五年级奥数因数倍数进阶.docx

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五年级奥数因数倍数进阶

因数倍数进阶

知识引入

1、因数和倍数

如果自然数a和自然数b的乘积是c，即a×b=c，那么a和b都是c的因数，c是a和b的倍数。

[注：

在研究因数和倍数的时候，小学阶段所涉及的数指的是自然数（一般不包括0）]

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。

2、因数和倍数的关系

二者是相互依存的关系，不能单独说某个数是倍数或因数。

3、求一个数的因数和倍数的方法

（1）求一个数的因数的方法：

找一个数的因数时，应从最小的因数找起，一直找到它本身；也可以一对一对地找，如12的因数有：

1、12、2、6、3、4。

一个数的因数的个数是有限的。

（2）求一个数的倍数的方法：

找一个数的倍数，可以用这个数分别去乘自然数1、2、3、4…所得的积就是这个数的倍数。

没有大小限制时，一个数的倍数的个数是无限的。

4、求因数个数与所有因数的和

（1）求任一整数因数的个数

一个整数的因数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数（次数）加1后所得的乘积。

如:

1400严格分解质因数之后为

，所以它的约数有（3+1）×（2+1）×（1+1）=4×3×2=24个。

（包括1和1400本身）

难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个因数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。

（2）求任一整数的所有因数的和

一个整数的所有因数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有因数的和。

如：

，所以21000所有因数的和为

此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，规律性的记忆即可。

5、两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

如果

为

、

的最大公因数，且

，

，那么

互质，所以

、

的最小公倍数为

，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：

①

，两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于这两个数的积，即

②最大公因数是

、

、

、

及最小公倍数的约数．

例题精讲

【例1】（a,b）表示a,b的最大公因数，[a,b]表示a,b的最小公倍数，下面我们通过特例来研究a,b,[a,b],（a,b）这四个数之间的关系：

（1）计算：

[8,12]___________；（8,12）___________；

[8,12]×（8,12）___________；8×12___________。

（2）计算：

[9,15]×（9,15）___________；9×15___________

请你不妨在举几个例子试试，最后你发现a,b,[a,b],（a,b）这四个数之间的等量关系式为________________________。

【巩固】甲乙两数的乘积是120，甲乙两数的最大公因数是2，那么甲乙两数的最小公倍数是多少？

【例2】

（1）两个自然数的和是125，它们的最大公因数是25，试求这两个数的差。

【巩固】已知：

x+y=432,（x,y）=36,求x,y的值。

【例3】270的因数有多少个？

这些因数中奇因数有多少个？

【巩固】360的因数有多少个？

这些因数中偶因数有多少个？

【例4】

（1）恰有8个因数的两位数有________个。

（2）恰有12个因数的数中最小的数是多少？

【巩固】在1-100中，恰好有6个因数的数有多少个？

【例5】一个数的完全平方有39个因数，求该数的因数个数是多少？

【巩固】一个数的完全平方有55个因数，求该数的因数个数是多少？

【例6】设N=1×2×3×4×⋯×29×30，那么N的末尾一共会出现_________个连续的数字“0”．

【巩固】设N=1×2×3×4×⋯×149×150，那么N的末尾一共会出现_________个连续的数字“0”．

【例7】设N=20×21×22×23×⋯×50×51，那么N的末尾一共会出现_________个连续的数字“0”．

【巩固】设N=50×51×52×53×⋯×999×1000，那么N的末尾一共会出现_________个连续的数字“0”．

【例8】有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？

一共可以截成多少段？

【巩固】把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：

能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？

共可裁成几块？

【例9】加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？

【巩固】有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米．已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人可以首次相聚？

【例10】一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？

【巩固】一次考试，参加的学生中有

得优，

得良，

得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有多少人？

课后作业

【作业1】甲数是36，甲乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？

【作业2】两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，试求这两个数的差。

【作业3】已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。

【作业4】126共有________个因数。

【作业5】在三位数中，恰好有9个因数的数有多少个？

【作业6】一个数的完全平方有19个因数，求该数的因数个数是多少？

【作业7】在1×2×3×4×…×2014的乘积中，末尾有（）个连续的零。

【作业8】设N=50×51×52×53×⋯×999×1000，那么N的末尾一共会出现_________个连续的数字“0”．

【作业9】把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友?

【作业10】教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物（同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等）？

在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？

【作业11】加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成7个零件，第二道工序每个工人每小时可完成3个，第三道工序每个工人每小时可完成9个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？

【作业12】一次考试，参加的学生中有

得优，

得良，

得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满100人，那么得差的学生有多少人？