五年级奥数因数倍数进阶.docx
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五年级奥数因数倍数进阶
因数倍数进阶
知识引入
1、因数和倍数
如果自然数a和自然数b的乘积是c,即a×b=c,那么a和b都是c的因数,c是a和b的倍数。
[注:
在研究因数和倍数的时候,小学阶段所涉及的数指的是自然数(一般不包括0)]
一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身;一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。
2、因数和倍数的关系
二者是相互依存的关系,不能单独说某个数是倍数或因数。
3、求一个数的因数和倍数的方法
(1)求一个数的因数的方法:
找一个数的因数时,应从最小的因数找起,一直找到它本身;也可以一对一对地找,如12的因数有:
1、12、2、6、3、4。
一个数的因数的个数是有限的。
(2)求一个数的倍数的方法:
找一个数的倍数,可以用这个数分别去乘自然数1、2、3、4…所得的积就是这个数的倍数。
没有大小限制时,一个数的倍数的个数是无限的。
4、求因数个数与所有因数的和
(1)求任一整数因数的个数
一个整数的因数的个数是在对其严格分解质因数后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
如:
1400严格分解质因数之后为
,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个。
(包括1和1400本身)
难点在于公式的逆推,有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用,即先告诉一个数有多少个因数,然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来,或者是“构造出可能的最值”。
(2)求任一整数的所有因数的和
一个整数的所有因数的和是在对其严格分解质因数后,将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和,然后再将这些得到的和相乘,乘积便是这个合数的所有因数的和。
如:
,所以21000所有因数的和为
此公式没有第一个公式常用,推导过程相对复杂,需要许多步提取公因式,规律性的记忆即可。
5、两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
如果
为
、
的最大公因数,且
,
,那么
互质,所以
、
的最小公倍数为
,所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系:
①
,两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于这两个数的积,即
②最大公因数是
、
、
、
及最小公倍数的约数.
例题精讲
【例1】(a,b)表示a,b的最大公因数,[a,b]表示a,b的最小公倍数,下面我们通过特例来研究a,b,[a,b],(a,b)这四个数之间的关系:
(1)计算:
[8,12]___________;(8,12)___________;
[8,12]×(8,12)___________;8×12___________。
(2)计算:
[9,15]×(9,15)___________;9×15___________
请你不妨在举几个例子试试,最后你发现a,b,[a,b],(a,b)这四个数之间的等量关系式为________________________。
【巩固】甲乙两数的乘积是120,甲乙两数的最大公因数是2,那么甲乙两数的最小公倍数是多少?
【例2】
(1)两个自然数的和是125,它们的最大公因数是25,试求这两个数的差。
【巩固】已知:
x+y=432,(x,y)=36,求x,y的值。
【例3】270的因数有多少个?
这些因数中奇因数有多少个?
【巩固】360的因数有多少个?
这些因数中偶因数有多少个?
【例4】
(1)恰有8个因数的两位数有________个。
(2)恰有12个因数的数中最小的数是多少?
【巩固】在1-100中,恰好有6个因数的数有多少个?
【例5】一个数的完全平方有39个因数,求该数的因数个数是多少?
【巩固】一个数的完全平方有55个因数,求该数的因数个数是多少?
【例6】设N=1×2×3×4×⋯×29×30,那么N的末尾一共会出现_________个连续的数字“0”.
【巩固】设N=1×2×3×4×⋯×149×150,那么N的末尾一共会出现_________个连续的数字“0”.
【例7】设N=20×21×22×23×⋯×50×51,那么N的末尾一共会出现_________个连续的数字“0”.
【巩固】设N=50×51×52×53×⋯×999×1000,那么N的末尾一共会出现_________个连续的数字“0”.
【例8】有三根铁丝,长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段,每根都不能有剩余,每小段最长多少厘米?
一共可以截成多少段?
【巩固】把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块,而没有剩余,问:
能裁成最大的正方形纸块的边长是多少?
共可裁成几块?
【例9】加工某种机器零件,要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件,第二道工序每个工人每小时可完成10个,第三道工序每个工人每小时可完成5个,要使加工生产均衡,三道工序至少各分配几个工人?
【巩固】有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行,甲每分钟走80米,乙每分钟走120米,丙每分钟走70米.已知操场跑道周长为400米,如果三个人同时同向从同一地点出发,问几分钟后,三个人可以首次相聚?
【例10】一次会餐供有三种饮料.餐后统计,三种饮料共用了65瓶;平均每2个人饮用一瓶A饮料,每3人饮用一瓶B饮料,每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人?
【巩固】一次考试,参加的学生中有
得优,
得良,
得中,其余的得差,已知参加考试的学生不满50人,那么得差的学生有多少人?
课后作业
【作业1】甲数是36,甲乙两数的最大公因数是4,最小公倍数是288,那么乙数是多少?
【作业2】两个自然数的和是50,它们的最大公因数是5,试求这两个数的差。
【作业3】已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数。
【作业4】126共有________个因数。
【作业5】在三位数中,恰好有9个因数的数有多少个?
【作业6】一个数的完全平方有19个因数,求该数的因数个数是多少?
【作业7】在1×2×3×4×…×2014的乘积中,末尾有()个连续的零。
【作业8】设N=50×51×52×53×⋯×999×1000,那么N的末尾一共会出现_________个连续的数字“0”.
【作业9】把20个梨和25个苹果平均分给小朋友,分完后梨剩下2个,而苹果还缺2个,一共最多有多少个小朋友?
【作业10】教师节那天,某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨,用来慰问退休的教职工,问用这些果品,最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)?
在每份礼物中,苹果、桔子、鸭梨各多少个?
【作业11】加工某种机器零件,要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成7个零件,第二道工序每个工人每小时可完成3个,第三道工序每个工人每小时可完成9个,要使加工生产均衡,三道工序至少各分配几个工人?
【作业12】一次考试,参加的学生中有
得优,
得良,
得中,其余的得差,已知参加考试的学生不满100人,那么得差的学生有多少人?