逆向思维在数学论证中的作用与培养.docx

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逆向思维在数学论证中的作用与培养

摘要

学习数学的过程是学思维的形成与发展的过程，数学教学需要培养学生的数学思维。

逆向思维是从已有的习惯思路的反面去思考和分析问题，从而使问题得到解决的一种思维过程。

本文先阐述逆向思维的重要性，再研究逆向思维的作用与培养，论证培养逆向思维是为了我们更好地运用逆向思维去摆脱思维定势，突破旧有思想框架，产生新思想，发现新知识的重要思维方式。

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关键词：

逆向思维反证法反例法

1.什么是逆向思维3

1.1、思维的分类3

1.2、详谈逆向思维3

1.3、逆向思维的具体表现3

2.逆向思维的重要性4

2.1逆向思维是一种重要的思考能力4

2.2逆向思维是一种重要的探究过程4

2.3逆向思维是一种重要的思维方法4

3.逆向思维在数学论证中的作用5

3.1逆向思维可以开拓学生的想象空间5

3.2逆向思维有利于加深学生基础知识的理解5

3.3逆向思维可以发现解题技巧，有利于培养学生的创造能力6

4.逆向思维在数学论证中的培养6

4.1从反证法的论证中培养逆向思维6

4.2通过构造反例来训练学生的逆向思维8

4.3通过分析法来培养学生的逆向思维9

4.4利用“逆向变式”训练培养学生的逆向思维10

结论11

参考文献12

致谢12

数学是思维创新的体操，是一门使人聪明的学问.思维是智力的核心，是人的理性认识的过程。

逆向思维是逆着习惯的、常规的思维方向进行的思维活动，属于创造性思维。

许多情况下将问题倒过来想一想，在思维过程中“反其道而行之”，能使人得到许多通常思路所得不到的思维成果。

1、什么是逆向思维.

1.1、思维的分类

根据思维过程的指向性，可将思维分为常规思维（正向思维）和逆向思维，正向思维是指思维活动按照事物发展的方向进行，而逆向思维是指思维活动从一个方向转向相反方向.

1.2、详谈逆向思维

逆向思维又被称为反向思维，它是发散思维的一种重要形式.逆向思维是从已有的习惯思路的反面去思考和分析问题，从而使问题得到解决的一种思维过程.是摆脱思维定势，突破旧有思想框架，产生新思想，发现新知识的重要思维方式.

我们在学习数学和解决数学问题的过程中，也都有一些比较自然的习惯，例如在公式的运用中，我们习惯性地会从左往右正用，而不是从右往左逆用，这样的习惯虽然正确，但正是由于这样的习惯的影响，有时会使我们运作单调，思维固化.

1.3、逆向思维的具体表现

中学数学课本中的逆运算、反证法、反例法、分析法、充要条件等都涉及到思维的逆向性，在数学论证中，通常是从已知到结论的思维方式，然而有些问题总是按照这种思维定式解答则比较困难，而且常常伴随有较大的运算量，有时甚至无法解决，在这种情况下，只要我们多注意定理、公式、规律性例题的逆用，正难则反，往往可以使问题简化，经常性注意这方面的训练可以培养学生思维的敏捷性.

例如从“一组平行且相等的四边形是平行四边形”中我们可以反过来想，平行四边形还有什么性质？

或者还有什么性质可以证明一个四边形是平行四边形？

再例如，当直线的倾斜角是锐角时，直线的斜率是正数，那我们会问，如果直线斜率为负数或零时，直线的倾斜角会是什么角？

还有，一些定义或概念之间也会体现着逆向思维，例如函数与反函数：

指数函数y=ax的反函数是对数函数y=㏒ax.

2、逆向思维的重要性.

2.1、逆向思维是一种重要的思考能力.

运用逆向思维去思考和处理问题，实际上就是以“出奇”去达到“制胜”。

对于全面人才的创造能力及解决问题能力具有非常重大的意义。

在实践中使用这一方法，可能取得惊人的效果。

因为逆向思维的训练可以排除顺向思维中的困难,并且能够培养学生的创造性,挖掘学生思维的潜能,使看似简单的习题,却能给学生带来深刻的思考。

2.2、逆向思维是一种重要的探究过程.

逆向思维从反面观察问题，打破心理学上的心理定势现象，冲破习惯思维的束缚，在与原来认识方向相反的方向上寻找解决办法的新方法，有时会产生意想不到的良好效果或获得新的发明和创造.

