高中数学圆锥曲线试题精选含答案.docx

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高中数学圆锥曲线试题精选含答案

高中数学——圆锥曲线试题精选（含答案）

启智辅导

高考圆锥曲线试题精选

一、选择题：

（每小题5分，计50分）

x2y2?

1的焦距为（）102A.32B.42C.33D.432x?

y2?

1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的2.（2004全国卷Ⅰ文、理）椭圆4

1、（2008海南、宁夏文）双曲线直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=（A．）

7D．4223．（2006辽宁文）方程2x?

5x?

0的两个根可分别作为（

B．3

C．

Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率

）Ｂ．两抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率

4．（2006四川文、理）直线ｙ＝ｘ－3与抛物线y2?

4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为（）（A）48.（B）56（C）64（D）72.

x2y2?

1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是5.（2007福建理）以双曲线916

（A.C.）B.D.

6．（2004全国卷Ⅳ理）已知椭圆的中心在原点，离心率e?

1，且它的一个焦点与抛物线2

y2?

4x的焦点重合，则此椭圆方程为（

x2y2?

1A．43x2y2?

1B．86

）

x2?

y2?

1C．2

x2?

y2?

1D．4

x2y2?

1（mn?

0）离心率为2，有一个焦点与抛物线7．（2005湖北文、理）双曲线mn）y2?

4x的焦点重合，则mn的值为（33168A．B．C．D．1683322x16y8.（2008重庆文）若双曲线?

1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为3p

（）（A）2（B）3（C）4

（D）42

9．（2002北京文）已知椭圆双曲线的渐近线方程是（A．x?

xy2x2y2?

1有公共的焦点，那么和双曲线3m25n22m23n2

）

33D．y?

yx44x2y210．（2003春招北京文、理）在同一坐标系中，方程2?

1与ax?

by2?

0（a?

0）ab

B．y?

C．x?

的曲线大致是（）

yyyOxxOxOxyO

15y2

15x2

高考圆锥曲线试题精选

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启智辅导二、填空题：

（每小题5分，计20分）

11.（2005上海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是215,0，则椭圆的标准方程是_________________________

王新敞

奎屯新疆

12．（2008江西文）已知双曲线

xy3?

1（a?

0,b?

0）的两条渐近线方程为y?

x，2ab3

．

若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为13.（2007上海文）以双曲线抛物线方程是

xy?

1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的45

．

14.（2008天津理）已知圆C的圆心与抛物线y2?

4x的焦点关于直线y?

x对称.直线

4x?

3y?

0与圆C相交于A,B两点，且AB?

6,则圆C的方程

为.三、解答题：

（15—18题各13分，19、20题各14分）

x2y2?

1（a?

0）的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，a2b2414.且PF1?

F1F2,|PF1|?

|PF2|?

（Ⅰ）求椭圆C的方程；33（Ⅱ）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C于A,B两点,且A、B关于点M对称,求

15.（2006北京文）椭圆C:

直线l的方程..

16．（2005重庆文）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（3,0）

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线l:

kx?

2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA?

OB?

2（其中O为原点）.求k的取值范围.

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启智辅导17.（2007安徽文）设F是抛物线G:

x=4y的焦点.（Ⅰ）过点P（0，-4）作抛物线G的切线,求切线方程:

FB?

0,延长AF、BF分别交抛物线（Ⅱ）设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足FA·G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值.

18．（2008辽宁文）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（0，?

3），（0，3）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线y?

kx?

1与C交于A，B两点．k为何值时OA?

OB？

此时AB的值是多少？

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共8页

启智辅导y219.（2002广东、河南、江苏）A、B是双曲线x－＝1上的两点，点N（1,2）是线段AB的2中点

（1）求直线AB的方程；

（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？

为什么？

20.（2007福建理）如图，已知点F（1，0），直线l：

x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且＝。

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，，求的值。

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启智辅导

“圆锥曲线与方程”单元测试（参考答案）

一、选择题：

（每小题5分，计50分）

题号答案

10A

二、填空题：

（每小题5分，计20分）

x2y2?

1；11.8020

12．

x23y2?

1．44

13.y2?

12x．

14.

x2?

（y?

1）2?

10.

三、解答题：

（15—18题各13分，19、20题各14分）15..解：

（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a?

PF1?

PF2?

6，a=3.在Rt△PF1F2中，F1F2?

PF2?

PF1

25,故椭圆的半焦距c=5,

从而b2=a－c2=4,所以椭圆C的方程为

x2y2?

＝1.94

（Ⅱ）解法一：

设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.22已知圆的方程为（x+2）+（y－1）=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1,代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k－27=0.

x1?

x218k2?

9k?

2.因为A，B关于点M对称.，所以24?

9k288解得k?

，所以直线l的方程为y?

（x?

2）?

1,99

即8x-9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意）（Ⅱ）解法二：

已知圆的方程为（x+2）2+（y－1）2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.设A，B的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）.由题意x1?

x2且

x1yx2y?

1,①?

1,②9494（x1?

x2）（x1?

x2）（y1?

y2）（y1?

y2）?

0.由①－②得94

因为A、B关于点M对称，所以x1+x2=－4,y1+y2=2,代入③得

③

y1?

y2888＝，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－1＝（x+2），999x1?

即8x－9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意.）

16．解：

（Ⅰ）设双曲线方程为

x2y2?

1（a?

0,b?

0）.a2b2由已知得a?

3,c?

2,再由a2?

b2?

22,得b2?

1.故双曲线C的方程为

x2?

y2?

