六年级高斯学校竞赛数学分数数列计算含答案.docx
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六年级高斯学校竞赛数学分数数列计算含答案
第1讲分数数列计算
内容概述
建立抵消的思想，特别是灵话运用裂项的方法求解一些分数数列的计算问题．
典型问题
兴趣篇
1．计算：
2．计算：
3．计算：
4．计算：
5．计算：
6．计算：
7．计算：
8．计算：
9．计算：
10．计算：
拓展篇
1．计算：
2．计算：
3．计算：
4．计算：
5．计算：
6．计算：
7.计算：
8.计算：
9.计算：
10.计算：
11.计算：
12.计算：
超越篇
1.计算：
2.计算：
3.已知算式
的结果是一个整数，那么它的末两位数字是多少？
4.计算：
5.计算：
（最后结果可以用阶乘表示）
6.已知
，请比较A和B的大小。
7.计算：
（结果可以用阶乘和乘方表示）
8.计算：
第1讲：
分数数列计算
兴趣篇
1.计算：
1+
1+1+1+
1+1+1+1+1。
【分析】
1⨯22⨯33⨯44⨯55⨯66⨯77⨯88⨯99⨯10
11111111
=（-
）+（
-）+（-
）+....+（-）
122334910
=1+（1-1）+（1-1）+....+（1-1）-1
=1-
22339910
1
10
=9
10
2.计算：
2+2+
2++2。
【分析】
1⨯33⨯55⨯797⨯99
11111111
=（-
）+（-
）+（-
）+....+（-）
1335579799
）
=1+（1-1
+（1-1）+....+（1-
1）-1
=1-
=98
99
3355979799
1
99
3.1
+1+
1+....+1
2⨯44⨯66⨯898⨯100
【分析】
=1⨯[（1-1）+（1-1）+（1-1）+....+（1-
1）]
224466898100
=1⨯[1+（1-1）+（1-1）+....+（1
-1）-1]
2244669898100
=1⨯（1-1）
22100
=49
200
4.1+1+1
+1+1+1
+1+1
612203042567290
【分析】
=1+1+
1+1+
1+1+1+1
2⨯33⨯44⨯55⨯66⨯77⨯88⨯99⨯10
=（1-1）+（1-1）+（1-1）+....+（1-1）
233445910
=1+（1-1）+（1-1）+....+（1-1）-1
233449910
=1-1
210
=2
5
5.1+1
+1+1
+....+1
428701309700
【分析】
=1+1+1+
1+....+1
1⨯44⨯77⨯1010⨯1397⨯100
=1⨯[（1-1）+（1-1）+（1-
1）+....+（1-
1）]
3144771097100
=1⨯[1+（1-1）+（1-1）+....+（1-
1）-1]
344779797100
=1⨯（1-1）
3100
=33
100
6.5+6-6+7+7+8-8+9+9+10
5⨯66⨯77⨯88⨯99⨯10
【分析】
=（1+1）-（1+1）+（1+1）-（1+1）+（1+1）
56677889910
=1+（1-1）-（1-1）+（1-1）-（1-1）+1
56677889910
=1+1
510
=3
10
7.原式=1+2-2+3+3+4-4+5+5+6-6+7+7+8-8+9+9+10
1⨯22⨯33⨯44⨯55⨯66⨯77⨯88⨯99⨯10
【分析】
=（1+1）-（1+1）+（1+1）-.....-（1+1）+（1+1）
2233489910
=1+（1-1）-（1-1）+....+（1-1）-（1-1）+1
=1+
=11
10
2233889910
1
10
8.2+2+
2+....+2
1⨯2⨯32⨯3⨯43⨯4⨯598⨯99⨯100
【分析】
=（1-1）+（1-1）+（1-1）+....+（1-1）
1⨯22⨯32⨯33⨯43⨯44⨯598⨯9999⨯100
=1+（1
-1）+（1-
1）+....+（1
-1）-1
1⨯22⨯32⨯33⨯43⨯498⨯9998⨯9999⨯100
=1-1
1⨯299⨯100
=4949
9900
9.1+5+11+19+....+219+239
261220210240
【分析】
=（1-1）+（1-1）+（1-
1）+....+（1-
1）+（1-1）
2612210240
=15-（1+1+
1+....1+1）
2612210240
=15-（1-1）
16
=15-15
16
=141
16
10.