例1设3a-b是2的倍数，求证：

3a2+2ab-b2能被2整除

分析：

设法从3a2+2ab-b2中先找出3a-b的因式，再证另一个因式也是2的倍数.

原式=（3a-b）（a+b），至此可以看出求证式已有一个能被2整除的因式3a-b，只需再证另一个因式a+b也能被2整除即可.由于a+b=（3a-b）-2（a-b），而3a-b是2的倍数，2（a-b）也是2的倍数，故a+b能被2整除，因此，本题得证.

2.3、逆向思维是一种重要的思维方法.

逆向思维作为数学中的一种重要的思维方法，它是在习惯性的思维方向上做完全相反的探索，在社会实践和学习的过程中，人们都有这样一个经验：

当你对某一问题冥思苦想而不得其解时，不妨从它的反面去想一想，这样常使人茅塞顿开，获得意外的成功.

例2：

若实数a，b，c满足a-b=10，ab+c2+5=0，求证a+b+c=0

分析：

由a-b=10得a+（-b）=10

由ab+c2+25=0得a（-b）=c2+25

逆用韦达定理，可构造一个以a，-b为根的一元二次方程

证：

∵a-b=10，ab+c2+25=0

∴a+（-b）=10，a（-b）=c2+25

∴以a，-b为根的一元二次方程为x2-10x+（c2+25）=0

∴△=（-10）2-4（c2+25）≥0

∴-4c2≥0故c=0

∴X2-10x+25=0，（x-5）2=0，x=5

∴方程有相等的两个实数根

∴a=-b，a+b=0，

∴a+b+c=0

3、逆向思维在数学论证中的作用.

3.1、逆向思维可以开拓学生的想象空间.

在数学论证中，要重视逆向思维过程，加强思维能力训练比单纯地传授基本知识更重要.通过数学思维的恰当训练，逐步掌握数学思维方法与规律，是可以改变人的智力和能力，也可以培养学生的创新精神和创新意识.

例3:

已知：

a>b>0,求证：

-

<

分析：

此题由

-

<

可联想到以

、

为直角边作直角三角形.则斜边是

由三角形两边之差小于第三边可得

-

<

.

3.2、逆向思维有利于加深学生基础知识的理解.

在算术中，加法和减法、乘法和除法都是相互对立的，但在代数中，引进了负数和倒数的概念，例如：

有理数的减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数a-b=a+（-b），而一个数除以另一个数，等于被除数乘以除数的倒数a÷b=a×1／b.

3.3、逆向思维可以发现解题技巧，有利于培养学生的创造能力.

由于数学中的很多定理、公式、法则都具有可逆性,故从相反的角度来观察、探索、常常可以求得问题的解决或发现新的规律.我们对公式、法则、性质的逆向运用不习惯，缺乏应有的潜意识，思维定势在顺向应用上，所以应强调逆向运用.逆向思维可以发现解题技巧，有利于培养学生的创造能力。

运用逆向思维，我们从乘法分配律就可以联想到提公因式法，提公因式法的理论依据是乘法分配律的相反过程即ma+mb=m（a+b）.

3.4、逆向思维有利于克服思维的迟滞性

加强逆向思维的训练，可改变我们的思维结构，培养思维的灵活性、深刻性和双向性，从而提高分析问题和解决问题的能力.我们的基础知识越扎实，以前知识对后学知识的负迁移作用越小，一般来说思维的逆向联系也比较容易建立，学习概念时容易较快掌握概念的本质；解题时容易产生解题的各种策略.

例4：

分解因式x3+6x-7

解：

把-7分裂成为两个负数之和，以便按正负搭配分为两组，得

x3+6x-7=x3+6x-1-6

=（x3-1）+6（x-1）

=（x-1）（x2+x+7）

4、逆向思维在数学论证中的培养.

4.1、从反证法的论证中培养逆向思维

有些问题从正面入手比较复杂，不妨从反面入手.正难则反，直难曲进.有些问题如果按照常规方法证明，往往感觉无从下手，此时如果我们能及时改变思考角度，从问题的反面去考虑，或把问题倒过来想，常常会使问题简捷而快速地获解.

反证法证明是从结论的反面出发，逻辑地推出矛盾，从而肯定原命题成立的证明方法，这也体现了逆向思维的思想.

