水工建筑物拱坝.docx

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水工建筑物拱坝

第三章　拱坝

学习要求

●目的：

1.　了解拱坝的发展概况和我国拱坝的建设成就，拱坝的特点，拱坝对地形地质条件的要求，拱坝的分类。

2.　掌握拱坝的最优中心角及拱厚的拟定方法；拱冠梁断面形式及尺寸的初拟；坝体轮廓布置的原则和拱坝的平面布置要求。

3.　理解拱坝的荷载特点，荷载组合。

了解拱坝的应力分析方法，地基变形对拱坝应力的影响。

掌握拱梁法的基本原理，纯拱法和拱冠梁法计算方法；地基变形计算方法，拱坝的应力控制标准。

4.　掌握拱坝的坝身泄水方式及泄水建筑物在布置上的特点。

●重点：

1.　拱坝的特点，拱坝对地形地质条件的要求。

2.　拱坝的最优中心角的确定，拱冠梁断面形式及尺寸的拟定，拱坝的平面布置。

3.　拱坝的荷载，纯拱法计算方法，拱梁法的基本原理和拱冠梁法计算方法。

4.　拱坝的坝身泄水方式及泄水建筑物在布置上的特点。

●难点：

1.　拱坝的适用条件，拱坝的分类。

2.　拱坝的平面布置。

3.　拱冠梁法的基本原理和计算方法。

4.　拱坝的坝身泄水方式。

学习要点

●章节学习内容：

1.　拱坝的发展概况和我国拱坝的建设成就。

2.　拱坝对地形地质条件的要求。

拱坝的最优中心角及拱厚的拟定。

拱坝的类型及布置；（定半径定中心、定中心角、变半径变中心及双曲率拱坝的特点）。

3.　拱坝坝体轮廓布置。

拱圈形式选择；圆弧拱圈中心角的拟定及影响因素；拱冠梁断面形式及尺寸的初拟；坝体轮廓布置的原则和要求；拱端的布置原则。

坝面倒悬的成因及其处理。

4.　拱坝的荷载和设计标准。

荷载特点、温度及地震荷载的计算；荷载组合。

5.　拱坝的应力分析。

应力分析方法综述；拱梁法的基本原理和计算方法；地基变形对拱坝应力的影响。

地基变形计算方法。

6.　拱坝的坝身泄水，泄水方式和特点、消能和防冲。

●学习要点：

1.　拱坝的特点、适用条件及拱坝的分类

2.　拱坝的基本尺寸和拱冠梁剖面的确定

3.　拱坝的荷载及应力计算

4.　拱坝的泄洪　

第一节　拱坝的特点、适用条件及拱坝的分类

一、概述　

我国是世界上修建拱坝最多的国家之一。

我国的中、低拱坝以砌石拱坝为主，高拱坝则以混凝土拱坝为主。

50~70年代我国建成了一批中、低砌石拱坝591座，成为我国砌石坝的主要坝型。

70年代后我国开始兴建坝高在100m左右的拱坝，如石门拱坝（88．0　m）、群英拱坝（100．5　m）、凤滩拱坝（112．5　m）等。

随着筑坝经验的积累和提高，80~90年代又相继建成一批坝高超过150m的高混凝土拱坝，如白山、龙羊峡、隔河岩等高混凝土重力拱坝，东江、二滩等高双曲拱坝，其中二滩双曲拱坝，最大坝高240　m，居世界第三位。