（1-1）⨯（1+1）⨯（1-1）⨯（1+1）⨯....⨯（1-1）⨯（1+1）
223399
【分析】
=1⨯3⨯2⨯4⨯3⨯5⨯....9⨯8⨯10
223344899
=1⨯10
29
=5
9
拓展篇
1、计算：
1+
1+1
+1+1
++1。
【分析】
1⨯22⨯33⨯44⨯55⨯62007⨯2008
=（1-1）+（1-1）+（1-1）+....+（1-1）
12233420072008
=1+（1-1）+（1-1）+....+（1
-1）-1
=1-
2233200720072008
1
2008
=2007
2008
2、计算：
3+3+3+3
++3。
【分析】
2⨯55⨯88⨯1111⨯1498⨯101
=（1-1）+（1-1）+（1-
1）+....+（1-1）
255881198101
=1+（1-1）+（1-1）+....+（1-
1）-1
255889898101
=1-1
2101
=99
202
3、计算：
4-8+12-16+20-24。
1⨯33⨯55⨯77⨯99⨯1111⨯13
【分析】
111111111111
=（+
）-（+
）+（+
）-（+
）+（+
）-（+）
133557799111113
）
=1+（1-1
-（1-1）+（1-1）-（1-1）+（1-1）-1
=1-
=12
13
33557799111113
1
13
111111111
4、计算：
（1）1+3+5+7
+9+11
+13
+15
+17。
2612203042567290
（2）4+6
-8-10
+12+14
-16-18
+20
++76
+78
-80
-82
1⨯32⨯43⨯54⨯65⨯76⨯87⨯98⨯109⨯1137⨯3938⨯4039⨯4140⨯42
【分析】
（1）原式=（1+3+5+....+17）+（1+1+1+1
+1+
1+1+1+1）
=9⨯9+（1-1）
10
2612203042567290
=819
10
（2）
（1+33+5
....
37+3939+41
（2+44+6
....
38+4040+42）
原式=-++-
）+-++-
1⨯33⨯537⨯3939⨯412⨯44⨯638⨯4040⨯42
=[（1+1）-（1+1）+....+（1+
1）-（1
+1）]+[（1+1）-（1+1）+....+（1+
1）-（1+
1）]
133537393941244638404042
=1+1
+1+1
41242
=1389
861
5、计算：
1+2+3
1⨯（1+2）（1+2）⨯（1+2+3）
4
+++
（1+2+3）⨯（1+2+3+4）
10
（1+2++9）⨯（1+2++9+10）
【分析】
=1+（1-
1）+（1-
1）+....+（1-1）
1+21+21+2+31+2+....+91+2+....+10
=1+（1-
=154
55
1）
1+2+....+10
6、计算：
3+11+23+39++759+839。
261220380420
11111
【分析】原式=（2-
）+（2-
）+（2-
）+....+（2-
）+（2-）
1⨯22⨯33⨯419⨯2020⨯21
=2⨯20-（1
+1+
1+....1+1）
=40-
1⨯21⨯23⨯419⨯2020⨯21
-
）
11（
121
=40-20
21
=391
21
7、计算：
2⨯3+5⨯6+8⨯9++98⨯99。
1⨯44⨯77⨯1097⨯100
【分析】
=（1+
2）+（1+
2）+（1+
2）+....+（1+2）
1⨯44⨯77⨯1097⨯100
=32+2⨯（1+1+
1+....+1）
1⨯44⨯77⨯1097⨯100
=32+2⨯1（1-1）
=3233
50
3100
8、计算：
1+1+1+1++1。
22+42+4+62+4+6+82+4+6+20
【分析】.
