一阶电路习题及其总结.docx

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一阶电路习题及其总结

方式一阶电路的三要素法

一阶电路是指含有一个储能元件的电路。

一阶电路的瞬态进程是电路变量有初始值按指数规律趋向新的稳态值，趋向新稳态值的速度与时刻常数有关。

其瞬态进程的通式为

f（t）=f（∞）+[f（0+）–f（∞）]

式中：

f（0+）——瞬态变量的初始值；

f（∞）——瞬态变量的稳态值；

——电路的时刻常数。

可见，只要求出f（0+）、f（∞）和就可写出瞬态进程的表达式。

把f（0+）、f（∞）和称为三要素，这种方式称三要素法。

如RC串联电路的电容充电进程，uC（0+）=0，uC（∞）=E，=RC，那么

uC（t）=uC（∞）+[uC（0+）−uC（∞）]

结果与理论推导的完全相同，关键是三要素的计算。

f（0+）由换路定律求得，f（∞）是电容相当于开路，电感相当于短路时求得的新稳态值。

τ=RC或

，R为换路后从储能元件两头看进去的电阻。

三个要素的意义：

（1）稳态值f（∞）：

换路后，电路达到新稳态时的电压或电流值。

当直流电路处于稳态时,电路的处置方式是：

电容开路，电感短路，用求稳态电路的方式求出所求量的新稳态值。

（2）初始值f（0+）：

f（0+）是指任意元件上的电压或电流的初始值。

（3）时刻常数τ：

用来表征暂态进程进行快慢的参数，单位为秒。

它的意义在于，

a.τ越大，暂态进程的速度越慢，τ越小，暂态进程的速度那么越快，

b.理论上，当t为无穷大时，暂态进程终止；实际中，当t=（3～5）τ时，即能够为暂态进程终止。

时刻常数的求法是：

关于RC电路τ=RC，关于RL电路τ=L/R。

那个地址R、L、C都是等效值，其中R是把换路后的电路变成无源电路，从电容（或电感）两头看进去的等效电阻（同戴维宁定理求R0的方式）。

c.同一电路中，各个电压、电流量的τ相同，充、放电的速度是相同的。

电路分析中，外部输入电源通常称为鼓励；在鼓励下，各支路中产生的电压和电流称为响应。

不同的电路换路后，电路的响应是不同的时刻函数。

（1）零输入响应是指无电源鼓励，输入信号为零，仅由初始储能引发的响应，其实质是电容元件放电的进程。

即：

（2）零状态响应是指换路前初始储能为零，仅由外加鼓励引发的响应，其实质是电源给电容元件充电的进程。

即：

（3）全响应是指电源鼓励和初始储能一起作用的结果，其实质是零输入响应和零状态响应的叠加。

零输入响应零状态响应

应用三要素法求出的暂态方程可知足在阶跃鼓励下所有一阶线性电路的响应情形，如从RC电路的暂态分析所得出的电压和电流的充、放电曲线如图2-1，这四种情形都能够用三要素法直接求出和描述，因此三要素法是即简单又准确的方式。

图2-1（a）,（b）,（c）,（d）

RL电路完全能够在明白得RC电路以后，对照RC电路来学习，不同的是时刻常数

，另外还应该注意教材

【例8-3】如图13-14所示的电路中，已知E=6V，R1=10kΩ，R2=20kΩ，C=30μF，开关S闭合前，电容两头电压为零。

求：

S闭合后电容元件上的电压比?

