柯西不等式与排序不等式及其应用经典例题透析教案资料.docx

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柯西不等式与排序不等式及其应用经典例题透析教案资料

柯西不等式与排序不等式及其应用经典例题透析

经典例题透析

类型一：

利用柯西不等式求最值

　　1．求函数的最大值．

　　思路点拨：

利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。

　　解析：

　　法一：

∵且，

　　　　　∴函数的定义域为，且，

　　　　　当且仅当时，等号成立，

　　　　　即时函数取最大值，最大值为

　　法二：

∵且，

　　　　　∴函数的定义域为

　　　　　由，

　　　　　得

　　　　　即，解得

　　　　　∴时函数取最大值，最大值为.

　　总结升华：

当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键．

　　举一反三：

　　【变式1】（2011辽宁，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。

　　（I）证明：

-3≤f（x）≤3；

　　（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。

　　【答案】

　　（Ⅰ）

　　　　当时，．

　　　　所以．…………5分

　　（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

　　　　当时，的解集为空集；

　　　　当时，的解集为；

　　　　当时，的解集为．

　　综上，不等式的解集为．……10分

　　【变式2】已知，，求的最值.

　　【答案】

　　法一：

　　由柯西不等式

　　于是的最大值为，最小值为.

　　法二：

　　由柯西不等式

　　于是的最大值为，最小值为.

　　【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．

　　【答案】

　　根据柯西不等式

　　，

　　故。

　　当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，

　　此时，

　　评注：

根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑．

类型二：

利用柯西不等式证明不等式

　　利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。

如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。

（1）巧拆常数：

　　2．设、、为正数且各不相等，求证：

　　思路点拨：

∵、、均为正，∴为证结论正确只需证：

　　而，又，故可利用柯西不等式证明之。

　　证明：

　　又、、各不相等，故等号不能成立

　　∴。

（2）重新安排某些项的次序：

　　3．、为非负数，+=1，，求证：

　　思路点拨：

不等号左边为两个二项式积，，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。

　　证明：

∵+=1

　　　　　∴

　　　　　即

（3）改变结构：

　　4、若>>，求证：

　　思路点拨：

初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了。

　　，，∴，∴所证结论改为证。

　　证明：

　　∴

（4）添项：

　　5．，求证：

　　思路点拨：

左端变形，∴只需证此式即可。

　　证明：

　　举一反三：

　　【变式1】设a,b,c为正数，求证：

．

　　【答案】

　　由柯西不等式：

　　，即。

　　同理，．

　　将上面三个同向不等式相加得

　　，

　　于是．

　　【变式2】设a,b,c为正数，求证：

。

　　【答案】

　　由柯西不等式

　　于是

　　即

　　【变式3】已知正数满足证明。

　　【答案】

　　利用柯西不等式

　　又因为

　　在此不等式两边同乘以2，再加上得：

　　故。

类型三：

柯西不等式在几何上的应用

　　6．△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：

　　证明：

由三角形中的正弦定理得，所以，

　　　　　同理，

　　　　　于是左边=

　　　　　故。

　　【变式】ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形内部一点，P到三边的距离分別为x，y，z，求的最小值。

　　【答案】

　　且

　　4x+5y+6z=

　　由柯西不等式（4x+5y+6z）2≥（x2+y2+z2）（42+52+62）

　　≥（x2+y2+z2）×77x2+y2+z2≥。

类型四：

排序不等式的简单应用

　　7．对，比较与的大小。

　　思路点拨：

题目中没有给出a,b,c三个数的大小顺序，且a,b,c在不等式中的“地位”是对等的，不妨设，再利用排序不等式加以证明．

　　解析：

∵，不妨设，则

　　　　　由排序原理，乱序和≤顺序和，得：

　　举一反三：

　　【变式1】比较1010×1111×1212×1313与1013×1112×1211×1310的大小。

　　【答案】

　　因10≤11≤12≤13及lg10≤lg11≤lg12≤lg13，

　　由排序不等式得：

　　10lg10+11lg11+12lg12+13lg13≥13lg10+12lg11+11lg12+10lg13

　　lg（1010×1111×1212×1313）≥lg（1013×1112×1211×1310）

　　即1010×1111×1212×1313≥1013×1112×1211×1310。

　　【变式2】已知，求证：

　　证明：

　　由对称性，不妨设，于是，，

　　故由排序不等式：

顺序和≥乱序和，得：

　　①

　　又因为，．

　　再次由排序不等式：

反序和≤乱序和，得：

　　②

　　由①②得．

　　8、设,求证：

　　证明：

　　不妨设,则，

　　由排序不等式有：

　　，

　　两式相加得：

　　又因为：

，

　　故

　　两式相加得：

　　即：

　　举一反三：

　　【变式】，求证：

　　【答案】

　　证明：

　　不妨设则，

　　从而，

　　，

　　两式相加得：