例5求证：

3（1+a2+b4）≥（1+a+a2）2（a>0）

证：

假设3（1+a2+a4）<（1+a+a2）2

则有3（1+a+a2）（1-a+a2）<（1+a+a2）2

由于当a>0时，1-a+a2>0,所以得

3（1-a+a2）<1+a+a2

整理得1-2a+a2<0

∴（1-a）2<0

这个不等式显然不能成立，它说明我们的假定是不正确的

∴3（1+a2+b4）≥（1+a+a2）2

在用反证法证题时，应当从命题的特点出发，选取恰当的推理方法.

例6已知函数f（x）在R上是增函数，a、b∈R,若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）,求证：

a+b≥0.

分析：

欲证上述命题，正向推理，题设条件不容易使用，转而逆向思考，利用反证法.

证明：

假设a+b<0,则a<-b，b<-a.

根据单调性知：

f（a）

∴f（a）+f（b）

∴a+b<0不成立，即a+b≥0

证明可利用的公理、定理较少或者难以与已知条件相沟通的命题，应考虑采用反证法.

一般地，证明结论是否定形式的命题；证明结论是“唯一”或“必然”的命题；证明结论是“至少……”或“至多……”的命题；

例7已知a、b为相交的两条直线，求证：

a、b只有一个交点.

证明：

假定直线a与b不只有一个交点，则至少交于两点，设这两个交点为A与B,那么，直线a通过A、B两点，直线b也通过A、B两点.这就是说，经过A、B两点可以作两条直线a和b.这和公理“经过两点可以作一条直线，而且只可以作一条直线”相矛盾.产生矛盾的原因，是由于假定直线a与b不只有一点.假定既然不成立，则原题结论必成立.

数学中矛盾的双方比比皆是，巧妙地运用逆向思维，可克服习惯思维的不足.当然，我们还可以找到更多更好的方法来培养逆向思维，例如反例法。

4.2、通过构造反例来训练学生的逆向思维

在数学这个领域中，肯定一个命题需要严格的逻辑推理证明，需要考虑全部可能和所以情形；然而要推翻一个命题的结论或否定一个命题，往往只需举出一个例子（符合题设的条件而与命题结论相矛盾的例子）予以否定，这种例子通常称为反例，因而举反例也是一种证明手段.

举反例是与正向逻辑推理过程恰好是相反的，所以可通过举反例、构造反例来培养学生的逆向思维.

重要的反例往往也会成为数学殿堂的基石.19世纪中叶，数学界长期认为连续函数除极个别点外总是处处可微的.1872年，数学家魏尔迈斯特拉斯却构造出一个极为精妙的反例：

f（x）=∑bncos（anπx），其中a为奇整数，01+3π/2，此函数处处连续但处处不可微，从而推翻了流传很久的谬误.由此可见，举反例是一种极为重要的数学思想，也是一种证明方法.

掌握各类反例，才能更好地掌握数学基础知识。

对结论进行分析、推理，得到与结论有联系的命题（如结论的充分条件、必要条件、充要条件等）而在题设条件下，这些命题有明显的谬误.

例8对边相等的空间四边形是平行四边形.

分析：

成为平行四边形的必要条件是首先为平面图形，而对边相等并不能保证该空间四边形是平面图形.

反例由此产生：

将一页纸（矩形）沿一条对对角线折起，四条边线对边相等，但该图形不是平面图形，所以不是平行四边形.

从命题的角度来看，题设与结论的地位相似构造反例的思路也基本一致.

例9与同一平面所成角相等的两条直线平行.

分析：

空间中仅一个所成角相等无法确定直线的走向，可直接找两条相交直线，适当摆放使符合题意.

构造在与该平面平行的平面上任取两条相交直线，它们与已知平面都0弧度角，但不平行.

构造反例是培养批判性思维能力，发展逆向思维，优化解题过程的重要途径.

例10一条直线与一个三角形的两边相交，则该直线在三角形所在的平面内.

分析：

如果直线与三角形的两边正常相交，两个交点足以确定直线在平面内，而如果直线与三角形的两边交于一点，即交于顶点，那么命题就有了漏洞.

反例由此产生：

过一个三角形的顶点作三角形所在平面的垂线，它与三角形的两边相交，但不在三角形所在的平面内.

所谓“兵无常势，水无定形”.以上给出的只是构造中的常见方法.

