－1＝0，

∴x2＝1，解得：

x＝±1.

∵x－1作为底数不能为0，

∴x＝－1.综上所述x＝－1.

解码专训二

1．A　点拨：

因为a＝8131＝（34）31＝3124，b＝2741＝（33）41＝3123，c＝961＝（32）61＝3122，

而124>123>122，

所以3124>3123>3122，即a>b>c，

故选A.

本题采用的是指数比较法．将比较大小的各个幂的底数化为相同的底数，然后根据指数的大小关系确定出幂的大小．

2．B　点拨：

因为350＝（35）10＝24310，440＝（44）10＝25610，530＝（53）10＝12510，而125<243<256，所以12510<24310<25610，即530＜350＜440，故选B.

本题采用的是底数比较法．将比较大小的各个幂的指数化为相同的指数，然后根据底数的大小关系确定出幂的大小．

3．B　点拨：

因为＝×＝×＝×＝1，所以P＝Q，故选B.

本题采用的是作商比较法．当a>0，b>0时，利用“若>1，则a>b；若＝1，则a＝b；若<1，则a

4．C　点拨：

因为xa＝3，xb＝6＝2×3，xc＝12＝22×3，

而（2×3）2＝3×（22×3），

所以（xb）2＝xa·xc，

即x2b＝xa＋c，

所以2b＝a＋c，故选C.

5．B　点拨：

直接比较四个数的大小较烦琐，可两个两个地比较，确定最大的数．

因为（a2）3＝a6＝23＝8，（b3）2＝b6＝32＝9，所以a6

因为（b3）4＝b12＝34＝81，（c4）3＝c12＝43＝64，所以b12>c12，于是b＞c.

因为（b3）5＝b15＝35＝243，（d5）3＝d15＝53＝125，所以b15>d15，

于是b>d.综上可知，b是最大的数，故选B.

解码专训三

1．B

2．解：

（1）（a3）2＋a5＝a6＋a5.

（2）a4·a4＋（a2）4＋（－4a4）2

＝a8＋a8＋16a8

＝18a8.

3．D

4．解：

（1）（－a2）3＝－a6；

（2）（－a3）2＝a6；

（3）[（－a）2]3＝a6；

（4）a·（－a）2·（－a）7＝a·a2·（－a7）＝－a10.

5．B

6．解：

（1）原式＝（x＋y）5÷（x＋y）2÷（x＋y）＝（x＋y）2.

（2）原式＝（a－b）9÷（a－b）4÷（a－b）3＝（a－b）2.

7．解：

（1）27x·9y

＝（33）x·（32）y

＝33x·32y

＝33x＋2y.

∵3x＋2y－3＝0，

∴3x＋2y＝3，

∴原式＝33＝27.

（2）32m－4n＋1

＝32m÷34n×31

＝（3m）2÷（32n）2×3

＝（3m）2÷（9n）2×3

＝a2÷b2×3

＝.

8．2.5×10－3

解码专训四

1．解：

（1）原式＝－×·x4－1y5－2·z5－1÷（－x3y2z3）－（－×4·x3＋1y4＋1z7）÷y4z5

＝－x3y3z4÷＋x4y5z7÷y4z5

＝×·x3－3y3－2z4－3＋x4y5－4z7－5

＝x0yz＋x4yz2

＝yz＋x4yz2.

当x＝－1，y＝－2，z＝3时，

原式＝×（－2）×3＋（－1）4×（－2）×32＝－3－18＝－21.

（2）原式＝x3－4x－x3＋3x2＋2x－3x2＋9x＋6－2x2＋4x＝－2x2＋11x＋6.

当x＝5时，

原式＝－2×52＋11×5＋6＝11.

2．解：

2x（x－1）－x（2x－5）＝12.

2x2－2x－2x2＋5x＝12.

3x＝12.

x＝4.

故适合方程2x（x－1）－x（2x－5）＝12的未知数x的值为4.

3．解：

绿化的面积是：

（3a＋b）（2a＋b）－（a＋b）2

＝6a2＋3ab＋2ab＋b2－a2－2ab－b2

＝（5a2＋3ab）（m2）．

当a＝3，b＝2时，绿化面积是5×32＋3×3×2＝63（m2）．

4．解：

（mx＋8）（2－3x）＝2mx－3mx2＋16－24x＝－3mx2＋（2m－24）x＋16.