图8-4例8-3图

解：

uC（0+）=uC（0-）=0

uC（∞）=

等效电阻

那么通解为

【例8-4】图13-15所示电路中，已知E=20V，R1=2kΩ，R2=3kΩ，L=4mH。

S闭合前，电路处于稳态，求开关闭合后，电路中的电流。

图8-5例8-4图

解：

（1）确信初始值：

iC（0+）=iL（0–）=4mA

（2）确信稳态值

（3）肯按时刻常数

R=R1=2kΩ

那么通解为

典例题分析

1、如图所示电路中，已知

，

将开关S闭合，求

时的

。

知识点：

零输入响应

解：

已知

，那么

，换路后电路的响应为零输入响应。

从电容两头看进去的等效电阻用外施电源法求解，如图所示。

其中

得

因此

因此

2、如图所示电路中，

，

时开关S闭合，求

时的

。

知识点：

零状态响应

解：

已知

，那么开关S闭合后电路的响应为零状态响应。

第一求电感元件之外部份的戴维南等效电路。

端口开路时电路如图所示。

而

因此

端口短路时电路如图所示。

因此

故

由图可求得

因此

3、

电路如图所示，已知u（0）=10V，求u（t），t≥0。

知识点：

一阶电路全响应

解：

u（0+）=u（0）=10V

求电容两头左侧含源单口网络的戴维南等效电路，如图。

求开路电压uoc：

i1=2A

uoc=4i1+2i1=6×2=12V

外施鼓励电压源u

求等效电阻Ro，如图。

u=（4+4）i1+2i1=10i1

Ro=u/i1=10Ω

原电路等效为图所示。

τ=RoC=10×=

u（∞）=12V

4、电路如图所示，电压源于t=0时开始作用于电路，试用“三要素法”

求i1（t），t≥0。

知识点：

“三要素法”

求一阶电路全响应

解：

（1）求初始值i1（0+）。

uc（0+）=0V

画出0+等效电路图，如图所示。

作电源等效变换，如图所示。

i1（0+）+[i1（0+）+2i1（0+）]=2

解得：

i1（0+）=4/5A

（2）求时刻常数τ。

求电容两头左侧含源单口网络的戴维南等效电路之等效电阻。

如图所示。

外施鼓励电压源u

，如图。

（KVL）m1：

i1+（i1+i）+2i1=0

（KVL）m2：

u=i+（i1+i）+2i1=2i+3i1

解得Ro=u/i=5/4Ω

τ=RoC=1s

（3）求稳态值i1（∞）。

画出∞等效电路图，如图所示。

2i1（∞）+2i1（∞）=2

i1（∞）=1/2A

依据“三要素法”公式得：

5、电路如图所示，求iL（t）（t≥0）,假定开关闭合前电路已处于稳固状态。

知识点：

“三要素法”

求一阶电路全响应

解：

（1）求初始值iL（0+）。

iL（0+）=iL（0-）=10/2=5mA

（2）求时刻常数τ。

Req=+

1A1AuR

图3-3所示电路，t=0时开关闭合，已知uc（0—）=4V，求ic（0+），uR（0+）。

解：

uc（0+）=uc（0—）=4V

t=0+时刻（S闭合）的等效电路：

对节点1由KCL:

I1=I2+ic（0+）

（1）

对回路1由KVL:

2I1+4I2-8=0

（2）

对回路2由KVL:

4ic（0+）+uc（0+）-4I2=0（3）

 将三式联立代入数据得ic（0+）=0.25A,I2=1.25A,uR（0+）=4I2=5V

10.图3-5所示电路t=0时开关S由1扳向2，在t<0时电路已达稳态。

求初始值i（0+）、ic（0+）和uL（0+）。

解：

t=0-（S在1）L视为短路，C视为开路

il（0+）=iL（0-）=Us/（2+4）=24/6=4A

Uc（0+）=Uc（0-）=4il（0-）=16V

T=0+时刻等效电路

对接点①由kcl:

iL（0+）=i（0+）+ic（0+）

（1）

对回路1由kvl:

UL（0+）+4i（0+）+2iL（0+）=0

（2）

对回路2由kvl:

