九年级数学图形的相似考试题.docx
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九年级数学图形的相似考试题
达标训练
基础•巩固
1.在比例尺为1∶40000的工程示意图上,于年9月1日正式通车的南京地铁一号线(奥体中心至迈皋桥段)的长度约为54.3cm,它的实际长度约为()
A.0.2172kmB.2.172kmC.21.72kmD.217.2km
思路解析:
可设这两地的实际距离为xcm(要注意统一单位),根据比例尺=
得54.3∶x=1∶40000,解得:
x=2172000(cm)=21.75(km).
答案:
C
2如
图27.3-4,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BC=12,则
DE与BC的比是()
图27.1-4
A.1∶4B.1∶3C.1∶2D.2∶3
思路解析:
DE是△ABC的中位线,
三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
答案:
C
3.
(1)若
,则
=__________;
(2)若
则k=__________.
思路解析:
连等式时,可用比例系数(即公比)的办法解决.
(1)由
,得到a=0.5b,c=0.5d,e=0.5f,代入
中解得;
(2)用“若
=k(b+d+…+n≠0),则
”,但要注意只有当
x+y+z≠0时才成立.
本题中,还需考虑x+y+z=0的情况,此时x=-(y+z),y=-(z+x),z=-(x+y),所以k=-1.
答案:
(1)0.5,
(2)
或-1
4.如图27.1-5,在同一时刻,小明测得他的影长为1米,距他不远
处的一棵槟榔树的影长为5米,已知小明的身高为1.5米,则这棵槟榔树的高是__________米.
图27.1-5
思路解析:
相同时刻的物高与影长成比例,设树高为x米,则1.5∶1=x∶5,解得x=7.5
答案:
7.5
5.图27.1-6中,两组图形是否是相似图形?
图27.1-6
思路解析:
比较两个图形的形状,第一对图形的形状不同,不相似;第二对图形都是三角
形,但角的大小不同,形状不同,不
相似.
答案:
两组图形都不相似
6.如图27.1-7,试一试,把下列左边的图形放大到右边的格点图中.
图27.1-7
思路解析:
在格点中作相似形时,找能够反映图形特征的点,作出这些被放大或缩小后
的位置,再由这些点构造新图形.
答案:
(不唯一)
7.如图27.1-
8,已知图中的两个梯形相似,求出未知边x、y、z的长度和∠α、∠β的度数.
图27.1-8
思路解析:
依据多边形相似的特征:
对应边成比例,对应角相等,即可求出x、y、z的比例式,并得到∠D=∠D′=α、∠C=∠C′=110°,再由梯形的定义和平行的性质即可求出α和β.
解:
因为两个梯形相似,它们的对应边成比例,对应角相等.
所以
且∠D=∠D
′=α,∠C=∠C′=110°.
解得:
x=3y=6z=3.
因为梯形ABCD中,AB∥CD,
所以α=180°-62°=118°,β=180°-110°=70°.
综合•应用
8.矩形相框如图27.1-9所示,图中两个矩形是否相似?
图27.1-9
思路解析:
矩形的四个角都是直角,所以这两个矩形的角都能对应相等;能不能相似关键就看边是否能对应成比例了,不能只凭直觉了.
解:
由图可知:
大矩形的四条边长分别是14、8、14、8;
而小矩形的长为:
14-2-2=10,宽为:
8-2-2=4,四条边分别是10,4,10,4.
∵14∶10≠8∶4,
∴这两个矩形不相似.
9.判断下列各组线段是否成比例?
(1)3cm;5cm;7cm;4cm;
(2)12mm;5cm;15mm;4cm;
(3)1cm;5mm;10mm;2cm.
思路解析:
要解决此类问题,应先统一单位(当四条线段的长度单位不相同时),把它们
按从小到大(或从大到小)的顺序进行排列,然后依次计算第一条与第二条、第三条与第四条线段的比,看这两个比值是否相等;有时计算乘积要方便些,如果第一、四两个数的积等于第二三两个数的积,则四条线段成比例,否则不成比例.
解:
(1)四条线段按从小大的顺序排列为3,4,5,7.
∵3×7≠4×5,即3∶4≠5∶7,
∴3cm,4cm,5cm,7cm这四条线段不成比例
(2)5cm=50mm,4cm=40mm,四条线段按从小大的顺序排列为12,15,40,50.
∵12×50=15×40,即12∶15=40∶50,
∴12mm,5cm,15mm,4cm这四条线段成比例.
(3)1cm=10mm,2cm=20mm,四条线
段按从小大的顺序排列为5,10,10,20.
∵5×20=10×10,即5∶10=10∶20,
∴5
mm,1cm,10mm,2cm这四条线段成比例.
10.试将一个正方形纸片(如图27.1-10)分割为8个相似的小正方形.
图
27.1-10
答案:
11.在如图27.1-11所示的相似四边形中,α比β大15°,求未知边x、y的长度和角度α、β的大小.
图27.1-11
思路解析:
依据多边形相似的特征:
对应边成比例,对应角相等,即可求出x、y、α和β
解:
因为两个四边形相似,它们的对应边成比例,对应角相等,
所以12∶6=8∶y=x∶3.解得y=4,x=6.
由α+β+115°=360°,α=β+15°,
得α=100°,β=85°.
回顾•展望
12.(浙江杭州模拟)我们已经学习了相似三角形,也知道:
如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同,我们就把它们叫做相似图形.比如两个正方形,它们的边长
对角线等所有元素都对应成比例,就可以称它们为相似图形.
现给出下列4对几何图形:
①两个圆;②两个菱形;③两个长方形;④两个正六边形.请指出其中哪几对是相似图形,哪几对不是相似图形,并简单地说明理由.
思路解析:
根据相似形的定义,比较两个图形的对应边的比是否相等,对应角是否相等.
答:
①两个圆是相似形.因为任何圆的形状相同;
②两个菱形不是相似形.因为两个菱形的对角线不对应成比例,两个菱形的形状不同;
③两个长方形不是相似形.因为两个长方形的边、对角线不对应成比例,两个长方形的形
状不同;
④两个正六边形是相似形.因为任何正六边形的形状相等.
13.(福建南平模拟)定义:
若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形,则称这个图形是自相似图形.
探究:
(1)如图甲,已知△ABC中,∠C=90°,你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗?
若能,请在图甲中画出分割线,并说明理由.
(2)一般地,“任意三角形都是自相似图形”,只要顺次连结三角形各边中点,则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.
我们把△DEF(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割,称为1阶分割(如图1);
把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割,称为2阶分割(如图2),…
依次规则操作下去,n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(n为正整数),设此时小三角形的面积为Sn.
①若△DEF的面积为10000,当n为何值时,2(请用计算器进行探索,要求至少写出三次的尝试估算过程)
②当n>1时,请写出一个反映Sn-1,Sn,Sn+1之间关系的等式(不必证明)
图乙图1(1阶)图2(2阶)图3(3阶)
思路解析:
本题是阅读理解题,n阶分割实际是把原三角形分为4n个相同的小三角形,
所以每个小三角形的面积是原三角形的
.
解:
(1)正确画出分割线CD(如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D,CD即是满足要求的分割
线)
理由:
∵∠B=∠B,∠CDB=∠ACB=90°,
∴△BCD∽△ACB.
(2)①△DEF经n阶分割所得的小三角形的个数为
.
∴Sn=
.
当n=5时,S5=
≈9.77;
当n=6时,S6=
≈2.44;
当n=7时,S7=
≈0.61.
∴当n=6时,2<S6<3.
②
=Sn-1×Sn+1.