椭圆重点.docx
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椭圆重点
椭圆(重点)
适用学科
高中数学
适用年级
高中三年级
适用区域
全国新课标
课时时长(分钟)
60
知识点
1.椭圆的定义2.椭圆的图像和性质
3.椭圆的应用
教学目标
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
2.了解椭圆的简单应用.理解数形结合的思想.
教学重点
椭圆的定义与标准方程;椭圆的几何性质的应用
教学难点
椭圆的综合问题的处理及运算能力的要求。
教学过程
一.课程导入:
取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一个点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两个点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?
(学生动手,观察结果)
思考:
移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?
经过观察后思考:
在移动笔尖的过程中,细绳的长度保持不变,即笔尖到两个定点的距离之和等于常数.
二、复习预习
根据圆的定义我们得到圆的图形和方程,那么我们是否可以利用椭圆的定义画出椭圆的图像和方程,通过我们我们了解的图像和方程,我们就要研究它的性质,这也是我们这节课的重点
三、知识讲解
考点1、椭圆的定义
在平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
考点2、椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
+
=1(a>b>0)
+
=1
(a>b>0)
图 形
性质
范 围
-a≤x≤a
-b≤y≤b
-b≤x≤b
-a≤y≤a
对称性
对称轴:
坐标轴;对称中心:
原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a)
B1(-b,0),B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|=2c
离心率
e=
∈(0,1)
a,b,c
的关系
c2=a2-b2
四、例题精析
考点一椭圆的标准方程
【例题1】
【题干】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,且长轴长为12,离心率为
,则椭圆方程为( )
A.
+
=1B.
+
=1C.
+
=1D.
+
=1
【答案】D
【解析】 2a=12,∴a=6,∵e=
=
,∴c=2,∴b2=a2-c2=32,故选D.
考点二椭圆的定义
【例题2】
【题干】已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是( )
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
【答案】B
【解析】点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又AM是圆的半径,
∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆.
考点三椭圆的离心率
【例题3】
【题干】正数a、b的等差中项是
,等比中项是
,且a>b,则椭圆
+
=1的离心率e等于
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】 由题意可知
又因为a>b,
所以解得
所以椭圆的半焦距为c=
,
所以椭圆的离心率e=
=
,故选C.
考点四椭圆中的最值问题
【例题4】
【题干】直线l:
x-y=0与椭圆
+y2=1相交A、B两点,点C是椭圆上的动点,则△ABC面积的最大值为________.
【答案】
【解析】设与l平行的直线方程为x-y+a=0,当此直线与椭圆的切点为C时,△ABC的面积最大,将y=x+a代入
+y2=1中整理得,3x2+4ax+2(a2-1)=0,由Δ=16a2-24(a2-1)=0得,a=±
,两平行直线x-y=0与x-y+
=0的距离d=
,将y=x代入
+y2=1中得,x1=-
,x2=
,
∴|AB|=
|
-(-
)|=
,
∴S△ABC=
|AB|·d=
×
×
=
.
课后评价