初二作业全等三角形作业.docx
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初二作业全等三角形作业
第四篇
三
角
形
第五讲三角形基础知识
1．什么叫三角形？
教材定义：
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
须知：
这个定义存在一个问题：
就是“首尾顺次相接”能否接得上的问题。
如果不满足三边关系，就接不上，那么，三角形就不复存在。
请看如下定义。
我的定义：
在平面上，不在一条直线上的三个点，两两相连所构成的封闭图形叫做三角形。
如图4-1所示。
“三角形”可以用符号“△”来表示，顶点是A、B、C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”其中的三个字母没有顺序性，即还可以写作：
△BCA或△CAB。
2．什么是三角形的三、三、三元素？
三角形的顶点：
平面上不在同一条直线上的那三个点A、B、C叫做三角形的顶点。
三角形的边：
三角形的三个顶点A、B、C，两两相连的三条线段AB、BC、CA叫做三角形的边。
须知:
三角形的三条边AB、BC、CA，有时也用a、b、c来表示，如图4-2所示：
a是∠A所对的边，b是∠B所对的边，c是∠C所对的边。
一定要注意这样的对应关系。
三角形的内角：
相邻两边的夹角∠ABC、∠BCA、∠CAB，叫做三角形的内角。
须知：
三角形的三个内角∠ABC、∠BCA、∠CAB，有时为了方便，也用∠B、∠C、∠A来表示，但是，从顶点出发的线段有3条以上时就不能这样表示。
角的表示有时也用希腊字母：
α、β、γ、θ来表示。
特别是在物理、三角函数中，人们习惯用这些希腊字母，当然，我们也经常用阿拉伯数字∠1、∠2、∠3、∠4自己来定义某些角。
我们把三角形的三个顶点、三条边、三个内角统称为三角形的三、三、三元素。
只要你记住这三、三、三元素，你就要想起以上的所有内容。
3．什么是三角形的角平分线？
三角形的角平分线：
三角形任一个内角的平分线与其对边相交，那么角的顶点到交点之间的线段AD、BE、CF叫做三角形的角平分线；其中角的顶点到交点之间的线段才是角平分线，而不是射线。
这是中考热点之一。
如图4-3所示：
而且，三角形的三条角平分线，还一定交于一点O。
4．什么叫三角形的内心？
三角形的内心：
三角形的三条角平分线，一定交于一点O，这一点就叫做三角形的内心。
我们之所以把它叫做三角形的内心，是因为它是三角形内切圆的圆心。
三角形的内心当然一定在三角形的内部。
锐角三角形的内心如图4-4甲所示；直角三角形的内心如图4-4乙所示；钝角三角形的内心如图4-4丙所示。
关于三角形的三条角平分线为什么会交于一点。
我们将在后面讲解。
5．什么是三角形的中线？
三角形的中线：
三角形任一边的中点与其所对角的顶点所连成的线段AD、BE、CF叫做三角形的中线；其中边的中点到所对角的顶点之间的线段才是中线，而不是射线。
这是中考热点之一。
如图4-5所示：
而且，三角形的三条中线，还一定交于一点O。
6．什么叫三角形的重心？
三角形的重心：
三角形的三条中线，一定交于一点O，这一点就叫做三角形的重心。
我们之所以把它叫做三角形的重心，是因为它是三角形上各部分所受重力的合力的作用点。
三角形的重心一定在三角形的内部；锐角三角形的重心如图4-6甲所示；直角三角形的重心如图4-6乙所示；钝角三角形的重心如图4-6丙所示。
关于三角形的三条中线为什么会交于一点，重心定理的证明。
我们将在后面讲解。
7．什么是三角形的高线？
三角形的高线：
在三角形中，从一个角的顶点向对边作垂线，那么角的顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线；其中角的顶点到所对边的垂足之间的线段才是高线。
这是中考热点之一。
那么，三角形一定有三条这样的高线AD、BE、CF。
三角形的三条高线，还一定交于一点O。
8．什么叫三角形的垂心？
三角形的垂心：
