数学与应用数学函数序列一致收敛的判别及MATLAB在其上的应用论文.docx

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数学与应用数学函数序列一致收敛的判别及MATLAB在其上的应用论文

摘要

函数序列的一致收敛性理论是数学分析的一个重要内容。

在众多数学分析讲义中给出了函数序列一致收敛的一些判别方法，但是这些方法仍不够全面，并不能解决大多数函数序列的一致收敛问题。

因此，文章简要地阐述了函数序列一致收敛的研究背景以及研究意义，归纳总结了比较实用的六种函数序列一致收敛的判别方法，并对它们的应用做了相应的说明与举例，以便于读者更好的理解这些判别方法，为今后处理函数序列一致收敛的判别提供便利。

同时文章提出MATLAB在函数序列一致收敛判别上的应用，给出解题的程序代码步骤，并通过几个例子说明，实现了信息技术在数学分析中的有效融合，并得到实验的验证。

这对于研究函数序列一致收敛及其收敛区间具有较大的作用。

关键词：

函数序列；一致收敛；MATLAB编程

Abstract

Thetheoryofuniformconvergenceoffunctionsequenceisanimportantcontentofmathematicalanalysis.Inmanylecturenotesofmathematicalanalysis,somemethodstojudgetheuniformconvergenceoffunctionsequencesaregiven,butthesemethodsarestillnotcomprehensiveenoughtosolvetheproblemofuniformconvergenceofmostfunctionsequences.Consequently,theresearchbackgroundandsignificanceofuniformconvergenceoffunctionsequencesarebrieflydescribedinthispaper,summarizessixpracticalmethodsforjudgingtheuniformconvergenceoffunctionsequences,andgivescorrespondingexplanationsandexamplesfortheirapplications,soastofacilitatethereaderstobetterunderstandthesemethodsandprovideconveniencefordealingwiththeuniformconvergenceoffunctionsequencesinthefuture.Atthesametime,thepaperputsforwardtheapplicationofMATLABinthejudgmentofuniformconvergenceoffunctionsequence,givestheprocedurecodestepsofsolvingproblems,andthroughseveralexamples,realizestheeffectiveintegrationofinformationtechnologyinmathematicalanalysis,andisverifiedbyexperiments.Itisimportanttostudytheuniformconvergenceandtheconvergenceintervaloffunctionsequences.

Keywords：

Functionsequences;Uniformconvergence;MATLABprogrammeandpicture.

函数序列一致收敛的判别及

MATLAB在其上的应用

1引言

古往今来，众多数学家都在函数序列一致收敛方法的研究方面做出了巨大贡献，这些性质早在百多年前就已经研究清楚了。

函数序列一致收敛是在其收敛的基础上增加条件而得到的。

在高斯（Gauss，1777-1855）等人对无穷级数研究的基础之上，法国数学家柯西（Cauchy,1789-1857）是第一位认识到无穷级数论并不是多项式理论的平凡推广，他认为这个理论应该要以极限为基础，最后他建立了完整的级数理论。

他所给出的“柯西准则定理”作为判定函数序列一致收敛的重要定理之一，对研究者提供了很大的开辟路径。

意大利数学家乌利塞•迪尼（UlisseDini,1845－1918）提出的“狄尼定理”是从紧致拓扑空间下研究的函数序列一致收敛的特殊结论，对后辈研究函数序列的一致收敛性提供了分析基础。

现代也有许许多多的数学研究者对函数序列一致收敛探索出新的判别方法，他们在前人的研究基础上寻找不同方向的条件判别函数序列的一致收敛性。

数学的发现和探索是永无止境的。

众所周知，一致收敛理论是数学分析课程中的重难点之一，许多数学分析的教材把函数序列的理论作为函数项级数的准备展开。

但实际上，函数序列的理论具有独立意义，它和函数项级数的理论同等重要且相辅相成。

为了更直观地判定函数序列是否一致收敛，文章在归纳传统判别方法的基础之上引入MATLAB这一数学软件。

用MATLAB软件编程的图像可以很清楚地观察出函数序列是否一致收敛，若其是一致收敛的，还可以得知在第几项开始进入一致收敛的区域。

通过代码编程也减小了传统的判定方法因计算带来的失误或函数较复杂带来的化简步骤。

文章在前人研究的基础上，从函数序列收敛的相关概念、判定定理、应用举例等方面，详细论述且归纳函数序列一致收敛的判别方法，第一次将函数序列一致收敛的判别与MATLAB软件结合研究，并得到预期的结果，利用MATLAB的编程代码语言成功地将MATLAB数学软件与函数序列一致收敛性结合起来，实现了信息技术在数学分析中的有效融合，并得到实验验证，让数学研究在计算机领域上向前迈了一步，这对今后的数学与信息技术的融合有一定的帮助。

2函数序列一致收敛的相关概念

2.1函数序列的定义

若有一个无穷序列它的每一项都是函数，且它们有公共的定义域，则称这个序列为定义在同一数集上的函数序列，记为或，序列中的每一个函数都叫做一个项。

2.2函数序列收敛的定义

以代入可得到实数序列如果此函数序列收敛，则称在点处收敛。

当函数序列在数集上每一点都收敛时，就称其在数集上收敛。

它的分析语言表达如下：

对有

研究发现，在对函数序列取逐点极限的过程中，函数的连续性、可微性和可积性都不能保证，也不能通过应用逐项求导或逐项求积分再取极限的方法来求极限的导数和微分。

对于函数序列，讨论它在哪些点上的收敛性是远远不够的，因此，需要通过增加一些条件，即对数集上的收敛性提出更高的要求，研究函数序列与极限函数所具有的解析性质才能达到上述目的。