已完成可行性研究设计待建的高混凝土双曲拱坝还有小湾、拉西瓦、溪落渡。

我国已建和在建坝高大于100　m的拱坝　

序号　工程名称　工程所在的省　坝型　最大坝高（m）建成年代　

1　　　二滩　　　　四川　双曲拱坝　　　240　　　1999　

2　　　　小湾　　　云南　双曲拱坝　　　292　　　拟建　

3　拉西瓦　　　青海　双曲拱坝　　　250　　　拟建　

4　溪落渡　　　四川　双曲拱坝　　　273　　　拟建　

5　德基　　　台湾　双曲带边缘缝拱坝　　　181　　　1974　

6　　　龙羊峡　　　　青海　重力拱坝　　　178　　　1989　

7　　　李家峡　　　　贵州　双曲拱坝　　　165　　　1996　

8　　　东风　　　　贵州　重力拱坝　　　162　　　1994　

9　　　乌江渡　　　　贵州　重力拱坝　　　165　　　1983　

10　　　东江　　　　湖南　重力拱坝　　　157　　　1990　

11　隔河岩　　　　湖北　重力拱坝　　　151　　　1995　

12　　　白山　　　　吉林　重力拱坝　149.5　　　1986　

13　紧水滩　　　　浙江　双曲拱坝　　　102　　　1987　

14　　　凤滩　　　　湖南　空腹重力拱坝　112．5　　　1978　

世界上的高拱坝有建于1980年的萨扬-舒申斯克重力拱坝，坝高245　m，建于1986年的英古里双曲拱坝，坝高272　m，均位于前苏联。

二、拱坝的特点　

（1）在空间上，拱坝是一种三维壳体结构，属于高次超静定结构。

高次超静定结构具有超载能力（当拱坝局部开裂，拱坝拱和梁的作用会自行调整，坝体的应力会重分配。

国内外拱坝的破坏试验表明，在坝肩稳定的条件下，混凝土拱坝的超载能力可达设计荷载的5~11倍）。

温度变化和地基变形对坝体的应力的影响不能忽略。

抗震性能好。

（2）　拱坝是推力结构，坝体的应力状态以受压为主。

拱坝结构处于二向或三向受力状态，材料强度较单轴状态有所提高。

采用拱坝坝型，建筑材料的抗压强度可以充分发挥。

例：

　混凝土的抗压强度约为抗拉强度的10倍。

混凝土标号C20MPaC25　MPa　

抗压强度　fck　13.517.　

抗拉强度　　ftk　1.5　1.75

拱坝承受的荷载主要通过拱的作用传至两岸，拱坝的稳定取决于两岸坝端岩体的的稳定；重力坝是依靠自己的重量维持自身的稳定。

因此拱坝的体积可小，在坝高、坝址条件相同的情况下，拱坝的体积可为重力的1/1.5~1/5。

（3）拱坝可以看作是“拱”和“梁”的交织体，即坝体结构既有拱的作用，又有梁的作用　。

拱坝的荷载可由水平拱圈和垂直悬臂梁共同承担，水平拱圈将荷载传至两岸山体，垂直悬臂梁将荷载传至河床基岩。

（4）拱坝的泄水和施工导流问题容易解决。

三、拱坝的适用条件

１．地形条件

（1）河谷的宽高比　

河谷宽高比为L/H　

当L/H〈2　----可建薄拱坝

当L/H=2~3---　可建中厚拱

当L/H　〉3---　可建重力拱　

狭窄河谷上建造的拱坝，拱圈短而粗，拱刚度大；竖直梁相对长而细，则刚度较小.　坝体拱的作用大，坝体厚度可薄。

四、拱坝的分类　

1.按拱圈厚度分类　

拱坝可分为　

薄拱坝　TB/H　〈　0.2

中厚拱坝　TB/H　0.2~0.35

重力拱坝　TB/H　>0.35

为改善拱端应力状态,拱坝的水平拱圈可采用:

等厚拱　

变厚拱

2.按拱圈轴线形式分类　

园弧拱:

　轴线是园弧。

轴线为园弧拱轴线的园筒拱坝

二次曲线拱:

　轴线是抛物线、椭圆、双曲线等：

抛物线拱轴线

椭圆拱轴线

多心园拱:

　轴线是由两个、三个或四个不同圆心的园弧组成，两侧的弧段的半径比中间的大，有利于坝肩的稳定，压力分布趋于均匀。

二心拱轴线

三心拱轴线

对数螺旋线拱:

　是近年来较受重视的轴线形式，我国山西的陈村峪及黄河的拉西瓦均采用了对数螺旋线拱轴线。

对数螺旋线拱轴线

其中二次曲线拱、三心园拱轴线及对数螺旋线拱的优点为:

1、拱端曲率减小，拱端与岸坡等高线的夹角变大，有利坝肩稳定。

2、拱圈的压力线接近于中心线，应力趋于均匀。

3、轴线弧长较小

3.按拱圈间的几何关系分类　

1、定园心　、等外（内）半径拱坝　

①等内半径，适于坝顶溢流；

②等外半径，稳定性好，宜布置坝身泄水孔。

③定园心单曲率拱坝，结构简单，坝面无倒悬度，施工方便，但坝体应力分布不均匀。

在U形河谷中，采用定园心单曲率拱坝较为适宜。

定园心等外半径拱坝　

2、变园心单曲率拱坝

在V形河谷中，宜采用变园心、变半径，坝面无倒悬度的单曲率拱坝，以使坝体顶底拱圈分别采用适宜的中心角，改善坝体的应力状态。

3、变园心双曲率拱坝　

在V形河谷中，宜采用变园心、变半径，坝面有倒悬度的双曲率拱坝，以使坝体顶底拱圈分别采用适宜的中心角，同时有利于改善上游坝踵的应力状态。

4.按拱坝的体形分类　

1、园筒拱坝　

2、单曲率拱坝

特点：

①结构简单，设计、施工方便。

②下部拱圈的中心角较小，拱的作用不明显。

3、双曲率拱坝

　拱冠梁在（1/5~1/3）坝高处，向上游鼓出，利用壳体结构的力学特点，使材料的强度能充分发挥悬臂梁的倒悬造成的预压应力，可平衡水压力产生的拉应力各层拱圈的半中心角接近最优自下而上倒悬，利于坝顶溢流结构复杂，施工难度较大。