1111
原式=+++....+
1⨯22⨯33⨯410⨯11
=1-1
11
=10
11
9、计算：
1+1+1
++1。
【分析】
1⨯2⨯32⨯3⨯43⨯4⨯548⨯49⨯50
=1⨯[（1-
1）+（1
-1）+（1
-1）+....+（1
-1）]
21⨯22⨯32⨯33⨯43⨯44⨯548⨯4949⨯50
=⨯[+（-）+（-
111111111
）+....+（-）-]
21⨯22⨯32⨯33⨯43⨯448⨯4948⨯4949⨯50
=1⨯（1-1）
21⨯249⨯50
=306
1225
10、计算：
4+5+6++11。
1⨯2⨯32⨯3⨯43⨯4⨯58⨯9⨯10
1+31+41+51+10
【分析】原式=+++....+
1⨯2⨯32⨯3⨯43⨯4⨯58⨯9⨯10
=（1
+1）+（1
+1）+（1
+1）+....+（1
+1）
1⨯2⨯31⨯22⨯3⨯42⨯33⨯4⨯53⨯48⨯9⨯108⨯9
=（1+1
+1+....+
1）+（1+1
+1+....+1）
1⨯2⨯32⨯3⨯43⨯4⨯58⨯9⨯101⨯22⨯33⨯48⨯9
=1⨯（1-
1）+（1-1）
21⨯29⨯109
=11+8
459
=17
15
11、计算：
⎛
-=1⎫⨯⎛1-=1⎫⨯⨯⎛1-=1⎫。
ç12⎪ç
2⎪ç2⎪
⎝2⎭⎝
3⎭⎝
99⎭
【分析】原式=1⨯3⨯2⨯4⨯3⨯5⨯....⨯98⨯100
2⨯23⨯34⨯499⨯99
=1⨯2⨯3⨯3⨯4⨯4⨯....⨯98⨯98⨯99⨯100
2⨯2⨯3⨯3⨯4⨯4⨯....⨯98⨯98⨯99⨯99
=100
2⨯99
=50
99
12、计算：
⎛
+=1
⎫⨯⎛1+=1
⎫⨯⎛1+=1
⎫⨯⨯⎛1+=1⎫。
ç1⨯⎪ç
⨯⎪ç
⨯⎪ç⨯⎪
⎝13⎭⎝
24⎭⎝
35⎭⎝
20072009⎭
【分析】原式=2⨯2⨯3⨯3⨯4⨯4⨯....⨯2008⨯2008
1⨯32⨯43⨯52007⨯2009
=2⨯2⨯3⨯3⨯4⨯4⨯....⨯2007⨯2007⨯2008⨯2008
1⨯2⨯3⨯3⨯4⨯4⨯....⨯2007⨯2007⨯2008⨯2009
=2⨯2008
2009
=12007
2009
超越篇
12+22
1、计算：
22+32
+
++
182
+192
192
+
+202
。
1⨯22⨯318⨯1919⨯20
n2+（n+1）2
[n2+（n+1）2-2n（n+1）]+2n（n+1）（n+1-n）2
111
【分析】
==2+=2+=2+（-）
n（n+1）
∴原式=2⨯19+（
n（n+1）
1+1+....+1）
n（n+1）
n（n+1）
nn+1
=38+（1-1）
20
19
1⨯22⨯319⨯20
=38
20
2222
2、计算：
2
+14
+
+118
++
+120+1
+
22-142-1
。
182-1202-1
222
【分析】原式=（1+
）+（1+
）+....+（1+）
=10+（1-1）
21
20
1⨯33⨯519⨯21
=10
21
241618
3、已知算式（1+
）⨯（2+
）⨯⨯（8+
）⨯（9+
）的结果是一个整数，那么它的末两位数字式多少？
351719
【分析】第n个数的分子是n（2n+1）+2n=n（2n+3），是第n+1个数分母的n被，因此，
原式=1⨯1⨯2⨯3⨯....⨯8⨯（9⨯19+18）
3
=63⨯8!
=2540160
末两位是60
4、计算：
3+5+7++37。
1⨯2⨯32⨯3⨯43⨯4⨯518⨯19⨯20
【分析】原式=
1+2+
2+3+
3+4
+....+
18+19
1⨯2⨯32⨯3⨯43⨯4⨯518⨯19⨯20
=（1
+1）+（1
+1）+（1
+1）+....+（1
+1）
2⨯31⨯33⨯42⨯44⨯53⨯519⨯2018⨯20
=（1
+1+
1+....+
1）+（1+
1+....+
1）+（1+1
+....+1）
2⨯33⨯44⨯519⨯201⨯33⨯517⨯192⨯44⨯618⨯20
=（1-
1）+1⨯（1-1）+1⨯（1-1）
2202192220
=9+9+9
201940
=873
760
5、计算：
12399
++++
（最后结果可以用阶乘表示）。
2!
3!
4!
100!
【分析】n=1-1
（n+1）!
n!
（n+1）!
∴原式=（1-1）+（1-1）+....+（1-1）
=1-
1
100!
2!
2!
3!
99!
100!
6、已知A=1,B=
1+1+1
++
1，请比较A和B的大小。
【分析】
882
92102
642
B<1+
1+1
+....+1+1
7⨯98⨯109⨯1162⨯6463⨯65
=1⨯（1-
1+1-1）
2765864
=1⨯（1+
1-1+1-1）
287⨯865864
=1+1⨯（1-
1-1）
82566564
<1=A
8
7、计算：
3!
⨯1+4!
⨯2+5!
⨯3++102!
⨯100（结果可以用阶乘和乘方表示）。
33331000
【分析】
（n+2）!
⨯n
=（n+2）!
⨯（n+3）-（n+2）!
⨯3=（n+3）!
-（n+2）!
3n3n
3n3n
3n-1
∴原式=（（1+3）!
-（1+2）!
+（（2+3）!
-（2+
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