高考总复习《走向清华北大》精品课件45空间点直线平面之间的位置关系.docx
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高考总复习《走向清华北大》精品课件45空间点直线平面之间的位置关系
第四十五讲
空间点､直线､平面之间的位置关系
共50页1
回归课本
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1.平面的基本性质
公理1:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在
这个平面内.
公理2:
过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.
注意:
（1）过一条直线和直线外一点⎫
（2）经过两条相交直线
⎪
⎬均有且只有一个平面
⎪
（3）经过两条平行直线⎭
公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
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注意:
用途
公理1
①证明点在平面内
②证明直线在平面内
公理2
①确定平面的条件
②证明有关点、线共面问题
公理3
①确定两个平面的交线
②证明三点共线或三线共点
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2.空间直线与直线的位置关系
（1）位置关系:
①共面与否
⎧⎧平行⎪共面⎨⎨⎩相交
⎪
⎩异面
⎧一个公共点:
相交
②公共点个数⎪
⎨⎧平行
⎪无公共点⎨
⎩⎩异面
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（2）公理4（平行公理）:
平行于同一直线的两条直线互相平行.
（3）公理5:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两
个角相等或互补.
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（4）异面直线的夹角:
①定义:
已知两条异面直线a、b经过空间任意一点O作直线
a′∥a,b′∥b,我们把两相交直线a′,b′所成的锐角（或直角）叫
做异面直线a、b所成的角（或夹角）.
②范围:
θ∈
⎛
π⎤
ç
0,
⎥.
⎝
2⎦
特别地:
如果两异面直线所成的角是90°,我们就称这两条直
线互相垂直,记作a⊥b.
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3.空间中的直线与平面的位置关系
⎧直线在平面内--有无数个公共点
⎪
⎧直线与平面相交--有且只有一个
⎪
⎨
⎪
公共点
⎪
⎨
直线在平面外
⎪
⎪
直线与平面平行--无公共点
⎩
⎩
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4.平面与平面的位置关系有两种
⎧平行--无公共点
⎨相交--有一条公共直线
⎩
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注意:
符合语言:
（1）点与线:
A∈l,A∉l.
（2）点与面:
A∈α,A∉α.
（3）线与线:
l1∥l2,l1∩l2=O,l1与l2异面.
（4）线与面:
l⊂α,l⊄α（l∩α=A,或l∥α）.
（5）面与面:
α∥β,α∩β=l.
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考点陪练
共50页11
1.下列命题中正确的是（）
A.三点确定一个平面
B.两条直线确定一个平面
C.两两相交的三条直线一定在同一平面内
D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内
解析:
A、B、C均不满足公理2及其推论,故D正确.
答案:
D
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2.若A表示点,a表示直线,α、β表示平面,则下列表述中,错误
的是（）
A.a⊂α,A∈a⇒A∈α
B.a⊄α,A∈a⇒A∉α
C.A∈α,A∈β,α∩β=a⇒A∈a
D.A∈a,A∉α⇒a⊄α
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解析:
a⊂α的含义是a上所有点都在平面α上,故A正确;反之直线a上有一点不在α上,就说明a⊄α,故D正确,但是a⊄α并不
代表所有点都不在α上,故B错误.C就是公理3,故C正确.
答案:
B
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3.给出下面四个命题:
①如果直线a∥c,b∥c,那么a,b可以确定一个平面;
②如果直线a和b都与直线c相交,那么a,b可以确定一个平面;
③如果a⊥c,b⊥c,那么a,b可以确定一个平面;
④直线a过平面α内一点与平面α外一点,直线b在平面α内不
过该点,那么a和b是异面直线.
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上述命题中,真命题的个数是（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析:
①中,由公理4知,a∥b,故①正确;②中,a,b可能异面,故②
错误;③中,a,b可能异面,故③错误;④正确.
答案:
B
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4.在正方体ABCD—A′B′C′D′中,E､F分别为棱AA′､CC′的中
点,则在空间中与三条直线A′D′､EF､CD都相交的直线（）
A.不存在B.有且只有两条
C.有且只有三条D.有无数条
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解析:
在A′D′延长线上取一点H,使A′D′=D′H,在DC延长线上取
一点G,
使CG=2DC,连接HG与EF交于一点,延长DC.
连接D′F必与DC延长线相交,延长D′A′,连接DE必与D′A′延长
线相交.
连接A′C与EF交于EF中点,故选D.
答案:
D
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5.三条直线两两垂直,那么在下列四个结论中,正确的结论共
有（）
①这三条直线必共点;②其中必有两条是异面直线;③三条直
线不可能共面;④其中必有两条在同一平面内
A.4个B.3个
C.2个D.1个
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解析:
（1）三条直线两两垂直时,它们可能共点（如正方体同一个
顶点上的三条棱）,也可能不共点（如正方体ABCD—
A1B1C1D1中的棱AA1,AB,BC）,故结论①不正确,也说明必有结论②不正确;如果三条直线在同一个平面内,根据平面
几何中的垂直于同一条直线的两条直线平行,就导出了其
中两条直线既平行又垂直的矛盾结论,故三条直线不可能
在同一个平面内,结论③正确;
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三条直线两两垂直,这三条直线可能任何两条都不相交,即任
意两条都异面（如正方体ABCD—A1B1C1D1中的棱AA1,BC
和C1D1）,故结论④不正确.故选D.
