113直角三角形的全等判定.docx
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113直角三角形的全等判定
课题
直角三角形的全等判定
教学目标
教学重点
教学难点
学生姓名
年级
八年级
日期
第一部分：
知识点回顾
1．斜边、直角边公理（HL公理）：
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
如图，在
与
中
≌
（HL）
2．直角三角形是三角形中的一类，它具有一般三角形的一切性质，所以也可以用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”来判定。
3．依据条件选择恰当的方法：
①当有一条直角边和余边对应相等时，用HL判定其全等；
②当有两条直角边对应相等时，选用SAS判定其全等；
③当有斜边和一锐角对应相等时，用AAS判定其全等；
④当有一直角边和一锐角对应相等时，用“ASA”或“AAS”判定它们全等
第二部分：
自我评测
知识点
掌握情况
备注
非常好
一般
有待提高
SSS
SAS
AAS
ASA
HL
第三部分：
例题剖析
例1：
已知：
如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE
求证：
OB=OC.
分析：
欲证OB=OC可证明∠1=∠2，由已知发现，∠1，∠2均在直角三角形中，因此证明△BCE与△CBD全等即可
证明：
∵CE⊥AB，BD⊥AC，则∠BEC=∠CDB=90°
∴在Rt△BCE与Rt△CBD中
∴Rt△BCE≌Rt△CBD（HL）
∴∠1=∠2，
∴OB=OC
例2、如图所示，已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：
CF=DF.
分析：
要证CF=DF，可连接AC、AD后，证△ACF≌△ADF即可.
证明：
连结AC、AD.
在△ABC和△AED中，
∴AC＝AD（全等三角形的对应边相等）.
∵AF⊥CD（已知），
∴∠AFC=∠AFD=90°（垂直定义）.
在Rt△ACF和Rt△ADF中，
∴Rt△ACF≌Rt△ADF（HL）.
∴CF=DF（全等三角形的对应边相等）.
第四部分：
典型例题
例1、已知：
如图∠B=∠E=90°AC=DFFB=EC，则AB=DE.请说明理由。
【变式练习】
1.如图所示，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE=________.
例2、已知：
如图5－5，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．
求证：
ED⊥AC．
【变式练习】
如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF=AC，FD=CD．
求证：
BE⊥AC．
例3、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？
说说你的理由.
【变式练习】
1.已知：
如图，线段AC、BD交于O，∠AOB为钝角，AB＝CD，BF⊥AC于F，DE⊥AC于E，
AE＝CF．求证：
BO＝DO．
2.已知：
如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：
AD＝BC；
例4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
求证：
DE=AD+BE．
【变式练习】
1.已知：
BA⊥DC,FD⊥DC,∠ACF=90°,AB=CD求证：
BD+DF=AB
2.如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．
第五部分：
思维误区
例1 如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F．求证：
BE=CF．
错证一：
看到直角三角形就用HL
认为DE=DF，并以此为条件，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
因为DE=DF，BD=CD，
所以Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．
所以BE=CF（全等三角形的对应边相等）．
错证二：
创造条件，没有经过推理，而直接作为条件应用。
认为AD⊥BC，并以此为条件，通过证明△ABD≌△ACD，得AB=AC．再由Rt△AED≌Rt△AFD，得AE=AF，从而得到：
BE=CF．
错证分析：
错证一中认为DE=DF，并直接作为条件应用，因而产生错误；
错证二中，认为AD⊥BC，没有经过推理，而直接作为条件应用，因而也产生错误．产生上述错误的原因是审题不清，没有根据题设，结合图形找证题方法，推论过程不符合全等的判定方法．
正确证法：
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD（AAS）．
∴DE=DF（全等三角形的对应边相等）．
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．
第六部分：
方法规律
一.注意“HL”使用前提是在直角三角形中
因为“HL”是用来判定两个直角三角形全等的定理，所以当涉及到“高、垂直、距离和直角三角形”等问题时,要学会观察有没有直角三角形全等.
二.注意证明过程的规范写法
在用“HL”证两个直角三角形全等时,有两个步骤要注意:
①在罗列三角形全等的条件之前,要先证这两个三角形是直角三角形；
②在表示两个直角三角形全等时注意不要掉了“Rt”.
三.注意“HL”规律的延伸
“HL”是用来证明两个直角三角形全等的规律的,如果去掉“直角三角形”中的“直角”二字,即有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形是否全等呢?