三角形的三条高线，一定交于一点O，这一点就叫做三角形的垂心。
我们之所以把它叫做三角形的垂心，是因为它是三角形三条边上的垂线的交点。
但是，和三角形的内心、重心不同的是：
锐角三角形的垂心在三角形的内部如图4-6甲所示；直角三角形的垂心在直角三角形的直角的顶点上如图4-6乙所示；钝角三角形的垂心却在三角形的外部。
如图4-6丙所示。
关于三角形的三条高线为什么会交于一点。
我们将在后面讲解。
9．什么叫三角形的三、三、三线段？
我们把三角形的三条角平分线，三条中线，三条高线统称为三角形的三、三、三线段。
只要你记住这三、三、三线段，你就一定要想起以上的所有内容。
10．三角形如何分类？
三角形的分类方法有两种：
1按边分类：
须知：
等边三角形是等腰三角形的特例。
2按角分类：
11．什么是三角形的三边关系？
如何证明？
定理：
三角形任意两边之和大于第三边。
推论：
三角形任意两边之差小于第三边。
证明：
∵联结两点的线中，线段最短；
∴AB+AC＞BC；①
∴BA+BC＞AC；②
∴CA+CB＞AB；③
由①得：
BC-AC＜AB；
由②得：
AC-AB＜BC；
由③得：
AB-BC＜AC；
结论：
该定理的证明，运用了公理：
“两点之间，线段最短。
”
求两边之差时，必须是大边减小边，不能是小边减大边。
该定理在物理中互成角度的力的合成中，应用十分广泛。
你会用吗？
F1+F2＞ΣF＞|F1-F2|
12．什么是三角形的内角和定理？
如何证明？
三角形内角和定理：
三角形的内角和等于180°。
三角形内角和定理之推论：
直角三角形的两个锐角互余。
证明：
过A作EF∥BC。
则：
∠EAB=∠ABC；∠FAC=∠ACB；
∴∠ABC+∠BAC+∠ACB
=∠EAB+∠BAC+∠FAC
=180°。
结论：
该证法运用平行线性质和平角定义来证明。
教材没有讲过这种证法，但不少人也这样来证明，开拓一下思路。
但是，下一问的证法更好，请你比较一下。
13．什么是三角形的外角定理？
什么是三角形的外角定理之推论？
如何证明？
三角形的外角定义：
三角形的一边与其邻边延长线的夹角叫做三角形的外角。
三角形外角定理：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
外角定理之推论：
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
证明：
过C作CE∥BA，延长BC到F。
则：
∠ECF=∠ABC；∠ACE=∠BAC；
∴∠ABC+∠BAC+∠ACB；
=∠ECF+∠ACE+∠ACB；
=180°。
且：
∠ACF=∠ECF+∠ACE
=∠ABC+∠BAC；
且：
∠ACF＞∠ABC，或∠ACF＞∠BAC；
结论：
该证法虽然也运用平行线性质和平角定义来证明，但是，同时它还得到了
三角形的外角定理及其推论，何乐而不为呢？
这也是教材的证明方法。
特别要提出的是：
“三角形的外角定理及其推论是证明角的不等关系的重要依据。
”其实，三角形外角定理及其推论就是三角形内角和定理的推论，为了便于区分，我们把它单列出来，这是有历史根据的。
14．什么是三角形的边角关系，如何证明？
大边对大角定理：
在任意三角形中，大边所对的角大，小边所对的边
角小，等边所对的角相等。
称之为大边对大角定理。
大角对大边定理：
在任意三角形中，大角所对的边大，小角所对的边
小，等角所对的边相等。
称之为大角对大边定理。
这两个定理统称为三角形的边角关系定理。
它们是证明角和边的不等关系的重要依据。
该定理教材不讲，所以，作一详细证明如下：
已知：
如图4-14
（1）所示：
在△ABC中，AB＞AC。
求证：
∠C=∠B。
思路1：
根据等腰三角形的性质，采用截长法来证明。
证明1：
∵AB＞AC；
∴在AB上截取AD=AC；
∴∠ADC=∠ACD；
∵∠ACB＞∠ACD；
∠ADC＞∠B；
∴∠ACB＞∠B；
结论：
该定理的证明丰富多彩，该证法运用了截长法，还可以运用补短法。
请看如下证法
思路2：