Uc（0+）-4i（0+）=0（3）

由（3）得i（0+）=Uc（0+）/4=16/4=4A

代入

（2）ic（0+）=4-4=0A

由

（2）式UL（0+）=-4×4-2×4=-24V

 11.图3-7所示电路，开关动作前电路已达稳态，t=0时开关S由1扳向2，求t>=0+时的iL（t）和uL（t）。

解：

t=0-时电路处于稳态，电感视为短路

iL（0-）=（8/（8+4））×6=4A

il（0+）=iL（0-）=4A

换路后从电感两头看进去等效电阻：

R=4+8=12Ω

τ=L/R=12=1/60s

iL（∞）=0

电路响应为iL（t）=4e-60tA

Ul（t）=L

=×（-60）×4e-60t=-48e-60tV

12.图示电路，t=0-时电路已达稳态，t=0时开关S打开，求t>=0时的电压uc和电流i。

解：

t=0-电路处于稳态电容视为开路

I1=（3/（3+4+2））×6=2A

Uc（0-）=2I1=2×2=4V

Uc（0+）=Uc（0-）4V

换路后从电容两头看进去等效电阻

R=R3+R4=2+1=3Ω

τ=RC=3×（1/3）=1s

零输入响应Uc（t）=4e-t

i=ic=C

=（1/3）×（-1）×4e-t=-（4/3）4e-t

13如下图电路，t=0时开关闭和，求t>=0时的iL（t）和uL（t）。

解：

iL（0+）=iL（0-）=0

换路并稳固后，电感视为短路iL（∞）=3

从电感两头看进去等效电阻R=6/5Ω

τ=L/R=×5/6=

零状态响应为：

iL（t）=iL（∞）（1-e-4t）=3（1-e-4t）A

uL（t）=L

=×（-3）×（-4）e-4t=V

14求图示电路的阶越响应uc

解：

uc（0+）=uc（0-）=0

加入阶跃函数ε（t）并稳固后，电容视为开路

uc（∞）=（1/2）ε（t）V

从电容两头看进去等效电阻：

R=1+2//2=2Ω

τ=RC=2×1=2s

阶跃响应uc（t）=uc（∞）（1-e-

）=（1-）ε（t）V

15图3-17所示电路，开关闭和前电路已达稳态，求开关闭和后的uL。

解：

用三要素法

开关闭合前稳态，电感视为短路

iL（0-）=100/50=2A

t=0+时刻等效电路图

iL（0+）=iL（0-）=2A

对接点①由kcl:

I1+I2=iL（0+）

（1）

对回路1由kvl:

50I1+Ul（0+）–100=0

（2）

对回路2由kvl:

-50I2+Ul（0+）–50=0（3）

上三式联立解得I1=I2=Ul（0+）=25V

换路稳固后，电感视为短路

Ul（∞）=0

从电感两头看进去的等效电阻

R=50//50=25Ω

τ=L/R=5/25=

Ul=Ul（∞）+[Ul（0+）-Ul（∞）]e-

=25e-5tV

16图3-19所示电路，已知iL（0-）=6A，试求t>=0+时的uL（t），并定性画出uL（t）的波形。

解：

用三要素

t=0+时等效电路，iL（0+）=iL（0-）=6A

对节点1由KCLi1（0+）=iL（0+）+uL（0+）=0

由上两式联立解得uL（0+）=100V

电路稳固后，电感视为短路

uL（∞）=0

从电感两头看进去等效电阻R：

对回路1由KVL：

6Ip+4（Ip+–Up=0

R=UP/IP=50/3Ω

τ=L/R=

uL（t）=uL（∞）+[uL（0+）-uL（∞）]

uL（t）=uL（∞）+[uL（0+）–uL（∞）]e-

=100e-t/V

17图3-20所示电路，t=0时开关S1闭和、S2打开，t<0时电路已达稳态，求t>=0+时的电流i（t）。

解：

三要素法

t=0-电路处于稳态电容视为开路，等效电路为：

Uc（0-）=（3/（3+1））×8=6V

t=0+时刻等效电路

Uc（0+）=Uc（0-）=6V

i（0+）=Ul（0+）/3=6/3=2A

换路稳固后，电容视为开路

i（∞）=（1/2）×3=

从电容两头看进去等效电阻

R=3//3=Ω

τ=RC=×1=

i（t）=i（∞）+[i（0+）-i（∞）]e-

=+e-2t/3A

3、