六年级高斯学校竞赛数学分数数列计算含答案.docx

1、六年级高斯学校竞赛数学分数数列计算含答案第1讲 分数数列计算内容概述 建立抵消的思想，特别是灵话运用裂项的方法求解一些分数数列的计算问题典型问题兴趣篇1计算：2计算：3计算：4计算：5计算：6计算：7计算：8计算：9计算：10计算：拓展篇1计算：2计算：3计算：4计算：5计算：6计算：7.计算： 8.计算： 9.计算：10.计算：11.计算：12.计算：超越篇1.计算：2.计算：3.已知算式的结果是一个整数，那么它的末两位数字是多少？4.计算：5.计算：（最后结果可以用阶乘表示）6.已知，请比较A和B的大小。7.计算：（结果可以用阶乘和乘方表示）8.计算：第 1 讲：分数数列计算兴趣篇1. 计

2、算： 1 +1 + 1 + 1 +1 + 1 + 1 + 1 + 1 。【分析】1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 101 1 1 1 1 1 1 1= ( -) + (- ) + ( -) + . + ( - )1 2 2 3 3 4 9 10= 1 + ( 1 - 1 ) + ( 1 - 1) + . + ( 1 - 1) - 1= 1 -2 2 3 3 9 9 10110= 9102. 计算： 2 + 2 +2 + + 2 。【分析】1 3 3 5 5 7 97 991 1 1 1 1 1 1 1= ( -) + ( -) + ( -) + . + ( -

3、 )1 3 3 5 5 7 97 99)= 1 + ( 1 - 1+ ( 1 - 1) + . + ( 1 -1 ) - 1= 1 -= 98993 3 5 5 97 97 991993. 1+ 1 +1 + . + 12 4 4 6 6 8 98 100【分析】= 1 ( 1 - 1) + ( 1 - 1) + ( 1 - 1) + . + ( 1 -1 )2 2 4 4 6 6 8 98 100= 1 1 + ( 1 - 1) + ( 1 - 1) + . + ( 1- 1 ) - 1 2 2 4 4 6 6 98 98 100= 1 ( 1 - 1 )2 2 100= 492004. 1

4、 + 1 + 1+ 1 + 1 + 1+ 1 + 16 12 20 30 42 56 72 90【分析】= 1 + 1 +1 + 1 +1 + 1 + 1 + 12 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10= ( 1 - 1 ) + (1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) + . + ( 1 - 1 )2 3 3 4 4 5 9 10= 1 + ( 1 - 1) + ( 1 - 1) + . + ( 1 - 1) - 12 3 3 4 4 9 9 10= 1 - 12 10= 255. 1 + 1+ 1 + 1+ . + 14 28 70 130 9700【分析】= 1

5、+ 1 + 1 +1 + . + 11 4 4 7 7 10 10 13 97 100= 1 (1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) + ( 1 -1 ) + . + ( 1 -1 )3 1 4 4 7 7 10 97 100= 1 1 + ( 1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) + . + ( 1 -1 ) - 1 3 4 4 7 7 97 97 100= 1 (1 - 1 )3 100= 331006. 5 + 6 - 6 + 7 + 7 + 8 - 8 + 9 + 9 +105 6 6 7 7 8 8 9 9 10【分析】= (1 + 1 ) - (1 + 1 ) + (1 + 1

6、 ) - (1 + 1 ) + (1 + 1 )5 6 6 7 7 8 8 9 9 10= 1 + (1 - 1 ) - (1 - 1 ) + (1 - 1 ) - (1 - 1 ) + 15 6 6 7 7 8 8 9 9 10= 1 + 15 10= 3107.原式=1 + 2 - 2 + 3 + 3 + 4 - 4 + 5 + 5 + 6 - 6 + 7 + 7 + 8 - 8 + 9 + 9 +101 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10【分析】= (1 + 1 ) - (1 + 1 ) + (1 + 1 ) - .- (1 + 1 ) + (1 + 1

7、 )2 2 3 3 4 8 9 9 10= 1 + ( 1 - 1 ) - ( 1 - 1) + . + ( 1 - 1) - ( 1 - 1) + 1= 1 += 11102 2 3 3 8 8 9 9 101108. 2 + 2 +2 + . + 21 2 3 2 3 4 3 4 5 98 99 100【分析】= ( 1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) + .+ ( 1 - 1 )1 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4 5 98 99 99 100= 1 + ( 1- 1 ) + ( 1 -1 ) + . + ( 1- 1 ) - 11 2 2 3 2 3

8、3 4 3 4 98 99 98 99 99 100= 1 - 11 2 99 100= 494999009. 1 + 5 + 11 + 19 + . + 219 + 2392 6 12 20 210 240【分析】= (1 - 1 ) + (1 - 1 ) + (1-1 ) + . + (1 -1 ) + (1 - 1 )2 6 12 210 240= 15 - ( 1 + 1 +1 + . 1 + 1 )2 6 12 210 240= 15 - (1 - 1 )16= 15 - 1516= 14 11610.(1 - 1) (1 + 1) (1 - 1) (1 + 1) . (1 - 1)