2.3函数序列一致收敛的定义

设是一个非空实数集，是一个函数序列，它的每一项都在上有定义，又设是定义在上的一个函数，如果对任意给定的，存在相应的正整数（仅与有关），使得当时，对任意都有，则称函数序列在集合上一致收敛于函数.记作它的分析语言表述如下：

对有

3函数序列一致收敛的判别

函数序列的一致收敛比它的逐点收敛要强很多，它将逐点收敛推广到整体收敛，这样可以使用函数序列极限函数的解析性质来得出函数对应的连续性、可微性以及可积性等相关性质。

对于函数序列的一致收敛性，它的判别方法主要有以下六种：

3.1柯西准则

3.1.1定理概述

函数序列在它的非空数集上满足一致收敛的充要条件，即对任给的，总存在正整数，使得当时，对一切的，都有用分析语言表述如下:

对有

柯西一致收敛准则的优越性体现在许多地方，在数学分析中有出现收敛和一致收敛的概念之中，或在极限函数未知的情况下，只要根据函数序列本身的特性一般都可以探究出对应的柯西的收敛准则或柯西一致收敛准则。

在函数序列表达式比较简单的题目或函数序列极限不存在的情况下，就能用柯西一致收敛准则去判别。

3.1.2应用举例

例1证明：

若对有且收敛，则函数序列在区间上一致收敛。

分析：

本题要求证明函数序列的一致收敛性，由题意知，给定的函数序列是一个抽象的序列，即极限函数值是很难求解出来的，因此考虑从柯西的一致收敛准则入手。

利用不等式的性质以及数列的收敛性质，证明函数序列的一致收敛性。

证：

由有

，

又因为故有。

则

所以函数序列在区间上一致收敛。

3.2余项准则

3.2.1定理概述

设是定义在非空数集上的一个函数序列，是定义在上的一个函数，则在上一致收敛于的充要条件是。

余项准则是判定函数序列一致收敛的一个充要条件，使用余项准则的必要条件是极限函数序列的表达式已知且极限值存在。

3.2.2应用举例

例2讨论的一致收敛性。

分析：

本题可以由题目给定的函数序列求出其极限函数的表达式，根据余项准则的条件知，满足其上确界的极限为0，则可判定函数序列一致收敛，本题中所求函数序列与它的极限值之差的上确界极限值趋于正无穷，故函数序列在区间上不一致收敛。

解：

由题意得：

函数序列的极限函数

于是，函数序列的余项。

由求导验证知余项值在上只有唯一的极大值点

因此为闭区间内的最大值点，则

根据一致收敛的余项准则知，该函数序列在上不一致收敛。

对于上述例子2而言，若用柯西一致收敛准则证明，明显不方便，而且计算较繁琐，在计算过程中容易因项的数目太多造成列举耗时且书写不方便，而使用余项准则却能很快的判断出它在区间上是否一致收敛。

3.3狄尼（Dini）定理

3.3.1定理概述

设函数序列在有界闭区间上单调且收敛于，若与都在上连续，则在上一致收敛于。

使用狄尼定理判定一致收敛时，应注意函数序列和极限函数本身所要满足的基本条件，首先要求函数序列在闭区间内具有单调性，这里的单调性是针对序列提出来的，所以必须满足连续条件。

其次函数序列要收敛于极限函数，再者极限函数的连续性也要保证，则可作为判定函数序列一致收敛的充分非必要条件。

注：

狄尼定理是奥斯古德定理中的一个子定理，若要通过狄尼定理研究函数序列的一致收敛性，溯其本源可至奥斯古德定理中研究，详见参考文献[9]。

3.3.2应用举例

例3判断函数序列在上的一致收敛性，并求出它的极限函数。

分析：

本题可以有多种解法，笔者给出的是用狄尼定理证明的方法。

由使用条件可知，只需证明函数序列的单调性，求出极限函数，以及二者在闭区间上的连续性，就可证明函数序列的一致收敛性。

证：

对，当时，

所以在上单调递增。

又因为，所以收敛于极限函数，

且与在上连续。

故由狄尼定理知，在一致收敛于，就是所求的极限函数。

由本题可知，在函数序列一致收敛的判别法中，只要收敛于连续函数，在闭区间上都一致收敛于,所以对于判别函数序列在有界区间上的一致收敛性之作用不可小觑。

3.4海涅定理推广的一致收敛判别

3.4.1定理概述

函数序列的在任意有界区间上存在任意两个数列与当时,有则函数序列在区间上一致收敛于。

本定理是在出现两组数列和函数序列之间关系的情况下使用的。

其本质是函数序列等度连续与一致收敛及一致连续之间的关系，当出现一致连续时，可以由其推出函数序列的一致收敛性，函数序列的一致连续性为收敛和一致收敛搭建了桥梁。

3.4.2应用举例

例4[1]设定义在上的函数序列如下：

试问：

在上是否收敛？

是否一致收敛？

分析：

本题的函数序列在论证是否收敛时有多种解法，笔者运用定义法证明，若函数序列与极限函数的值相等，则函数序列在闭区间上收敛。

在证明是否一致收敛时，可以选取两个符合条件的数列，判断