答案:
D
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类型一点共线问题
解题准备:
证明共线问题的常用方法
（1）可由两点连一条直线,再验证其他各点均在这条直线上;
（2）可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——相交两平
面的唯一交线,关键是通过绘出图形,作出两个适当的平面
或辅助平面,证明这些点是这两个平面的公共点.
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【典例1】已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E､F分别为
D1C1､C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
（1）D､B､F､E四点共面;
（2）若A1C交平面DBFE于R点,则P､Q､R三点共线.
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[解]
（1）如图所示,因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1.
在正方体AC1中,B1D1∥BD,
所以EF∥BD.
所以EF,BD确定一个平面,
即D､B､F､E四点共面.
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（2）在正方体AC1中,设A1ACC1确定的平面为α,又设平面
BDEF为β.
因为Q∈A1C1,所以Q∈α,
又Q∈EF,所以Q∈β.则Q是α与β的公共点,
同理,P点也是α与β的公共点.
所以α∩β=PQ.
又A1C∩β=R,
所以R∈A1C,R∈α且R∈β,则R∈PQ,故P､Q､R三点共线.
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类型二线共点问题
解题准备:
证明共点问题,常用的方法是:
先证其中两条直线交
于一点,再证交点在第三条直线上,有时也可将问题转化为
证明三点共线.
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【典例2】如图所示,已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E､F分别为棱AB,AA1的中点.
求证:
三条直线DA,CE,D1F交于一点.
共50页27
[证明]直线DA⊂平面AD1,直线D1F⊂平面AD1,显然直线DA
与直线D1F不平行,设直线DA与直线D1F交于点M.
同样,直线DA与直线CE都在平面AC内且不平行,设直线AD与
直线CE相交于点M′.
又E､F为棱AB､AA1的中点,∴易知MA=AD,M′A=AD,所以M､
M′为直线AD上的同一点,
因此,三条直线DA､CE､D1F交于一点.
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[反思感悟]设直线DA与直线D1F交于点M,直线DA与直线CE交于M′,再证明M,M′重合.
证明三线共点,可以先说明其中两条交于一点M,另两条交于
一点N,再想法证明M,N两点重合.另一种方法是:
先证明其
中两条直线交于一点,再证明这个点在第三条直线上.如本
题可先说明直线CE和直线D1F共面且交于一点P,而点P既在平面AD1内,也在平面AC内,所以点P在它们的交线AD上.
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类型三线共面问题
解题准备:
证明共面问题的常用方法
证明若干条线（或若干个点）共面,一般来说有两种途径:
一是
首先由题给条件中的部分线（或点）确定一个平面,然后再证
明其余的线（或点）均在这个平面内;二是将所有元素分为几
个部分,然后分别确定几个平面,再证这些平面重合.
共50页30
【典例3】已知:
a,b,c,d是不共点且两两相交的四条直线,求
证:
a,b,c,d共面.
[证明]弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义:
四条直线
不共点,包括有三条直线共点的情况;两两相交是指任何两
条直线都相交.
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（1）当四条直线中有三条相交于一点时,不妨设a,b,c相交于一
点A,
∴直线d和A确定一个平面α.（如右图）
又设直线d与a,b,c分别相交于E,F,G,
则A,E,F,G∈α,∵A,E∈α,A,E∈a,∴a∈α.
同理可证b⊂α,c⊂α,
∴a,b,c,d在同一平面α内.
共50页32
（2）当四条直线中任何三条都不共点时,如右图.
∵这四条直线两两相交,
则设相交直线a,b确定一个平面α.
设直线c与a,b分别交于点H,K,则H,K∈α.
又∵H,K∈c,∴c⊂α.同理可证d⊂α.
∴a,b,c,d四条直线在同一平面α内.
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[反思感悟]证明若干条线（或若干个点）共面,一般来说有两
种途径:
一是首先由题给条件中的部分线（或点）确定一个平
面,然后再证明其余的线（或点）均在这个平面
内;二是将所有元素分为几个部分,然后分别确定几个平面,再
证这些平面重合.本题最容易忽视“三线共点”这一种情
况.因此,在分析题意时,应仔细推敲问题中每一句话的含义.
共50页34
类型四异面直线所成的角
解题准备:
1.求异面直线所成的角,关键是将其中一条直线平
移到某个位置使其与另一条直线相交,或将两条直线同时
平移到某个位置,使其相交.平移直线的方法有:
①直线平移,
②中位线平移,③补形平移.
2.求异面直线所成的角的一般步骤:
一作:
即据定义作平行线,
作出异面直线所成的角;二证:
即证明作出的角是异面直线
所成的角;三求:
在三角形中求得直线所成的角的某个三角
函数值.
共50页35
【典例4】在空间四边形ABCD中,已知AD=1,BC=
3,且AD⊥BC,对角线BD=
213,AC=
23,求AC和BD所成的角.