9、 (1 + 1)2 2 3 3 9 9【分析】= 1 3 2 4 3 5 . 9 8 102 2 3 3 4 4 8 9 9= 1 102 9= 59拓展篇1、计算： 1 +1 + 1+ 1 + 1+ + 1 。【分析】1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 2007 2008= (1 - 1 ) + ( 1 - 1) + (1 - 1 ) + . + ( 1 - 1 )1 2 2 3 3 4 2007 2008= 1 + ( 1 - 1 ) + ( 1 - 1) + . + ( 1- 1 ) - 1= 1 -2 2 3 3 2007 2007 200812008= 200720082、计算：

10、 3 + 3 + 3 + 3+ + 3 。【分析】2 5 5 8 8 11 1114 98 101= ( 1 - 1 ) + ( 1 - 1) + (1 -1 ) + . + ( 1 - 1 )2 5 5 8 8 11 98 101= 1 + ( 1 - 1) + ( 1 - 1) + . + ( 1 -1 ) - 12 5 5 8 8 98 98 101= 1 - 12 101= 992023、计算： 4 - 8 + 12 - 16 + 20 - 24 。1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13【分析】1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1= ( +) - ( +) +

11、( +) - ( +) + ( +) - ( + )1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13)= 1 + ( 1 - 1- ( 1 - 1) + ( 1 - 1) - ( 1 - 1) + ( 1 - 1 ) - 1 = 1 -= 12133 3 5 5 7 7 9 9 11 11 131131 1 1 1 1 1 1 1 14、计算：（1） 1 + 3 + 5 + 7+ 9 + 11+ 13+ 15+ 17 。2 6 12 20 30 42 56 72 90（2） 4 + 6- 8 - 10+ 12 + 14- 16 - 18+ 20+ + 76+ 78- 80- 821 3 2

12、 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 9 11 37 39 38 40 39 41 40 42【分析】（1）原 式 = (1 + 3 + 5 + . +17) + ( 1 + 1 + 1 + 1+ 1 +1 + 1 + 1 + 1 )= 9 9 + (1 - 1 )102 6 12 20 30 42 56 72 90= 81 910（2）(1 + 3 3 + 5.37 + 39 39 + 41( 2 + 4 4 + 6.38 + 40 40 + 42 )原 式 = - + + -) + - + + -1 3 3 5 37 39 39 41 2 4 4 6 38 40 40 4

13、2= (1 + 1 ) - ( 1 + 1 ) + . + ( 1 +1 ) - ( 1+ 1 ) + ( 1 + 1 ) - ( 1 + 1 ) + . + ( 1 +1 ) - ( 1 +1 )1 3 3 5 37 39 39 41 2 4 4 6 38 40 40 42= 1 + 1+ 1 + 141 2 42= 1 3898615、计算： 1+ 2 + 31 (1 + 2) (1 + 2) (1+ 2 + 3)4+ + +(1 + 2 + 3) (1 + 2 + 3 + 4)10(1 + 2 + + 9) (1 + 2 + + 9 + 10)【分析】= 1 + (1 -1 ) + (

14、1 -1 ) + . + ( 1 - 1 )1 + 2 1+ 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + . + 9 1 + 2 + . + 10= 1 + (1 -= 1 54551 )1 + 2 + . + 106、计算： 3 + 11 + 23 + 39 + + 759 + 839 。2 6 12 20 380 4201 1 1 1 1【分析】 原 式 = (2 -) + (2 -) + (2 -) + . + (2 -) + (2 - )1 2 2 3 3 4 19 20 20 21= 2 20 - ( 1+ 1 +1 + . 1 + 1 )= 40 -1 2 1 2 3 4 19 20

15、20 21-)1 1 (1 21= 40 - 2021= 39 1217、计算： 2 3 + 5 6 + 8 9 + + 98 99 。1 4 4 7 7 10 97 100【分析】= (1 +2 ) + (1+2 ) + (1 +2 ) + . + (1+ 2 )1 4 4 7 7 10 97 100= 32 + 2 ( 1 + 1 +1 + . + 1 )1 4 4 7 7 10 97 100= 32 + 2 1 (1 - 1 )= 32 33503 1008、计算： 1 + 1 + 1 + 1 + + 1 。2 2 + 4 2 + 4 + 6 2 + 4 + 6 + 8 2 + 4 +

16、6 + 20【分析】.1 1 1 1原 式 = + + + . +1 2 2 3 3 4 10 11= 1 - 111= 10119、计算： 1 + 1 + 1+ + 1 。【分析】1 2 3 2 3 4 3 4 5 48 49 50= 1 ( 1 -1 ) + ( 1- 1 ) + ( 1- 1 ) + . + ( 1- 1 )2 1 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4 5 48 49 49 50= + ( - ) + ( -1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) + . + ( - ) - 2 1 2 2 3 2 3 3 4 3 4 48 49 48 49 49 50= 1 ( 1 -

