完整版数学分析中不等式的证明方法与举例本科毕业论文40设计41.docx

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完整版数学分析中不等式的证明方法与举例本科毕业论文40设计41

分院名称：

数学学院

长春师范大学

本科毕业论文（设计）

（理工类）

题目：

数学分析中不等式的证明方法与举例

专业：

数学与应用数学

作者姓名：

指导教师姓名：

指导教师职称：

2013年5月

长春师范大学本科毕业论文（设计）作者承诺保证书

本人郑重承诺：

本篇毕业论文（设计）的内容真实、可靠.如果存在弄虚作假、抄袭的情况，本人愿承担全部责任.

论文作者签名：

日期：

年月日

长春师范大学本科毕业论文（设计）指导教师承诺保证书

本人郑重承诺：

我已按有关规定对本篇毕业论文（设计）的选题与内容进行指导和审核，坚持一人一题制，确认由作者独立完成.如果存在学风问题，本人愿意承担指导教师的相关责任.

指导教师签名：

日期：

年月日

目录

承诺保证书…………………………………………………………………

前言…………………………………………………………………………1

1构造变限积分证明不等式………………………………………………1

2利用函数单调性证明不等式……………………………………………2

3利用微分中值定理证明不等式…………………………………………4

4利用积分中值定理证明不等式…………………………………………6

5利用泰勒公式证明不等式………………………………………………8

6利用函数极值证明不等式………………………………………………9

7利用函数凹凸性证明不等式……………………………………………11

8利用幂级数展开式证明不等式…………………………………………12

9利用著名不等式证明不等式……………………………………………13

参考文献……………………………………………………………………16

致谢……………………………………………………………………17

英文摘要……………………………………………………………………18

数学分析中不等式的证明方法与举例

摘要：

不等式不仅是数学分析中非常重要的工具，同时也是数学分析研究的主要问题之一，然而不等式的证明方法却是复杂多变的，因此，对于不等式的证明方法进行系统的分类与总结仍具有很大的现实意义.

本文首先简单介绍了不等式的研究背景，然后主要讨论了数学分析中证明不等式的若干方法，并对不等式的证明方法进行归类.同时，通过精选典型例题的证明，渗透了解不等式问题的多种解题技巧，深化了对不等式证明方法的认识，最终达到灵活应用的目的，以便于可以站在更高的角度来研究不等式.

关键字：

数学分析不等式证明方法.

前言

不等式在数学的整个学习、研究过程中都是一个非常重要的内容，它涉及了初等数学、高等数学和数学分析的许多方面，在数学中有着不可替代的作用.在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的认识要比方程迟的多.直到1934年,数学不等式理论及其应用的研究才正式粉墨登场,成为一门新兴的数学学科,从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合,它已发展成为一套系统的科学理论，成为数学基础理论的一个重要组成部分.

20世纪80年代以来在中国大地上出现了持续高涨的不等式研究热潮.目前我国关于数学不等式理论及其应用的研究也取得了较丰富的成果.由于这些结果在理论和实际运用方面都有重要意义，引起了一系列广泛研究.

综上所述,数学不等式理论充满蓬勃生机、兴旺发达.

1构造变限积分证明不等式

定义：

设在上可积，对任何,在上也可积，于是，由

，，

定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分.类似地，又可以定义变下限的定积分：

,

与统称为变限积分.

定理：

若在上连续，则其变限积分作为关于的函数，在上处处可导，且

更一般的有

.

例1.证明柯西不等式

.

证明：

构造变上限辅助函数

.

显然在上连续，在内可导，且

.

所以在上单调减少，则，即

.

得到

.

例2.设在上连续，且单调递增，试证明

.

证明：

构造变上限辅助函数：

.

显然，对，

.

因为单调递增，则，则单调递增，所以

.

因此

.

2利用函数单调性证明不等式

定理:

设函数在上连续,在内可导,则有

（1）如果在内,那么,函数在上单调增加.

（2）如果在内,那么,函数在上单调减少.

例1.证明不等式：

，.

证明：

设则，故当时，，严格递增；当，，严格递减.又因为在处连续，则当时，

.

即

.

故得证

.

例2.证明.

证明：

记，则，所以单调递增，于是由知

.

即

.

3利用微分中值定理证明不等式

拉格朗日中值定理:

设函数满足如下条件:

（1）在闭区间上连续；

（2）在开区间内可导，

则在内至少存在一点，使得

.

柯西中值定理:

设函数和满足：

（1）在上都连续；

（2）在内都可导；

（3）和不同时为零；

（4），

则存在,使得

.

例1．设在上有一阶连续导数，且，证明

.

证明：

令，由拉格朗日中值定理知

.

从而

.

所以

.

例2.当时,试证不等式.

证明:

构造函数

.

则在区间上满足拉格朗中值定理,且

.

故有

.

即

.

又,

则

.

即

.

例3.设，，求证

.

证明：

令，,

由题设条件可知，在上满足柯西中值定理

.

则

.

故

.

由于，,则,

故

.

由此得证

.

4利用积分中值定理证明不等式

积分第一中值定理：

若函数在上连续，则至少存在一点，使得

.

积分第二中值定理：

设函数在上可积，若为单调函数，则，使得

.

例1．设为上的非负单调非增连续函数（即当时，），证明对于,有下面的不等式成立

.

证明：

由积分第一中值定理有

.

.

从而

.

因此可得

.

即

.

又因,所以,故

.

例2.设在上连续，且单调递增，试证明

.