共50页36
[解]作平行线,找与异面直线所成的角相等的平面角,将空间
问题转化为平面问题.
如图,分别取AD､CD､AB､BD的中点E､F､G､H,连接EF､FH､HG､GE､GF.
共50页37
由三角形的中位线定理知,EF∥AC,且EF=
3,GE∥BD,且
GE=
4
13.GE和EF所成的锐角（或直角）就是AC和BD所成
的角.
4
同理,
GH=
1
HF=
3
GH∥AD,HF∥BC.
2
2
又AD⊥BC,∴∠GHF=90°,
∴GF2=GH2+HF2=1.
共50页38
在△EFG中EG2+EF2=1=GF2,
∴∠GEF=90°,即AC和BD所成的角为90°.
共50页39
[反思感悟]立体几何中,计算问题的一般步骤:
（1）作图;
（2）证
明;（3）计算.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平
移的解法一般有三种类型:
利用图中已有的平行线平移;利
用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移;补形平移.计
算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.
共50页40
错源一基本性质理解不到位
【典例1】下列说法正确的有（）
（1）在凹凸不平的地面上使用四条腿的凳子比三条腿的凳子更
平稳;
（2）两个平面有可能只有一个公共点;
（3）如果有n条直线都平行于某一条直线,那么这n+1条直线一
定互相平行.
A.0个B.1个C.2个D.3个
共50页41
[剖析]错解对于基本性质理解不到位.在凹凸不平的地面上
使用凳子是否平稳并不取决于凳子腿个数的多少,由基本
性质2可知,三条腿的凳子更平稳;两个平面不可能只有一
个公共点,由基本性质3可知,如果两个平面有一个公共点,
那么它们有且仅有一条通过这个公共点的公共直线,也就
是说,如果两个平面有一个公共点,则它们一定有无数个公
共点;由基本性质4可知,如果有n条直线都平行于某一条直
线,那么这n+1条直线一定互相平行.
[正解]B
共50页42
错源二对基本性质及其推论的使用条件不当而致误
【典例2】如图,已知直线a,b,c,a∥b,a∩c=A,b∩c=B,求
证:
a,b,c三条直线共面.
[错证]因为a∥b,所以a,b共面,
因为a∩c=A,所以a,c共面,
因为b∩c=B,所以b,c共面.
所以a,b,c三条直线共面.
共50页43
[剖析]上述“证明”中出现了三次共面,设为α1,α2,α3,由于无法得知α1,α2,α3是否为同一平面,因此,不能说a,b,c三条直线共面.
[证明]因为a∥b,所以a,b可确定一个平面,设为α.
因为α∩c=A,所以A∈a,又a⊂α,所以A∈α,同理B∈α,故AB⊂α,即c⊂α.
于是a,b,c在同一平面α内,即a,b,c三条直线共面.
共50页44
技法一快速解题（动手操作）
【典例1】已知直线a与直线b相交于点P,a与b夹角（交角中
不大于90°的角）为60°,试问空间中过点P的所有直线中:
（1）与直线a、b夹角均为10°的直线有________条;
（2）与直线a、b夹角均为30°的直线有________条;
（3）与直线a、b夹角均为45°的直线有________条;
（4）与直线a、b夹角均为60°的直线有________条;
（5）与直线a、b夹角均为80°的直线有________条;
（6）与直线a、b夹角均为90°的直线有________条.
共50页45
[解题切入点]凭借空间想象能力,结合动手操作直线模型（选
用几支铅笔作直线模型）,本题即可轻松获解.
[解析]如图直线a、b夹角为60°,l1、l2分别是其夹角（60°）及其补角（120°）的角平分线,由l1是空间中与直线a、b夹
角最小的直线知,与直线a、b夹角均为10°的直线有0条;
同理在图中,让l1与l2各在其所在的,与直线a、b确定的平面垂直的平面内转动,会得出与直线a、b夹角均为30°的直
线只有1条,即l1;
共50页46
与直线a、b夹角均为45°的直线有2条;与直线a、b夹角均
为60°的直线有3条;与直线
a、b夹角均为80°的直线有4条;与直线a、b夹角均为90°
的直线有1条.
[答案]
（1）0;
（2）1;（3）2;（4）3;（5）4;（6）1
共50页47
技法二辅助线的作用
【典例2】过空间一点O作不在同一平面内的三条射线OA､
OB､OC.求证:
∠AOB,∠BOC的平分线和∠COA的邻补角
的平分线在同一平面内.
共50页48
[证明]如图所示,在射线OA､OB､OC上分别取OD=OE=OF,
设∠AOB,∠BOC的平分线分别交DE､EF于G､H,则G､H分别为DE､EF的中点,
∴GH∥DF.
设OM为∠COA的邻补角的平分线,
则OM也是△DOF的外角平分线,
∴OM∥DF.
共50页49
∴GH∥OM,GH､OM确定平面α,
又O､M､G､H∈α,
故OG､OH､OM在同一个平面内.
[方法与技巧]合理分析作出辅助线,利用公理及其推论证明
共面.
共50页50
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