根据等腰三角形的性质，采用补短法来证明。
证明2：
∵AB＞AC；
∴延长AC到D，使AD=AB；
∴∠ABD=∠ADB；
∵∠ABD＞∠ABC；
∴∠ADB＞∠ABC；
∵∠ACB＞∠ADB；
∴∠ACB＞∠ABC；
结论：
该证法运用了补短法，还可以运用面积法。
请看如下证法。
思路3：
根据三角形面积的一般公式：
S△=
absinC来证明。
证明2：
∵S△ABC=
AB•BCsinB=
AC•BCsinC；
∴ABsinB=ACsinC；
∵AB＞AC；
∴sinB＜sinC；
∴∠B＜∠C；
结论：
怎么样？
该证法简单吧！
不用作辅助线就可以简单明了的证明该定理。
所以，我们不得不说“面积法，好神奇！
”
15．什么是三角形的对应元素？
在同一个三角形中，内角和它所对的边，内角的平分线、所对边上的中线、高线是一组对应元素。
在两个三角形中，相等的角，叫做对应角；
相等的边，叫做对应边；
相等的角的平分线，叫做对应角平分线；
相等的边上的中线，叫做对应中线；
相等的边上的高线，叫做对应高线；
相等的边上的中垂线，叫做对应中垂线；
16．什么是三角形的稳定性？
三角形的形状是固定不变的，称之为三角形的稳定性。
正是三角形的这种独特的稳定性，在人类的生产和生活中，起到了非常大的作用。
如图4-16所示的屋顶的三角形结构。
第六讲全等三角形
17．什么是全等形？
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
这个概念的外延比较大，它没有说是什么样的图形，可以是三角形、四边形、五边形、六边形，圆等等。
18．什么是全等三角形？
教材定义：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
互相重合的顶点，叫做对应顶点；互相重合的角，叫做对应角；互相重合的边，叫做对应边；
我的定义：
形状相同（三个内角对应相等），大小相等（三条边对应相等）的两个三角形全等。
如图4-18所示：
△ABC和△A`B`C`完全重合，因为它是我通过拷贝得来的。
也就是说△ABC和△A`B`C`是全等的三角形。
“全等”用符号“≌”来表示，读作“全等于”。
记作：
“△ABC≌△A`B`C`”其中：
A和A`，B和B`，C和C`是对应顶点，∠A和∠A`，∠B和∠B`，∠C和∠C`是对应角，AB和A`B`；BC和B`C`；AC和A`C`是对应线段。
须知：
全等是指两个三角形之间的一种等量关系，因此，我们说“三角形ABC全等于三角形A`B`C`；反过来，三角形A`B`C`全等于三角形ABC。
19．全等的符号“≌”包含着什么意义？
这个问题竟然是一个学习很一般的学生提出来的，许多考清华、北大、香港大学的好学生都未曾想过这个问题。
这令我感慨不已。
看来只要你善于提出为什么？
你就能解决这个“为什么？
”的问题。
源自古拉丁语“similit”的英语“similitude”的意思是：
①相仿、类似、可以感觉到相似性。
②与另一个事物极其相像的事物。
那么，用开头字母“S”来表示这种含义，会与表示求和的“S”，表示面积的S相混淆，所以，把它扳倒“∽”就用来表示相似，这一点我们将在相似三角形中学到，但是，全等三角形并不仅仅是形状相同，而且大小也相等，即：
全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形，所以，就在“∽”的下面加入“＝”，就形成了全等三角形的符号：
“≌”
该符号充分验证了我的定义是多么符合平面几何的发展历史，“形状相同（三个内角对应相等），大小相等（三条边对应相等）的两个三角形全等。
”
20．全等三角形的性质是什么？
全等的两个三角形的性质如下：
两个全等三角形的对应边相等；
两个全等三角形的对应中线相等；
两个全等三角形的对应高线相等。
两个全等三角形的对应角相等；
两个全等三角形的对应角平分线相等。
两个全等三角形的周长相等；
两个全等三角形的面积相等。
即两个全等的三角形的所有对应元素都相等，这一点可以从上一问中全等三角形的符号“≌”中得到印证，所以，不能简单地说“符号≌表示了两个全等三角形的面积相等”。