1.3

（Ⅱ）将y?

kx?

2代入

x2?

y2?

1得（1?

3k2）x2?

62kx?

0.3

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启智辅导由直线l与双曲线交于不同的两点得?

2即k?

3k?

0,222?

（62k）?

36（1?

3k）?

36（1?

k）?

1且k2?

1.3

①

设A（xA,yA）,B（xB,yB），则xA?

xB?

62k?

9，,xAxB?

21?

3k1?

3k2由OA?

OB?

2得xAxB?

yAyB?

而xAxB?

yAyB?

xAxB?

（kxA?

2）（kxB?

2）?

（k2?

1）xAxB?

2k（xA?

xB）?

962k3k2?

2k?

.1?

3k21?

3k23k2?

13k2?

3k2?

91?

2,即?

0,解此不等式得?

k2?

3.于是②2233k?

13k?

11?

k2?

1.由①、②得333故k的取值范围为（?

1,?

）?

（,1）.332xxx由y?

知抛物线在Q点处的切线斜率为0，17.解：

（Ⅰ）设切点Q（x0,0）.24222xxxx故所求切线方程为y?

0（x?

x0）,即y?

0x?

0.24422x2因为点P（0，-4）在切线上，所以?

0,x0?

16,x0?

4.所以切线方程为y=±2x-4.4（Ⅱ）设A（x1,y1）,C（x2,y2）.由题设知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k＞0.?

（k2?

1）

因直线AC过焦点F（0，1），所以直线AC的方程为y=kx+1.点A，C的坐标满足方程组?

kx?

4y,?

x1?

x2?

4k,由根与系数的关系知?

x1x2?

消去y，得x?

4kx?

AC?

（x1?

x2）2?

（y1?

y2）2?

k2（x1?

x2）2?

4x1x2?

4（1?

k2）.

11因为AC?

BD，所以BD的斜率为?

，从而BD的方程y?

1.kk2124（1?

k）.同理可求得BD?

4（1?

（?

））?

4k218（1?

k2）1SABCD?

ACBD?

8（k2?

2）?

32.22kk

当k=1时，等号成立.所以，四边形ABCD面积的最小值为32.18．解：

（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，?

3），，（03）为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b?

22?

（3）2?

1，故曲线C的方程为

x2?

y2?

1．4

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启智辅导

2y2?

1，?

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足?

kx?

1.?

2k3，x1x2?

2消去y并整理得（k2?

4）x2?

2kx?

0，故x1?

x2?

2．k?

4k?

OA?

OB，即x1x2?

y1y2?

0．而y1y2?

k2x1x2?

k（x1?

x2）?

1，

33k22k2?

4k2?

．k2?

4k2?

1所以k?

时，x1x2?

y1y2?

0，故OA?

OB．21412当k?

时，x1?

x2?

，x1x2?

．21717?

AB?

（x2?

x1）2?

（y2?

y1）2?

（1?

k2）（x2?

x1）2，

于是x1x2?

y1y2?

而（x2?

x1）2?

（x2?

x1）2?

4x1x2?

所以AB?

424?

343?

13?

，17217172

465．17

19.解：

（1）依题意，可设直线方程为y＝k（x－1）＋2y222代入x－＝1，整理得（2－k）x－2k（2－k）x－（2－k）－2＝022k（2－k）22－k1由N（1,2）是AB中点得（x1＋x2）＝12∴k（2－k）＝2－k，解得k＝1，所易知AB的方程为y＝x＋1.2

（2）将k＝1代入方程①得x－2x－3＝0，解出x1＝－1,x2＝3，由y＝x＋1得y1＝0,y2＝4即A、B的坐标分别为（－1,0）和（3，4）由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为y＝－（x－1）＋2，即y＝3－x，代入双曲线方程，整理，2得x＋6x－11＝0②记C（x3,y3）,D（x4,y4），以及CD中点为M（x0,y0），则x3、x4是方程②的两个的实数根，所以1x3＋x4＝－6,x3x4＝－11，从而x0＝（x3＋x4）＝－3,y0＝3－x0＝62|CD|＝（x3－x4）＋（y3－y4）＝2（x3－x4）＝2[（x3＋x4）－4x3x4＝4101|MC|＝|MD|＝|CD|＝210，又|MA|＝|MB|＝2

2222222

①

记A（x1,y1）,B（x2,y2），则x1、x2是方程①的两个不同的实数根，所以2－k≠0,且x1＋x2＝

∴

（x0－x1）＋（y0－y1）＝4＋36＝210即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆.

，y），由20.（Ⅰ）解法一：

设点P（x，y），则Q（?

＝

得：

yQOPBFAMx

（x?

1，0）?

（2，?

y）?

（x?

1，y）?

（?

2，y），化简得C:

y2?

4x．?

（Ⅰ）解法二：

由＝得：

FQ?

（PQ?

PF）?

0，?

（PQ?

PF）?

（PQ?

PF）?

0，?

PQ?

PF?

0，?

PQ?

PF．

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启智辅导所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：

y2?

4x．（Ⅱ）设直线AB的方程为：

my?

1（m?

0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），又M?

1，?

联立方程组?

，m?

y2?

4x，

my?

1，

，消去x得：

4m，y2?

4my?

0，?

（?

4m）2?

12?

0，故?

12?

y1y2?

4．?

22由MA?

1AF，MB?

2BF得：

y1?

1y1，y2?

2y2，mm22整理得：

，?

，my1my224m2112y?

y2∴?

2＝?

（?

=-2-·=0.）=?

·1m?

4my1y2my1y2

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