研究高考试题把准复习备考方向.docx
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研究高考试题把准复习备考方向
研究高考试题
把准复习备考方向
胡良知
2010.5.16
研究考题把握方向掌握规律稳中求胜
一、近三年高考试题统析
（一）理科
数学主干
知识名称
07年
08年
09年
28分
32分
函
数
与
导
数
3T.给出差集合的定义，其中含对数不等式、绝对值不等式、求差集合。
11T.已知一对反函数，而该函数为一次，求参数值。
15T.实际应用问题背景函数模型，既是指数函数，又是一次函数的分段函数，求函数式。
20T.已知二次函数含有一个参数，又已知含参数的自然对数，且两曲在公共点处切线相同，求两参数的函数关系式，并求该函数的最大值，证明两函数式构成的不等式。
2T.已知三个集合的并集关系，判断并集是其一集合的条件。
4T.给出两个无理函数之和复合后的对数函数的定义域区间。
7T.给出二次函数与对数之和的复合函数，在定区间上的单调减，求参数的范围。
13T.给出两个二次函数，且其中二个函数含参数，求复合一次变量后含参数的方程的解。
20T.实际应用问题水库蓄水量的函数关系，特点一是分段函数，特点二是二次函数与指数函数复合，求列得不等式的解集，求分段函数的最大值。
1T.已知向量集合中含参数，求两向量集合的交集。
2T.求含有一个参数的分式型函数的反函数。
8T.实际应用问题，家电下乡。
9T.球半径为t的函数，对复合函数求导，确定比例关系及比例系数。
14T.三角函数求导。
21T.定义运算符号，从而构造出含参数的三次函数，已知函数在定点处有极小值，求参数的值。
当曲线的切线斜率为该参数时，求切点。
当函数在闭区间上有最大值且有不等式恒成时求参数的最大值。
高考数学试题主干知识统计的启示：
⑴连续三年保持对集合的考查的内容形式，基本知识点却在不断变化、体现出集合是高中数学的基础。
⑵函数部分考查的分数稳定在30分，体现出湖北省高考数学试题以稳定为主。
⑶对于初等函数的重点与难点内容，对数函数保持了考查的稳定性与延续性，体现出湖北省高考数学试题不回避中学数学的重点与难点、高考的热点内容。
⑷对于初等函数的复合函数抽象函数等难点内容保持了三年覆盖，而且对分式型函数无理函数也保持了全覆盖，不仅在考查形式上灵活，而且考查方法与思考方法上给予多角度，发散变式的启发体现高考对中学数学中的指导作用，让学生能实现从知识到方法再升华到思想的飞跃。
⑸对于函数与导数的综合题，湖北省高考数学试题保持了几种不同的考查形式与风格，既有07年的考查方式，给出含有参数的二次函数，再给出以e为底的对数函数，直接给出两函数的图象在交点处的切线相同。
而提出的问题都与不等式有关，并有参数的最大值。
也有08年通过实际应用问题给出复合的分段函数，用二次函数与以e为底的指数函数复合，也有纯二次函数的考查，而提出的数学问题仍然是不等式有关及函数值的计算。
更有09年用定义运算符号的方式，让学生自己寻找函数式，确定参数值提出的数学问题是已知函数有极值和已知曲线的斜率利用导数后求两曲线的交点，而压轴部分则是与报值相关的含有绝对值的不等式的证明从而体现出导数作为工具，对初等数学中的难点函数、方程、不等式综合问题的求解与研究起到关键性的作用，而且使得这三个内容的交汇领域更加广阔，处理方式更加灵活，应变途径更加多样，思维启迪更加多变，学生的能力展示与层次区分更加有效。