这些重要性质必须引起我们的重视，应该系统地明确地表示出来。
21．两个全等三角形的全等变换有哪些形式？
用两个全等三角形摆放在一起，可以得到我们常见的全等变换的基本构图：
①驼峰型的全等。
如图4-21
（1）是通过翻折变换得到的；如图4-21
（2）、
4-21（3）是通过平移变换得到的。
②8字型的全等。
如图4-21（4）、4-21（5）4-21（6）所示。
都是通过翻折变换得到的。
③箭型的全等：
如图4-21（7）所示，是通过翻折得到的箭型的全等。
④平行四边形：
如图4-21（8）所示，是通过翻折、平移得到的。
⑤蝶型的全等：
如图4-21（9）所示，是通过旋转得到的。
以上基本构图可以帮助我们认识判断三角形的全等关系，而且为我们自己构造全等三角形提供了思路。
22．全等三角形的判定定理有哪些？
边角边公理：
有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
简写为SAS。
角边角公理：
有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
简写为ASA。
角边角公理之推论：
有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全
等。
简写为AAS。
边边边公理：
有三边对应相等的两个三角形全等。
简写为SSS。
斜边直角边公理：
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全
等。
简写为HL。
23．什么是边角边公理？
如何通过作图来验证该公理？
边角边公理：
在两个三角形中，如果两条对应边及其夹角相等，那么这两个三角形全等，称之为边角边公理。
简称SAS公理。
公理是经过长期的生产实践活动，通过严密的科学实验和科学的逻辑推理而得出的被全人类所接受的真理。
在平面几何中，公理不需要证明，但是，我们一定要亲手实践、再实践，才能完全体会公理所揭示的千古永恒的真理。
我们在教学过程中，该项作业要求作三遍以上。
这个公理可以通过尺规作图法来验证：
思路：
第一步，画BC的相等线段B`C`；第二步，作∠A`B`C`=∠ABC，第三步，画BA的相等线段B`A`；第四步，两点连线。
作法如下：
如图4-23所示：
①先作射线B`C`，分别以B、B`为圆心一定长为半径画弧，交BC、B`C`于P、P`点，交BA于M点。
②再以P`为圆心，以PM长为半径画弧，两弧交于M`，连BM`并延长之。
③然后以B`为圆心，BC长为半径画弧交B`C`于C`点，以B`为圆心，BA长为半径画弧交B`A`于A`点，连A`C`，剪下△A`B`C`，与△ABC比较可知它们完全重合。
24．什么是角边角公理？
如何通过作图来验证该公理？
角边角公理：
在两个三角形中，如果两个角及其夹边对应边相等，那么这两个三角形全等，称之为角边角公理。
简称ASA公理。
这个公理可以通过尺规作图法来验证：
思路：
第一步，画BC的相等线段B`C`；第二步，作∠A`B`C`=∠ABC，第三步，作∠A`C`B`=∠ACB。
作法如下：
如图4-24所示：
①先作射线B`C`，以B`为圆心BC长为半径画弧，交B`C`于C`；
②分别以B、B`为圆心，一定长为半径画弧，交BC、B`C`于P、P`点，交BA于M点。
再以P`为圆心，以PM长为半径画弧，两弧交于M`，连BM`并延长之。
③再分别以C、C`为圆心一定长为半径画弧，交BC、B`C`于Q、Q`点。
以Q`为圆心，以PQ长为半径画弧；两弧交于N`，连CN`并延长之，与BM`的延长线交于A。
剪下△A`B`C`，与△ABC比较可知它们完全重合。
25．什么是角角边定理？
如何证明？
角角边定理：
在两个三角形中，如果两个角对应相等，并且其中一个角所对的边也相等，那么这两个三角形全等，称之为角角边定理。
简称AAS定理。
实际上，该定理是角边角公理的推论，证明如下：
思路：
根据角边角公理与三角形内角和定理来证明。
