椭圆重点.docx
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椭圆重点
椭圆（重点）
适用学科
高中数学
适用年级
高中三年级
适用区域
全国新课标
课时时长（分钟）
60
知识点
1.椭圆的定义2.椭圆的图像和性质
3.椭圆的应用
教学目标
1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．
2．了解椭圆的简单应用．理解数形结合的思想.
教学重点
椭圆的定义与标准方程；椭圆的几何性质的应用
教学难点
椭圆的综合问题的处理及运算能力的要求。
教学过程
一.课程导入：
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
（学生动手，观察结果）
思考：
移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
经过观察后思考：
在移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离之和等于常数.
二、复习预习
根据圆的定义我们得到圆的图形和方程,那么我们是否可以利用椭圆的定义画出椭圆的图像和方程,通过我们我们了解的图像和方程,我们就要研究它的性质,这也是我们这节课的重点
三、知识讲解
考点1、椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
考点2、椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋
＝1（a>b>0）
＋
＝1
（a>b>0）
图 形
性质
范 围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：
坐标轴；对称中心：
原点
顶点
A1（－a,0），A2（a,0）
B1（0，－b），B2（0，b）
A1（0，－a），A2（0，a）
B1（－b,0），B2（b,0）
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝
∈（0,1）
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
四、例题精析
考点一椭圆的标准方程
【例题1】
【题干】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为
，则椭圆方程为（ ）
A.
＋
＝1B.
＋
＝1C.
＋
＝1D.
＋
＝1
【答案】D
【解析】 2a＝12，∴a＝6，∵e＝
＝
，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选D.
考点二椭圆的定义
【例题2】
【题干】已知圆（x＋2）2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N（2,0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】B
【解析】点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，
∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．
考点三椭圆的离心率
【例题3】
【题干】正数a、b的等差中项是
，等比中项是
，且a>b，则椭圆
＋
＝1的离心率e等于
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】 由题意可知
又因为a>b，
所以解得
所以椭圆的半焦距为c＝
，
所以椭圆的离心率e＝
＝
，故选C.
考点四椭圆中的最值问题
【例题4】
【题干】直线l：
x－y＝0与椭圆
＋y2＝1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为________．
【答案】
【解析】设与l平行的直线方程为x－y＋a＝0，当此直线与椭圆的切点为C时，△ABC的面积最大，将y＝x＋a代入
＋y2＝1中整理得，3x2＋4ax＋2（a2－1）＝0，由Δ＝16a2－24（a2－1）＝0得，a＝±
，两平行直线x－y＝0与x－y＋
＝0的距离d＝
，将y＝x代入
＋y2＝1中得，x1＝－
，x2＝
，
∴|AB|＝
|
－（－
）|＝
，
∴S△ABC＝
|AB|·d＝
×
×
＝
.
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