数学主干
知识名称
07年
08年
09年
24分
24分
数
列
6T.给出等比数列的定义，判断等比数列是等比数列的条件。
8T.两个等差数列的前n项和之比为含n的代数式，求两个数列通项比为整数的项数n值。
21T.用数学归纳法证明放缩的重要不等式。
利用放缩得等比数列求和式构造一个含n的等式，求n的值。
8T.函数的极限。
14T.利用指数函数和等差数列，求复合后的对数函数值。
21T.给出相邻两项的线性递推关系式，利用（-1）n构造了一个新的数列，证明原数列不是等比数，判断并证明新数列是否等比。
探求新数列的前n项和是否有界，在定区间内。
10T.课改教材的原题，三解形数、正方形数问题。
15T.分段型数列的递推关系式求首项。
源于角的猜想。
19T已知数列的前几项和与通项公式的递推关系式，求证构造的新数列是等差数列。
在构造新数列系数成等差项成等比的数列，利用错项相减法求数列的前几项和
由上述统计分析，数列这一章的考题给我们的启事是：
⑴湖北省高考数学试题发出了向课改接近，走进新教材的信号，不仅体现在09年试题中出现了课改教材的原题，而且在教学史料中的一些著名的数学问题以全新的面貌出现在高考试题中体现出湖北省高考数学试题命制者高度关注课改，使高考的导向作用发挥明显，让我们的一线数学教师既要保持传统教材的优势和重点内容，同时更加不断学习与创新，不断更新观念和教师现有的知识结构，才能适应我们新的课程改革的需要。
⑵关注传统教材内容的重点，一是等差数列的概念与性质，二是等比数列的概念与性质，三是等差与等比的复合数列，四是几种不同类型的递推关系研究数列，仍然是湖北省高考数学试题考查的重点与热点。
⑶特别重视数列的求和方法研究，对于教材的重点与难点内容错项相减法，湖北省高考数学试题采用不回避，直击难点与热点。
体现出高考数学试题对平时教学点指导性，我们一线的数学教师如何突破难点，化解热点，通性手法的研究与教学是我们教师的一个重要课题，不仅要讲清楚这些方法的思路与要诀及产生过程，更重要的是转变成学生自觉掌握和运用方法的能力。
⑷在数列的压轴题中，试题在重点考查数列不可求和或求和困难的情况下，对于不等式的证明方法放缩法予以关注，这也充分体现出考试的命题原则：
在知识的交汇处命题，寻找突破口为此对于数列与不等式的综合题的复习教学时，我们的一线教师既要关注知识与基础，技能与方法，同时更应引导学生从不同角度，不同层面，不同知识点的角度去寻求解决问题的思路与方法，技巧与技能，才能使我们师生有一个更高的境界，更清新的思维更为恰当的方式与方法解决问题，突破难点，关注热点。
⑸在关注热点问题的同时，我们应对冷点问题给予涉及。
象我们平时训练中出现的分式型递推关系式可以用特征跟方程式或逐差法研究的数列问题包括用函数的方法研究的数列和叠加，累乘的方法研究数列问题不留知识盲点。
数学主干
知识名称
07年
08年
09年
17分
22分
22分
三
角
函
数
2T给出已知的三角函数式的图象，按向量平移后，求所得图象的函数解析式。