证明：

要证该不等式只需证明

.

由于单调递增，利用积分第二中值定理，则存在，使

.

故

.

即

.

5利用泰勒公式证明不等式

定理:

若函数在上存在直至n阶连续导函数，在内存在阶导函数,则对任意给定的，，至少存在一点,使得:

.

例1.设在存在二阶连续导数，，并且当时，，求证：

.

证明:

由于在上有二阶连续导函，因此对任何，利用和在点的二阶泰勒公式可得

.

.

由可得

.

又,所以

.

而时,，故.

又由的任意性知

例2．设在上有二阶连续导数，，证明

.

证明：

将在处泰勒展开

，.

两边在上积分并注意到，得

.

从而得

.

6利用函数极值证明不等式

极值的第一充分条件：

设在点连续，在某邻域内可导.

（1）若当时,当时,则在点取得极小值.

（2）若当时,当时，则在点取得极大值.

极值的第二充分条件：

设在的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且，.

（1）若，则在取得极大值.

（2）若，则在取得极小值.

例1.证明：

当，n为自然数时，

.

证明：

构造辅助函数

.

则

.

当时，,当时，除时外，均有，故在时单调递增，在时单调递减，因此在上取最大值.于是有

.

例2.设,求证：

，都有不等式

.

证明:

令.

有

=

.

令，则.

而

.

又因为,

故

.

故在处取得极小值，又因为,.

所以在区间[0,1]上的最大值为1，最小值为.

因此

.

7利用函数凹凸性证明不等式

定义:

设为定义在区间上的函数，若对上的任意两点，，和任

实数总有

则称为上的凸函数.反之，如果总有

则称为上的凹函数.

定理:

设为区间上的二阶可导函数，则在上为凸（凹）函数的充要条件是

（），.

例1.证明:

.

证明:

构造函数，，这时,,所以在（0,+∞）上是凸函数.所以,时，有

.

即

.

故

.

例2：

（著名的均值不等式）设求证：

.

证明：

设,则.

所以在上为凹函数，则由凹函数性质可知

.

即

.

即

.

8利用幂级数展开式证明不等式

证明方法:

根据几个重要的初等函数的幂级数展开式，如下：

；

；

；

；

．

例1.当，证明.

证明：

因分别可写成幂级数展开式，有：

．

则不等式左边的一般项为，右边的一般项为，而当时，

所以，.

9利用著名不等式证明不等式

柯西不等式：

设为任意实数（）则

，

其中当且仅当成比例时等号才成立.

施瓦兹不等式：

若上可积，则

．

若上连续，其中当且仅当存在常数使得时等号才成立（不同时为零）.

詹森不等式：

若为上凸函数，则对任意，，，有

.

例1.设，，，…，．求证：

．

证明：

由柯西不等式

．

两边同时除以即得证．

例2.已知，在上连续，为任意实数，求证

.

证明:

所要证明的式子左端第一项应用施瓦兹不等式

.

同理可得

.

两式相加得

.

即得证.

例3.证明不等式

其中均为正数.

证明：

设.则.

故在时为严格凸函数.依詹森不等式有

.

从而

.

即

.

又因,所以

.

即

参考文献：

[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：

高等教育出版社,2006.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：

高等教育出版社，2001.

[3]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].北京：

高等教育出版社，2001.

[4]钱吉林等主编.数学分析题解精粹.[M]武汉：

崇文书局，2011.

[5]蒙诗德.数学分析中证明不等式的常用方法[J].赤峰学院学报（自然科学

版），2009，25（9）.

[6]贺彰雄.不等式证明的几种常见方法.湖北教育学报[J].2007，10

（1）.

[7]王晓峰，李静.证明不等式的若干方法.数理医药学杂志[J].2008.12

（1）.

致谢

毕业论文设计的这段时间是我学生生涯中非常重要的时光之一.通过这次论文写作，我不仅学到了很多专业知识，而且我的其他能力方面都有一定提高.所以，借此论文结束之际，向所有帮助过我的人表示我最诚挚的敬意和感谢.

本论文是在付老师的指导下和同学们的帮助下几经修改而完成的.所以,首先要感谢我的指导老师,我从她身上不仅学到了许多的专业知识，更感受到她在工作中的兢兢业业，生活中的平易近人.此外，她严谨的治学态度和忘我的工作精神更值得我去学习.同时，还要感谢我的同学,他们给我提供了很多有价值的材料和宝贵意见，所以我的论文才得以顺利完成.

总之，衷心地感谢所有帮助过我的人！

THEPROOFMETHODSANDEXAMPLESOFINEQUALITY

OFMATHEMATICALANALYSIS

AbstractInequalityisaveryimportanttoolinmathematicalanalysis.Atthesametimeitisoneofthemainproblemsinthemathematicalanalysisstudy.Butthemethodsarevarious.Sothesystemicclassificationandsummaryfortheproofmethodsofinequalitystillhasgreatpracticalsignificance.

Thispaperfirstsimplyintroducesthebackgroundofinequality,thenmainlydiscussesthedifferentproofmethodsofinequalities,andclassifiesthedifferentproofmethods.Atthesametimesummarizesvariousskillsintheinequalityproblem-solvingbydemonstratingsometypicalexamples.Itmakesabettersummarytomasterthemethodtoproveinequalityinmathematicalanalysis,ultimatelyachievethepurposeofflexibleapplication.

KeywordsMathematicalanalysis;Inequation;Method.