如图4-25所示，已知：
△ABC和△DEF中，∠B=∠E；∠C=∠F；BA=ED。
求证：
△ABC≌△DEF。
证明：
∵∠B=∠E；∠C=∠F；
∴∠A=∠D；
在△ABC≌△DEF中；
∵∠B=∠E；
BA=ED；
∠A=∠D；
∴△ABC≌△DEF；（ASA）
结论：
该定理的证明虽然是一步题，但是，通过该定理的证明，必须达到一个目的：
这就是要记住：
角角边定理是角边角公理的推论，证明的思路是根据角边角公理与三角形内角和定理来证明。
26．什么是边边边公理？
如何通过作图来验证该公理？
边边边公理：
在两个三角形中，如果三条对应边相等，那么这两个三角形全等，称之为边边边公理。
简称SSS公理。
这个公理可以通过尺规作图法来验证：
思路：
第一步，画BC的相等线段DE；第二步，作BA的相等线段；第三步，CA的相等线段。
如图4-26所示：
作法如下：
①先作射线DP，以D为圆点BC长为半径画弧，交DP于E点。
②再以D为圆点，以BA长为半径画弧；以E为圆点，以CA长为半径画弧；两弧交于F，G两点。
③然后连DF、EF和DG、EG。
则△DEF，△DEG全等于△ABC。
我们剪下△DEF，△DEG后，与△ABC比较可知它们完全重合。
27．什么是斜边直角边公理？
如何通过作图来验证该公理？
斜边、直角边公理：
在两个直角三角形中，如果斜边与一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等，称之为斜边、直角边公理。
简称HL公理。
这个公理可以通过尺规作图法来验证：
思路：
第一步，画BC的相等线段B`C`；第二步，作∠B`C`M`=∠B`C`N`=∠BCA=90°；第三步，作BA的相等线段B`A`、B`X`。
作法如下：
如图4-27所示：
①先作射线B`C`，以B`为圆点BC长为半径画弧，交B`C`于C`点。
②再分别以C、C`为圆心，一定长为半径画弧，交CB、C`B`于P、P`点，交CA于M点。
再以P`为圆心，以PM长为半径画弧，两弧交于M`、N`两点，连N`C`M`并两边延长之。
③然后以B`为圆心，BA长为半径画弧，M`N`所在的直线交于A`，X`。
连BA`，BX`。
则△A`B`C`，△X`B`C`全等于△ABC。
我们剪下△A`B`C`，△X`B`C`后，与△ABC比较可知它们完全重合。
28．在三角形全等的判定中，为什么没有角边边这个公理或定理？
角边边的含义：
在两个三角形中，有两个边及其一个边所对的角相等，如果这个角是锐角，它就不能判定这两个三角形全等；如果这个角等于90°；它就是HL公理呀！
你没有发现吗？
如果这个角大于90°，它就可以用来证全等。
著名的斯坦纳问题就是在角为钝角的情况下，用角边边来证两个三角形全等的。
我们将在世界名题欣赏中见到它的应用。
为什么呢？
我们可以通过尺规作图法来验证：
思路：
第一步，画BC的相等线段B`C`；第二步，作∠A`B`C`=∠ABC，第三步，CA的相等线段。
如图4-26所示：
作法如下：
①先作射线B`C`，以B`为圆点BC长为半径画弧，交B`C`于C`点。
②再以P`为圆点，以PM长为半径画弧；两弧交于M`点，连B`M`并延长之。
③然后以C`为圆心，CA长为半径画弧，与B`A`交于A`，x`两点。
连C`A`、C`x`则△A`B`C`全等于△ABC。
我们剪下△A`B`C`后，与△ABC比较可知它们完全重合。
但是△x`B`C`不全等于△ABC。
我们剪下△x`B`C`后，与△ABC比较可知它们不重合。
29．什么是角平分线？
教材如何定义？
轨迹如何定义？
集合如何定义？
教材定义：
把一个角分成两个相等的角的射线，叫做角的平分线；
轨迹定义：
到角的两边距离相等的点的运动轨迹，叫做角的平分线；
集合定义：
角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合。
如图4-29所示。
须知：
角的平分线是一条从顶点出发的射线。
30．什么是角平分线性质定理？
如何证明？
定理：