16T.给出已知三角形的面积的值，给出三角形中边所在向量的点乘积的范围，求向量夹角的范围，给出三角函数式求该函数的最值。
5T.给出已知函数式按向量平移，并已知一条对称轴的方程，求向位角的一个值。
12T.已知三角形三边的值，求三角形内角相关的函数值。
16T.给出无理的分式型函数，然后构造复合的三角函数，转化为化成形如
的形式，求该三角函数的值域。
4T.已知三角函数式的图象，按向量平移后的图象的函数式，已知求平移的向量。
14T.含有导数值的三角函数式，求特殊角的三角函数值。
17T.已知三个向量的坐标是三角函数表示，求向量长度的最大值转化为三角函数的最大值，由两向量垂直转化为求三角函数值。
根据上述统计，我们可以从中观察并得到几点启示：
⑴对于三角函数图像的平移保持了考查的稳定性和连续性一直以按向量平移的方式予以考查，仅只是在问题方式上进行排组合而以，即平移前的图象对应的解析式，平移向量、平移后的图象对应的函数解析式这个三维量中，知二求一的原则。
体现湖北省高考数学试题对三角函数这一章考查的要求不偏不怪，重点关注教材的重点内容和学生掌握的难点内容也是考查学生对三角函数的图象及性质掌握是否落实的核心内容并对我们一线数学教师的教学提出了较高要求，不仅要讲清三角函数图象的平移变换规律，而且要让学生自己动手体验认真研究体会，亲手实践操作，切实掌握图象的平移变化规律，才能达到考查的能力要求。
⑵由09年的考题透露出一个信息，湖北省高考数学的命题专家们在试题保持稳定的基础上寻求变化和突破口，即将三角函数与导数结合起来考查，形成了新的知识点。
体现湖北省高考数学试题稳定是主旨，适度创新是方向，在新的知识的交汇点上命题是导向。
提醒我们一线的数学教师在教学中在复习备考时不光让学生套模式，死做题，而应在掌握基础知识和形成基本技能的前提下培养学生灵活运用知识解决问题的能力。
⑶在中档题的考查上，湖北省高考数学试题又在寻求一些变化，间隔考查基本题型。
07年09年则题以向量为载体考查三角函数的恒等变形及三角函数的性质。
08年则是以复合后的三角函数进行恒等变形再考查三角函数的性质，这既体现出湖北省高考数学试题考查的稳定性，但在知识的交汇点上出题的风格与形式又有着变化与创新。
从而提醒我们的教师在平时的教学中必须不断地研究和反思，不断地培养学生的创新思维的能力，才能使我们的针对性强，才会有我们的高效课堂。
（4）从后两年（08年、09年）的分值赋分情况看，三角函数章节内容考查权重在加大，即赋分分值在增加，需要我们加大对这一章中档题的训练与巩固力度。
（5）关注几个冷点，在近三年的高考数学试题中，对于三角函数这一章的考查中，主要重点放在了三角函数图象的变换和利用三角函数的恒等变形后求值，或考查三角函数的性质。
而对于解三角形的基本类型涉及较少，尤其是应用问题的三角函数的模型题留下空白，提醒我们的一线数学教师不要将恒等变形后解三角形和三角函数应用的模型题遗漏。
同时还应在角的变换，三角函数的基本关系式，数学思想方法的训练上做文章，下力气。
数学主干
知识名称
07年
08年
09年
16分
12分
不
等
式
20T.
（2）证明不等式左边为含参数的二次函数，右边为含参数的对数函数。
21T.用数学归纳法证明，指数放缩不等式，证明指灵敏不等式。
20T.