因为展开后不含x的一次项，

所以2m－24＝0，

所以m＝12.

点拨：

该多项式展开后不含x的一次项，说明展开后x的一次项的系数为0，因此，本题只要利用多项式乘法法则展开后，令x的一次项的系数为0，即可列出方程求m的值．

5．解：

（2016－a）2＋（2014－a）2

＝[（2016－a）－（2014－a）]2＋2（2016－a）（2014－a）

＝22＋2×2015

＝4＋4030＝4034.

点拨：

本题运用乘法公式的变形x2＋y2＝（x－y）2＋2xy，结合整体思想求解，显得简便．

6．解：

设a2＋a3＋…＋an－1＝M，则原式＝（a1＋M）（M＋an）－M（a1＋M＋an）＝a1M＋a1an＋M2＋anM－a1M－M2－anM＝a1an.

点拨：

本题如果按正常展开的方式来运算显然是很复杂的．这一类带“…”的题中，往往蕴藏着重要的技巧，而发现技巧的关键是观察．因此，在解决这类问题时，不要忙于解答，而要冷静观察，寻找解决问题的突破口．比如此题，在观察时能发现a2＋a3＋…＋an－1这个式子在每一个因式中都存在．因此，可以考虑将这个式子作为一个整体，设为M，问题就简化了，体现了整体思想的运用．

解码专训五

1．解：

（1）原式＝[（4x＋3）－5y][（4x＋3）＋5y]＝（4x＋3）2－（5y）2＝16x2＋24x＋9－25y2.

（2）原式＝[（3a＋2b）＋7c]2＝（3a＋2b）2＋2（3a＋2b）·7c＋49c2＝9a2＋12ab＋4b2＋42ac＋28bc＋49c2.

2．解：

（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2＝7，①

（a－b）2＝a2－2ab＋b2＝4，②

所以a2＋b2＝×（①＋②）＝×11＝，

ab＝×（①－②）＝×3＝.

3．解：

因为x＋＝3，所以（x＋）2＝9，所以x2＋＝7，所以＝49，所以x4＋＝47.

4．解：

（1）原式＝20172－（2017－1）×（2017＋1）

＝20172－（20172－12）

＝20172－20172＋1

＝1.

（2）原式＝××××××…××××

＝××××××…××××

＝×

＝.

（3）原式＝（2－1）×（2＋1）×（22＋1）×（24＋1）×…×（21024＋1）

＝（22－1）×（22＋1）×（24＋1）×…×（21024＋1）

＝（24－1）×（24＋1）×…×（21024＋1）

＝（28－1）×…×（21024＋1）

＝（21024－1）×（21024＋1）

＝22048－1.

5．解：

（n＋7）2－（n－5）2

＝（n＋7＋n－5）·（n＋7－n＋5）

＝（2n＋2）·12

＝24（n＋1）．

因为n为整数，

所以（n＋7）2－（n－5）2能被24整除．

6．解：

设20172016＝m，则原式

＝

＝

＝

＝.

7．解：

人数可能为（5n）2，（5n＋1）2，（5n＋2）2，（5n＋3）2，（5n＋4）2（n为正整数）．

（5n）2＝5n·5n；

（5n＋1）2＝25n2＋10n＋1＝5（5n2＋2n）＋1；

（5n＋2）2＝25n2＋20n＋4＝5（5n2＋4n）＋4；

（5n＋3）2＝25n2＋30n＋9＝5（5n2＋6n＋1）＋4；

（5n＋4）2＝25n2＋40n＋16＝5（5n2＋8n＋3）＋1.

由此可见，无论哪一种情形总人数按每组5人分组所多出的人数只可能是1或4，不可能是3.

点拨：

因为全体队员可排成一个方阵，所以总人数是一个完全平方数，设排成m行m列，则总人数为m2.根据其中一个造型需分为5人一组，可考虑m为5n，5n＋1，5n＋2，5n＋3，5n＋4中的某种情形，其中n为正整数，从而全体人数m2的可能情况即可求出．

初中数学试卷

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