中考数学奇兵篇之特殊值法.docx

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中考数学奇兵篇之特殊值法

古语有云：

上将伐谋。

数学学习也是如此最重要的是方法而不是单纯的做题，从做题中总结方法才会收到实效。

中考在即给各位考生奉上我的倾情巨作：

数学特殊值法。

什么是特殊值法？

特殊值法我给大家总结一句话：

一般成立特殊一定成立，特殊不成立一般一定不成立。

我给大家举个例子：

这道题非常简单大家看一下：

已知x+y=2，求2x+2y=？

解法也很简单2（x+y），将x+y=2代入得4.

但是我有个学生他不会做，还来问我说这道题他们老师告诉他用的是整体代入法，他不理解。

我当时很奇怪这种题出现几率很高，我问他平时怎么做的，他说他都是蒙的，他是令x=1，y=1，带进去

结果恰好也是4，我问他是不是每次都蒙，他说基本都是，有时蒙的对，有时蒙错了。

我以这道题为例给大家说下特殊值法：

首先这道题的题目我给大家用汉语翻译一下，对任意的x+y等于2，求2x+2y等于几。

这道题既然出来了他一定有解，而且解是唯一的，根绝我们的特殊值法法则，这里的x+y=2是对任意x+y=2

都成立的，那么我们来个特殊的x=1，y=1，带进去结果等于4，这个结果一定是答案，如果不是答案，就意味着特殊不成立，那么一般也就不成立了此题也就出错了。

我们再来一道题试试，这道题是内蒙呼和浩特2014中考第7题也不难，有些同学肯定也不会。

a，b，c在数轴上对应的点如下图所示，则下列式子中正确的是

A．ac>bcB．|a–b|=a–b

C．–a<–b–b–c

这道题拿到手很简单，就是数轴结合，数的性质进行判断，还有去绝对值符号的练习。

这道题常规解法我们不讲了，我们试试特殊值法，令a=-3，b=-1，c=2（这道题不太清楚，出的不好，a和c距离原点的距离不太明显），我们来判断Aac=-6，bc=-2很显然A错了，再来看B|a-b|=2，a-b=-2，很显然B错了

再来看C-a=3，-b=1很显然C也错了，直接选D，我们也来看下D-a-c=1-b-c=-1肯定选D了。

这种题选对方法用不了多少秒

但是数学是考察基础能力的学科基础越强方法也越多，这种方法看似简单，但是也需要真正的理解和练习，基础差的同学也很难熟练运用，就刚才那道题，特殊值的选取一定要正确，比如你令a=-3.8，b=-1这样就不好了尽量选择好算的数，选整数。