（1）解含有二次函数与指数复合的不等式。
21T.（3）证明新数列的前n项和有界。
11T.解含有参数的分式型不等式。
21T.（3）利用原函数的导函数，给出闭区间上的函数有最大值，由恒成立的不等式，求参数最大值。
给我们的启示：
（1）不等式知识的考查，重点在于与数学归纳法相结合尤其是利用导数从而将构造法应用得淋漓尽致，特别是一些重点函数，双沟函数以e为底的自然对数函数及一些重要的放缩型结论x﹥–1时m﹙1＋x﹚﹤x恒成立。
或x﹥－1时nen则（1＋x）≥1＋nx不仅在平时的复习教学时要让学生对符合结论放缩的基本题型的特征把握与辨别。
（2）不等式知识的考查通常在函数的性质的考查如求函数的定义域值域求函数的极值，还有09年试题中已知向量点积的范围，求向量夹角的范围等，提醒我们一线教师在教学与训练时不要放弃工具学科的作用与应用价值研究。
（3）注意做好综合知识运用的铺垫。
尤其是不等式、方程、函数、导数的综合及解决问题的方法研究，一点也不能松懈。
数学主干
知识名称
07年
08年
09年
17分
17分
22分
立
体
几
何
4T.已知平面外的两条直线在平面内的射影，给出四条直线的4个命题，判断真命题的个数。
18T.已知一条侧棱垂直于底面的三棱锥，底面为直角三角形。
斜边上的中点，当截面三角形的内角为θ，求证侧面与截面垂直。
当截面三角形内角变化时，求线面角的取值范围。
3T.球心距已知的平面截球，已知截面圆面积，求球的体积。
18T.已知直三棱柱中截面垂直于侧面。
求证：
两直线垂直，即底面为直角三角形。
给出线面角为θ，二面角为φ，判断并证明线面角θ与二面角φ的大小关系。
9T.已知球半径为时间t的函数关系，求球的表面积的增长速度与球的半径的比例关系，并确定比例函数。
13T.构造卫星传输信号覆盖地球表面，求两点球面距离的最大值。
18T.已知四棱锥，在侧棱上取一点E，求证两直线垂直，给出二面角，线面角的正切值之积为定值1，求点E位置。
有近三年的统计可以启示：
（1）对立体几何中的直线与平面的位置关系的考查变化较大对于传统的教材内容直线的位置关系，特别是难点内容的异面直线没有进行考查，而且是在直线在平面的射影选择了考查点，这给我们的备考留下了一大片冷点内容希望一线教师倍加关注。
（2）对于立体几何中的球体，保持了连续两年的考查，成为考试命题者关注的重点和热点，体现出湖北省高考数学试题在空间想象能力，空间图形中的线面关系初中平面几何予以综合，兵涉及球的表面积与体积公式的考查，提醒我们一线教师在这一章的复习备考中对重点内容的学与练不得掉以轻心。
⑶对于立体几何的中档题的考查，着力体现考查形式与类型的变化，有三棱锥，死棱锥，也有直三棱柱，但考查要求却呈现出一种风格，将直线与平面所成的角，二面角进行相关形式的有机整合，形成正逆的考查设问，并将点的位置的探索命题融于其中，体现了湖北省高考数学试题在知识的交汇点上命题的原则，并且在稳定的试题风格的基础上探索创新命题的尝试与突破，提醒我们一线教师在复习备考中不要固守成规，而要创新思维，研究方法启发学生思维培养学生能力，探索解决问题的思路与方法，探寻空间想象能力的培养途径。
⑷连续三年都考查了证明空间的两条直线垂直。
其中已知条件有直线垂直于平面，平面垂直于平面，而且在几何题的侧面与底面中有直角三角形，正方形等特殊几何图形，从而使传统的几何知识仍有重要的地位和重点体现的层面，并有新增内容的空间向量法的体现，不需要费太大的力气就能很快地建系，设点，构造空间向量、直接进入代数计算，及向量的坐标运算然后进行点积的计算即可使问题得以证明，体现出湖北省高考数学试题对立体几何中的重点及难点问题的考查不回避，提醒我们的一线教师对教材的重难点内容予以突破和重点把握的内容及方法突破。
数学主干
知识名称
07年
08年
09年
17分
17分
22分