反例法和反证法属于数学逆向思维的不同层面，反例法教学对学生逆向思维的发展意义重大，是培养逆向思维，进一步学习反证法的必经之路.

4.3、通过分析法来培养学生的逆向思维

分析法证明就是假定要证明的不等式成立，利用恒等变形和不等式的性质寻求使该不等式成立的充分条件，这样逐步推理，如能推出已知的不等式，就可断定所给不等式成立.

例11求证：

1/（

+

）>

-2

证：

如果1/（

+

）>

-2

由于等式两边都是正数，平方得3+2-2

>5+4-4

即2

>2+

平方，得20>10+4

即10>4

平方，得100>96.

由于100>96成立，并且上面推理每一步都可逆，所以

1/（

+

）>

-2

这里的可逆就说明后一式总是前一式成立的充分条件.

分析法也是一种常见的逆向思维的方法，尤其在高中不等式的证明中，从题目的条件出发，很难入手，引导学生从结论反推，执果索因，解题思路瞬间清晰明了.

例12设m>0,n>0,且m≠n,m+n=1,求证：

1/m+1/n>4.

证：

要证1/m+1/n>4成立，

只需证（m+n）/m+（m+n）/n>4成立，

即需证m/n+n/m>2成立，

只需证m2+n2>2mn成立，

又需证m2+n2-2mn>0成立，

即需证（m-n）2>0成立.

而由已知条件可知，m≠n，所以（m-n）2>0显然成立.由此命题得证.

分析法的特点是:

从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件，这寻找的过程就是逆向思维的过程.

分析法证明是从待证的结论出发，一步步地探索下去，最后达到命题的已知条件，是从未知到已知的思考方法，从充分、必要条件的关系去看，实际上是从结论出发，寻找结论的充分条件，一直找到已知条件是结论的一个充分条件才算证毕.所以分析法是一种执果索因的方法，这对我们培养逆向思维有重要的作用.

4.4、利用“逆向变式”训练培养学生的逆向思维

逆向变式的训练方法可以灵活多样，学生可以自编题目进行变式训练，可以是一些相关题目组合，也可以使一个题目分层次的变化，等等.

在学习了概念之后，学生若能把课后练习或习题进行选择分类，排列层次，适当地逆向变式，然后进行训练，会收到事半功倍的效果.

注意公式的逆用，数学中的定理的逆命题不一定成立，但公式均可逆用.如：

1=sin2α+cos2α，sinα/cosα=tanα

tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ）.

例13已知a

+b

=1，求证a2+b2=1

证：

∵b2≤1,a2≤1.

又a

=1-b

≥0.

∴a≥0,b≥0.

因此可设a=sinα,b=sinβ,且0≤α≤π/2，0≤β≤π/2.

由已知sinα

+sinβ

=1，sinαcosβ+cosαsinβ=1又0≤α+β≤π，∴α+β≤π/2.

∴a2+b2=sin2β+sin2β=sin2α+cos2α=1

逆向变式的训练有利于避免学生死记硬背，单纯接受知识的学习方式，也可以激发学习兴趣，达到提高思维灵活性，巩固基础知识的效果，提高学生理解、探究、掌握和运用数学知识的能力，使学生从不同的角度去观察问题、思考问题，更重要的是培养了学生的逆向思维，促进学生的各项能力的发展.

结论

总之，逆向思维的培养不是一天两天就能达到的，它需要日积月累，要多方面、多渠道、多角度细心地培养.利用逆向思维来思考一些数学问题的证法，可以使问题变得简捷，思路独特；探求一些数学问题的结论时，采用逆向思维的方式，可以使问题得到简化，解题思路清晰.

解题论证是培养逆向思维的主阵地之一，只要我们开动脑筋，大胆尝试，努力挖掘培养逆向思维能力的有效方法，是一定能够实现这个目标的.

参考文献

[1]陈森林《中学代数教学法》湖北教育出版社

[2]吴振奎《中学数学证明方法》辽宁人民出版社

[3]赵振威《解题思路——如何求证》科学出版社

致谢

在此论文撰写过程中，要特别感谢我的指导老师陈岱婉老师的指导与督促，同时感谢她的谅解与包容，从课题的选择到论文的最终完成，陈老师始终都给予了细心的指导和不懈的支持。

也非常感谢给过我帮助的同学们，以及被我引用参考的论著的作者，让我顺利地完成这篇论文。

这里请接受我诚挚的谢意！