或者令a=-1，b=-2，这样就是错误的题目明显a＜b＜0，首先特殊值选取还要符合题意，另外特殊值法不是每道题都可以用的，要具体问题具体分析。

看了这些例子大家肯定觉得不过瘾尤其是对于学习好的同学，会觉得特殊值法都是简单题，接下来给你们看难题。

已知二次函数y=（x-1）²-t²（t≠0），方程（x-1）²-t²-1=0的两跟分别为m、n（m＜n），

方程（x-1）²-t²-2=0的两跟分别为p、q（p＜q），判断mnpq的大小关系？

（用＜号连接）

大家看下这道题，这道题也是群里一位同学问的我，这道题是填空题最后一题，也是填空题压轴题自然有些难度，我来用下正规解法

这道题得用数形结合，首先画出函数y是一个抛物线，对称轴为直线x=1，与y轴交点为（0，-t²），开口向上，我们画出大致曲线。

题目里说方程（x-1）²-t²-1=0，我们把这个方程变形方程（x-1）²-t²=1，其实这个方程的解就是

函数y=方程（x-1）²-t²与直线y=1的两个交点的横坐标，两个根为m、n（m＜n）。

同理题目里说方程（x-1）²-t²-2=0，我们把这个方程变形方程（x-1）²-t²=2，其实这个方程的解就是

函数y=方程（x-1）²-t²与直线y=2的两个交点的横坐标，两个根为p、q（p＜q）。

我在图里画一下

这道题我们不难判断了p＜m＜n＜q，这道题是典型的数形结合题，考察了同学对函数的理解和数形结合能力，但是这道题的难度在初中生里肯定算较难的许多同学会想不到这里。

我接下来给出特殊值法来解这道题大家看看

我在把题目发一遍

已知二次函数y=（x-1）²-t²（t≠0），方程（x-1）²-t²-1=0的两跟分别为m、n（m＜n），

方程（x-1）²-t²-2=0的两跟分别为p、q（p＜q），判断mnpq的大小关系？

（用＜号连接）

根据题目要求只需满足t≠0，那么就是说对于任意的t都该满足这个结果，无论我们对t取什么值结果肯定一样，否则这道题就出错了，好我们来试试t=1

带进去y=（x-1）²-1，化简y=x²-2x，（x-1）²-t²-1=0变为x²-2x-1=0，m=1-

，n=1+

同理方程（x-1）²-t²-2=0为方程x²-2x-2=0p=1-

q=1+

那么得出p＜m＜n＜q

相比较第二种方法如果有特殊值思想即使函数学的不是那么好也能做出来，当然这种特殊值的取值也要求同学的数学功底深厚，在平时经常练习才可能在考试时想得到。

已知函数y=

的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c＋1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax²＋bx＋c=0的两根x1，x2判断正确的是

A．x1＋x2>1，x1·x2>0B．x1＋x2<0，x1·x2>0

C．00D．x1＋x2与x1·x2的符号都不确定

同学们再来看下这道题，这道题是2014内蒙中考题选择题最后一题也就是选择题的压轴题，难度可见一斑。

这道题那天我说过她是一道错题。

我来讲一下下面

首先这道题可以说是一道超纲题，这个函数是绝对值函数，而且是个偶函数，我们在初中绝对没有见过这个函数的图形。

题目说A在第一象限，那么a、c均大于0，而且带入函数有ac=1，又有B在该曲线另外一支图像上那么带入函数方程有|b|（c+1）=1，因为如果b＞0的话B点也在第一象限的图像上了所以b应该＜0∴b（c+1）=-1

根据根与系数关系有X1+X2=-

＞0，X1X2=

＞0，然后又∵X1+X2=-

，b=

，a=

带入化简得：

X1+X2=

=

=1-

＜1

∴0＜X1+X2＜1，X1X2＞0

这道题结果就是C

这是标准解法，网上这道题给出的解法我看都不标准。

然后我们尝试特殊值法

已知函数y=

的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c＋1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax²＋bx＋c=0的两根x1，x2判断正确的是

A．x1＋x2>1，x1·x2>0B．x1＋x2<0，x1·x2>0

C．00D．x1＋x2与x1·x2的符号都不确定

根据题意A是任意取得，而且结论对任意的C都该成立，那么我们就可以尝试特殊值法了，我们领a=1呗，

很显然c=1，B点坐标为（-1/2,2）那么我们来判断下吧b=-1/2

X1+X2=-b/a=1/2，X1X2=c/a=1很显然答案也是c

这道题特殊值法非常简单

但是我开始就说了这道题是错题

我再给大家讲一下，你看第二种特殊值法我们把abc带入方程化简看看

2X²-X+2=0

我们发现△＜0方程根本无解，而我们的特殊值法是没有错的应该

我来给大家解释下这个问题我们在第一种解法和第二种解法时我们直接运用了根与系数的关系

而我们知道根与系数关系成立的前提是方程有解也就是△≥0

我们来看一下△=b²-4ac我们根据第一种解法带入b=

，a=

化简得△=（

）²-4≥0我们推出

-3/2≤C≤-1/2同时C＞0那么C不存在

所以这道题是一道错题

我来给大家画一下这道题的图这是高中知识

由此可见在出题上老师们是非常没有节操的，为了增加题目的难度，他们竟然没有验证△，所以说同学们中考时有些题肯定很难做出来，而特殊值法往往会起到出奇兵的效果，出奇制胜一击必杀。