平
面
解
析
几
何
7T.已知双曲线的一般方程及准线和焦点，已知抛物线的焦点与准线相同，求两个比值之差的值。
10T.已知直线的截距式的方程和定圆的方程，求直线与圆的公共点的坐标为整数的直线条数。
13T.线性规划问题，已知约束条件，求目标函数的最小值。
19T.给出抛物线的标准方程和一定点，运动点的直线与抛物线相交。
已知N为定点关于原点的对称点，求三角形面积的最小值。
探索是否存在直线，使L被以弦为直径的圆截成恒为定值。
9T.已知定点A和定圆的标准方程，过A作圆的弦，求弦长为整数的直线系数。
10T.以“嫦娥一号”探月卫星为背景，共焦点的两个椭圆，从而得到两个长轴与焦距，以长轴和焦距给出两个等式和不等式，判断命题为真个数。
1T.已知三个向量的坐标表示，求向量运算结果。
19T.给出定长为直径的半圆，有半径垂直于直径，圆弧上一点与圆心的连成含30°角.一动点到两定点距离差点绝对值为定值.看建立适当的直角坐标系，求动点轨迹方程，过定点的直线与曲线交于两点求与原点连成三角形面积不小定值时的直线斜率的范围。
7T.给出双曲线的标准方程.又含有一参数的椭圆的标准方程.含有参数的直线方程.已知两曲线共焦点求直线与椭圆有交点的直线斜率的取值范围。
8T.实际应用问题，家电下乡，给出两种车型及运输费，求运输费用最少。
20T.已知含参数P的抛物线的标准方程，过x轴上一动点的直线与抛物线交于不同两点，过交点向另一垂直于x轴的直线作垂线，当定点为抛物线的交点时，证明一定点与两垂足连线互相垂直。
以该定点与四点中连结得到三个三角形，探求x的值，使三个三角形的面成等比数列。
统计后给予我们的启示：
⑴线性规划的考查由开始的常规考查向实际问题的考查转变，要求考生能在文字叙述的基础下读懂题意，从而转化或抽象成具有线性约束条件的数学问题，既要对实际问题的背景有了解，同时对数学模型中的建模的能力培养要求较高。
体现了湖北省高考数学试题的稳重求变的命题原则提醒我们一线教师不仅会解线性规划的常规题也应注重应用问题的模型训练与建模的能力培养。
⑵对于平面解析几何中的重点问题：
圆锥曲线，保持了连续考查的态势，有椭圆、双曲线、的两两组合考查，也有两类曲线共焦点、共准线的特殊的位置，当然也有直线与圆锥曲线的位置关系的常规重点或热点内容的考查，更有创新型的“嫦娥一号”运行轨道变轨的椭圆同类曲线共焦点的全新考查、既有稳定、又有变异、还有创新。
从而提醒我们的教师对高考的变化及趋势的把握，特别是重点内容的突破，热点内容的追踪，当然还有冷点内容，平面向量与解析几何的综合，定比分点公式的运用，再就是圆锥曲线的定义以及与圆锥曲线定义相关的概念，焦点、准成离心率，焦点三角形，焦半径等知识点的衔接运用，都值得我们师生重视与关注。
⑶连续两年考查了以原点为圆的圆与直线的焦点问题且都与整数相关，一是交点的坐标为整数，二是截得的弦长为整数，且有定长为直径的圆与直线相交问题，幷有适当建系的考查、体现了湖北省高考数学试题对解析几何知识考查的全覆盖，提醒我们的复习备考不能留盲点，而且还应注意初中平面几何知识的再现掌握，让学生的基础知识的全面而牢固。
数学主干
知识名称
07年
08年
09年
5分
10分
10分
排列
组合
二项式
定理
1T.已知二项差的n次幂，且两项为字母的二次幂与二次幂的倒数给出展开式有常数项，求正整数n的最小值。
6T.5名志愿者分到3个不同场馆，每个场馆至少一名的分配方案种数。
14T.给出各种展开的系列等式如杨辉三角方式排列，求K次幂展开式中的特定项系数表达式。
5T.4名不同学生分到3个不同班级，每班至少一名，且有两个特殊元素不在同班的分配方法数。
6T.给出展开式将奇数项系数与偶数项系数和的平方差的极限值。
给予我们的启示：
⑴排列组合中的应用问题考查的是分配方案问题，其考查是要求逐步加深，并逐步附加限制条件