17、 1 )2 1 2 49 50= 306122510、计算： 4 + 5 + 6 + + 11 。1 2 3 2 3 4 3 4 5 8 9 101 + 3 1 + 4 1+ 5 1 +10【分析】 原 式 = + + + . +1 2 3 2 3 4 3 4 5 8 9 10= ( 1+ 1 ) + ( 1+ 1 ) + ( 1+ 1 ) + . + ( 1+ 1 )1 2 3 1 2 2 3 4 2 3 3 4 5 3 4 8 9 10 8 9= ( 1 + 1+ 1 + .+1 ) + ( 1 + 1+ 1 + . + 1 )1 2 3 2 3 4 3 4 5 8 9 10 1 2 2

18、3 3 4 8 9= 1 ( 1 -1 ) + (1 - 1 )2 1 2 9 10 9= 11 + 845 9= 171511、计算： - =1 1 - =1 1- = 1 。1 2 2 2 2 3 99 【分析】 原 式 = 1 3 2 4 3 5 . 98 1002 2 3 3 4 4 99 99= 1 2 3 3 4 4 . 98 98 99 1002 2 3 3 4 4 . 98 98 99 99= 1002 99= 509912、计算： + = 1 1+ = 1 1+ = 1 1+ = 1 。1 1 3 2 4 3 5 2007 2009 【分析】 原 式 = 2 2 3 3 4

19、4 . 2008 20081 3 2 4 3 5 2007 2009= 2 2 3 3 4 4 . 2007 2007 2008 20081 2 3 3 4 4 . 2007 2007 2008 2009= 2 20082009= 1 20072009超越篇12 + 221、计算：22 + 32+ +182+ 192192+ 202。1 2 2 3 18 19 19 20n 2 + ( n + 1) 2 n2 + ( n + 1) 2 - 2n( n +1) + 2n( n + 1) ( n +1 - n) 21 1 1【分析】= = 2 + = 2 + = 2 + ( - )n (n + 1

20、)原 式 = 2 19 + (n (n + 1)1 + 1 + . + 1 )n (n + 1)n (n + 1)n n +1= 38 + (1 - 1 )20191 2 2 3 19 20= 38202 2 2 22、计算： 2+ 1 4+ 1 18+ + 1 20 + 1+22 -1 42 - 1 。182 - 1 202 -12 2 2【分析】 原 式 = (1 +) + (1 +) + . + (1+ )= 10 + (1 - 1 )21201 3 3 5 19 21= 10212 4 16 183、已知算式 (1+) (2+) (8 +) (9 +) 的结果是一个整数，那么它的末两位

21、数字式多少？3 5 17 19【分析】第 n 个数的分子是n (2n + 1) + 2n = n (2n + 3) ，是第 n+1 个数分母的 n 被，因此，原 式 = 1 1 2 3 . 8 (9 19 +18)3= 63 8!= 2540160末两位是 604、计算： 3 + 5 + 7 + + 37 。1 2 3 2 3 4 3 4 5 18 19 20【分析】 原 式 =1+ 2 +2 + 3 +3 + 4+ . +18 + 191 2 3 2 3 4 3 4 5 18 19 20= ( 1+ 1 ) + ( 1+ 1 ) + ( 1+ 1 ) + . + ( 1+ 1 )2 3 1

22、3 3 4 2 4 4 5 3 5 19 20 18 20= ( 1+ 1 +1 + . +1 ) + ( 1 +1 + . +1 ) + ( 1 + 1+ . + 1 )2 3 3 4 4 5 19 20 1 3 3 5 17 19 2 4 4 6 18 20= (1 -1 ) + 1 (1- 1 ) + 1 (1 - 1 )2 20 2 19 2 2 20= 9 + 9 + 920 19 40= 8737605、计算：1 2 3 99+ + + +（最后结果可以用阶乘表示）。2! 3! 4!100!【分析】 n = 1 - 1 (n +1)!n ! (n + 1)!原 式 = (1 - 1

23、 ) + ( 1 - 1 ) + . + ( 1 - 1 )= 1 -1100!2! 2! 3! 99! 100!6、已知 A = 1 , B =1 + 1 + 1+ +1 ，请比较 A 和 B 的大小。【分析】8 8292 102642B 1 +1 + 1+ . + 1 + 17 9 8 10 911 62 64 63 65= 1 (1 -1 + 1 - 1 )2 7 65 8 64= 1 ( 1 +1 - 1 + 1 - 1 )2 8 7 8 65 8 64= 1 + 1 ( 1 -1 - 1 )8 2 56 65 64 1 = A87、计算： 3! 1 + 4! 2 + 5! 3 + + 102!100 （结果可以用阶乘和乘方表示）。3 3 3 31000【分析】(n + 2)! n= (n + 2)! (n + 3) - (n + 2)! 3 = (n + 3)! - (n + 2)!3n 3n3n 3n3n-1原式 = ( (1+ 3)! - (1 + 2)!+ ( (2 + 3)! - (2 +