角平分线上的点，到角的两边距离相等。
已知：
如图4-30所示。
OP是∠AOB的平分线。
Q是OP上任意一点，QM⊥OA于M；QN⊥OB于N；
求证：
QM=QN；
证明：
∵QM⊥OA于M；QN⊥OB于N；
∴∠QMO=∠QNO=90°；
在△QMO和△QNO中
∵∠AOP=∠BOP；
OQ=OQ；
∠ONQ=∠OMQ；
∴△QMO≌△QNO；（ASA）
∴QM=QN。
结论：
该定理的证明虽然是一步题，但是，通过该定理的证明，必须达到一个目的：
这就是要记住：
以后能用角平分线的性质，决不要再证三角形的全等，重复以上的证明过程。
证明的思路是根据角边角公理来证明。
31．什么是角平分线判定定理？
如何证明？
定理：
到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
已知：
如图4-31所示。
Q是OP上任意一点，QM⊥OA于M；QN⊥OB于N；QM=QN；
求证：
OP是∠AOB的平分线；
证明：
∵QM⊥OA于M；QN⊥OB于N；
∴∠QMO=∠QNO=90°；
在△QMO和△QMO中
∵OQ=OQ；
∠ONQ=∠OMQ=90°；
QM=QN；
∴△QMO≌△QNO；（HL）
∴∠AOP=∠BOP；
结论：
以上两个定理在教材中把它们叫做角平分线的性质定理1和性质定理2，这不方便我们记忆。
因此，我们把他们分开命名，前者叫性质定理，后者叫判定定理。
它们两个是互逆的真命题。
32．遇到角平分线应该想到什么？
遇到角平分线我们首先要想到以上两个定理。
其次，要想到往角的两边做垂线，构造两个翻折的全等直角三角形。
如图4-31。
第三，要想到往角的两边作平行线，构造出等腰三角形，或者菱形，如图4-32。
第四，还要想到运用三角形的内角平分线的性质定理：
三角形的两边之比等于内角平分线分对边的两线段之比。
（我们在相似三角形中将要学到它。
）
第五．要想到长截短补法，构造翻折的两个三角形全等。
以上四点是我们长期实践的经验总结，其使用价值甚至超过某些定理。
不知你能否理解其中奥秘！
第七讲等腰三角形
33．什么叫等腰三角形？
定义：
在一个三角形中，如果有两条边相等，那么这个三角形就叫做等腰三角形。
由定义可知，当你证得三角形的两个内角相等时，还必须根据等角对等边，说明两条边相等。
然后才能说明它是等腰三角形。
这一点非常重要。
你能记得住吗？
如图4-33所示：
相等的两条边AC，AB，叫做等腰三角形的腰，另一边BC叫做等腰三角形的底，为什么把它叫做底呢？
因为等腰三角形的对称性，人们习惯把它按图示位置放置，第三条边在下面，所以把它叫做底。
两腰的夹角∠A叫做顶角；腰与底的夹角∠B、∠C叫做底角。
这都是根据位置来命名的。
34．什么是等腰三角形的性质定理？
等腰三角形性质定理：
等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）
该定理的证明过程如下：
已知：
如图4-34甲所示。
在△ABC中，AB=AC；
求证：
∠B=∠C；
思路1：
该定理可用面积法来证明，简单快捷，不用做辅助线，是比较少见的一种证法。
但是，你必须知道三角形面积的一般公式：
S△=
absinC。
证明1：
∵S△ABC=
AB•BCsinB=
AC•BCsinC；
∴ABsinB=ACsinC；
∵AB=AC；∠B＜180°；∠C＜180°；
∴sinB=sinC；
∴∠B=∠C；
结论：
该证法虽然简单之极，但必须学过三角形函数，三角形面积公式，请看下面教材的证法，可谓一石三鸟。
思路2：
最基本的方法是：
要证明两个角相等，构造包含有这两个角的两个三角形全等。
证明：
如图4-34乙所示。
过顶点A作底边BC上的中线。
在△ABM和△ACM中
∵AB=AC；
BM=MC；
AM=AM；
∴△ABM≌△ACM；（SSS）
∴∠B=∠C；
且：
∠BAM=∠CAM；∠BMA=∠CMA=90°；
结论
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