⑵对于二次展开式的考查逐步呈现出综合的态势也在逐步加深考查要求。
⑶我们的教师要防止冷点与忙点，并对重点与热点问题予以关注。
数学主干
知识名称
07年
08年
09年
22分
12分
22分
概率
与
统计
9T.掷骰子的点数两次为向量的坐标，已知一定向量求两向量夹角小于或等于90°的概率。
14T.运动员投球概率其中10次命中3次的概率。
17T.给出图表的区间频数，先要求画出直方图，求区间中的概率，估计期望。
17T.总计袋中20个球，并有称号为n的球就有n个，从中任取一球。
先求出的的分布列，期望与方差，在已知两量的线性关系时，给出期望与方差的值，求参数a、b的值。
3T.投掷骰子两颗，点数为复数的实部与虚部，求复数的积为实数的概率。
12T.给出样本直方图，求区间内的频数和概率。
16T.两个盒子有标号一片，分别取卡片，求两张卡片上数字和的分布列与期望。
统计的启示
⑴两次在投掷骰子所得的点数进行考查，分别是与解析几何中向量的坐标表示和点数为复数的实部与虚部，然后给出满足条件求概率，体现了概率问题的考查在知识的交汇点上问题，并且对概率的分布列，数学期望与方差进行连续的考查同时也对直方图进行不同形式的追踪。
体现湖北省高考数学试题在概率与统部分的考查，及关注背景材料和实际应用，同时又在与其他的数学主干知识的交汇点的综合考查进行了有益的探索与尝试，提醒我们的教师在平时的复习备考中，既要关注概率与统计问题的实际背景，同时更要关注学生综合应用所学知识解决实际问题的能力培养。
⑵对于概率问题的研究应着重关于教材的一些实际背景，如模球，考试，掷骰子，或理记模型，如正态分布，频率分布直方图随机变量的线性关系等，并掌握解决此类问题的关键是从事件背景，描述方法等数量结构特征上掌握分布类型如二项分布，几何分布，正态分布，从而根据类型特征进行计算。
⑶关注概率与统计部分的规范训练，无论是事件，还是叙述还有辩别类型，数据计算，作答。
逐渐培养学生规范解题，老师要有耐心持之以恒，树立学生信心，保证将概率问题的教学与备考效率提高。
数学主干
知识名称
07年
08年
09年
5分
5分
5分
平面
向量
9T.掷骰子两次的点数为向量的坐标，给出已知定向量，求两向量的夹角小于90°的概率。
1T.给三个已知向量的坐标表示，求向量运算和向量的点积的坐标。
1T.给出两向量集合都是用坐标表示，其中含参数求两向量集合的交集。
给予我们的考查的启示：
向量的考查，作为新增内容的基础部分，主要是在向量的坐标表示，向量的基础运算上进行了最基础的考查体现了湖北省高考数学试题的考查指导思想与原则，新增内容的考查有一个由浅入深，逐渐递进的要求。
综上统计分析与诸多启示，笔者认为：
湖北省高考数学在稳定上是做得相当成功的，没有大起大落，也不会引起社会反响的强烈但每年又有探索与创新，再创新的过程中，试题的考查形式与风格又在悄然发生改变，同时注意把握好下面的特点
以09年高考试题为例，与新教材{即课改教材}相衔接的内容已经体现，特别是选准了数列这一章作为探求点，09年试题的两道数列题：
数学史料题中的三角形数，正方形数直接来源与新教材。
又如角谷猜想，是值得我们去研究与深思的，也表明高考与课改的接轨。
（2）导数与立体几何的综合。
09年试题既有导数概念的理解，变化率，同时也有复合函数的求导，更值得我们关注。
（3）应用题的考度加大。
09年试题中，既有“家电下乡”，又有即时定义数学运算构造函数。
还有08年水库蓄水的函数应用更提醒我们传统内容又注入了新的活力。
总之，研究高考试题，既能使我们目标明确，方向对头，又能从中赏析创新的快乐，更能指导我们的教学与复习备考，既有轻松的愉悦，又有驾驭的快感，才能稳操胜券。
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