同学们可画图验证一下，答案是不一定全等.如果要让这个命题成为真命题，除了这两个三角形都是直角三角形外，当这两个三角形都是锐角三角形或都是钝角三角形时,也是全等的,但是,不具体将这两个三角形归类的话,例如一个是锐角三角形,一个是钝角三角形,就不全等了.
由此可知，对于“HL”的应用，一定要注意定理使用的严密性和规范性，以保证使用定理的科学性.
第七部分：
巩固练习
一．选择题
1.下列条件中，不能判断两个直角三角形全等的是（ ）
A.两直角对应相等 B.两锐对应相等
C.一锐角、一条直角边对应相等 D.斜边、一条直角边对应相等
2.下列各类直角三角形，①等腰直角三角形 ②短直角边所对角是30° ③两直角边不相等 ④短直角边对角为另一锐角的
.其中，短直角边相等，则它们能全等的是（ ）
A.①②③ B.②③④ D.①②④ D.①③④
3．点C在∠DAB的内部，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，CD=CB那么Rt△ADC≌Rt△ABC的理由是（）.
A．SSS
B.ASA
C.SAS
D.HL
4．如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AC∥DB，且AC=BD，那么Rt△AEC≌Rt△BFC的理由是（）.
A．SSS
B.AAS
C.SAS
D.HL
5.AB＝AC，AD⊥BC于D，E、F为AD上的点，则图中共有（）对全等三角形．
A．3B．4C．5D．6
二．填空题
1.过等腰△ABC的顶点A作底边的垂线，就得到两个全等三角形，其理由是.
2.如图，∠B=∠D=
，要证明△ABC与△ADC全等，还需要补充的条件是.
3.公路上A、B两站（视为直线上的两点）相距26km，C、D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=16km，BC=10km，现要在公路AB上建一个土特产收购站E，使CD两村庄到E站的距离相等，那么E站应建在距A站km才合理。
4．如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为cm．
5.如图，∠C=∠D=90°，请你再添加一个条件，使△ABD≌△BAC，并在添加的条件后的括号内写出判定全等的依据．
（1）（）；
（2）（）；
（3）（）；
（4）（）
三．证明解答题
1.如图，已知ED⊥AB，EF⊥BC，BD=EF，问BM=ME吗？
说明理由。
2.求证：
有两边及第三边上的高对应相等的两锐角三角形全等
3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，
如果CE=3，BD=7，请你求出DE的长度。
B组
一．选择题
1.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，若CD⊥AB，DE⊥BC垂足分别是D、E．则图中全等的三角形共有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
2.在如图中，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（ ）
A．△ABE≌△ACF
B．点D在∠BAC的平分线上
C．△BDF≌△CDE
D．点D是BE的中点
3.如下图，要用“HL”判断Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是（ ）
A．AC=DF，BC=EF
B．∠A=∠D，AB=DE
C．AC=DF，AB=DE
D．∠B=∠E，BC=EF
4.如图所示，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB于R点，作PS⊥AC于S点，若AQ=PQ，PR=PS，下面三个结论：
①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，正确的是（ ）
A．①和③B．②和③C．①和②D．①，②和③
5.有两个直角三角形，下列条件不能判断它们全等的是（ ）
A．一锐角和一直角边对应相等
B．一锐角和斜边对应相等
C．一边相等，且这边上的高也对应相等
D．斜边和一直角边对应相等
二．填空题
1.如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B=∠E=90°，AC=DF，AB=DE，∠A=50°，则∠DFE=
．
2.用三角尺可按下面方法画角平分线：
在已知∠AOB两边上分别取OM=ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，两垂线交于点P，画射线OP，则OP平分ÐAOB．作图过程用到了△OPM≌△OPN，那么△OPM≌△OPN所用的判定定理是
三．解答题
1.已知如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F
求证：
CE=DF.
2.已知：
如图所示，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD.
（1）求证：
BE⊥AC；
（2）若把条件BF=AC和结论BE⊥AC互换，那么这个命题成立吗？
.
3.如图，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度，欢欢在D处立上一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE的长度，使得CE=AD，此时他测得DE=2米，于是他认定DB的高度也为2米，你觉得对吗?
请说明理由。
4.如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F，
求证：
DE=BF
5.在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。
（1）当直线MN绕点C旋转到图9的位置时，△ADC≌△CEB，且DE=AD+BE。
你能说出其中的道理吗？
（2）当直线MN绕点C旋转到图10的位置时，DE=AD-BE。
说说你的理由。
（3）当直线MN绕点C旋转到图11的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？
请写出这个等量关系。
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