五、其它形式的拱坝

1.周边缝拱坝　

周边缝拱坝或称为铰拱坝，国外以意大利修建较多，如奥西埃塔双曲拱坝，建于1939年，坝高76.8m。

国内有白云江拱坝等中小型拱坝也采用周边缝拱坝。

周边缝拱坝的优点：

（1）周边缝可松弛坝体周边的弯曲应力，消除因温度、收缩等引起的应力，改善坝体的应力状态。

（2）周边缝与基岩间的垫座，对于坝体与基岩间的荷载传递，有扩散作用，使应力、变形均匀化。

（3）垫座的尺寸、形式可灵活调整，以适应不对称或不规则地形及有局部缺陷的坝基。

（4）垫座可提前施工，便于基础灌浆。

（5）　周边缝拱坝的施工程序复杂、对施工质量要求严格。

2.空腹拱坝　

当坝体较厚时，可修建空腹拱坝以减少坝体工程量，降低扬压力，有利于坝体散热；狭窄河谷上可利用空腹布置电站厂房。

国外如葡萄牙的本波斯达空腹拱坝，坝高86m，底厚42m，空腹宽14m，高20m。

我国的凤滩空腹重力拱坝，坝高112.5m，底厚65.5m,空腹宽20.5m，高40.2m，长255.8m,内设4台10万千瓦机组的电站厂房，经试验、原形观测，坝体应力较好，基本为压应力。

第二节　拱坝的基本尺寸和拱冠梁剖面

一、拱坝的半中心角的选择　

拱坝的半中心角的选择原则：

ФA的选择应满足　应力分布均匀、　拱坝的体积较小、拱端稳定性好。

1.由纯拱法分析　

纯拱法是拱坝应力计算方法之一（详细讲授见3.4.3）.按纯拱法分析,当拱坝各拱圈的半中心角ФA越大，拱端的拉应力越小，当ФA大于1650　，拱端上游面的拉应力变成压应力。

2.由园筒公式分析　

假定拱圈是一简单的园箍，忽略弯矩，只考虑轴力，拱圈的厚度可由下式园筒公式计算：

公式中各符号意义如下图示:

对园筒公式求极值,结果表明当ФA=66.610时，拱圈体积最小。

3.由坝肩稳定分析　

　推力方向与河岸等高线交角α越大，拱端越稳定

ФA越小，α越大---拱端越稳定

ФA越大，α越小---拱端不稳定

要求推力方向与河岸等高线交角α≥300

4.由拱端基岩开挖量分析　

ФA越大，拱端基岩开挖量增加。

ФA越小，拱端基岩开挖量减少。

　综合分析：

Ф　A可在350~550之间选取　。

为满足应力要求，坝顶、底ФA可取稍小些，在（1/2~1/3）坝高处，ФA可取大些。

二、拱坝的基本尺寸和拱冠梁剖面

1.坝顶的厚度TC、坝基厚度TB　

经验公式：

式中：

K—经验系数，一般K取0.35　

L1　Ln-1—分别为顶拱和倒数第二层拱圈拱座可利用岩面的直线距离,m　。

H—拱冠梁的高度，m　

[σ]—坝体混凝土的容许压应力，KPa　

RZ　—顶拱轴半径，初估时可取　　,m　。

美国垦务局建议的公式：

　（m）　

　（m）　

式中：

Ll：

坝顶高程处拱端可利用基岩面间河谷宽度，m　

L2：

坝底以上0.15H处拱端可利用基岩面间河谷宽度，m　

说明:

1、我国《水工设计手册》建议的公式是根据混凝土的强度确定的,　美国垦务局建议的公式是根据拱坝设计资料总结出来的,可互为参考。

2、　拱顶的厚度,无交通要求,一般为3m~5m,不小于3m。

顶拱的厚度不仅对坝体上部应力有影响，而且对拱冠梁附近的梁底应力也有较大的影响。

当河谷上部较宽　时，适当加大坝顶厚度，有利于降低梁底上游面的拉应力。

3、　拱底厚度还应取决于坝高、坝型、河谷地形、地质等因素。

如：

薄拱坝　TB/H　〈0.2

中厚拱坝　TB/H　0.2~0.35

重力拱坝　TB/H　>0.35　

2.拱冠梁剖面　

1、单曲率拱：

首先由经验公式计算顶底拱圈的厚度，再根据坝址处的地形地质条件综合分析确定。

1）等内半径、等外半径、等轴半径

2）内半径，适于坝顶溢流

3）等外半径，稳定性好，宜布置坝身泄水孔　

2、双曲率拱：

上游面曲线：

Z=-x1（y/H）+x2（y/H）2

应满足的两个条件：

当y=β1H时,　　

当y=H时,　z=-β2TH　

x1=2β1x2　

x2=　

式中，β1、β2为经验系数，β1=0.6~0.65，β2=0.3~0.6

三、拱坝的平面布置　

拱坝平面布置的任务是：

拟定拱冠梁剖面和拱圈的尺寸，通过平面布置，确定各高程拱圈的半径、中心角和厚度。

具体步骤：

（1）在坝址地形图上，确定基岩的可利用等高线及河谷对称中心线。

（2）　拟定拱冠梁剖面，进行分层，确定各层拱圈的高程及厚度。

（3）　布置顶层拱圈　

a.选择半中心角Φ角，量出顶拱内弧弦长；　

b.出顶拱内弧半径和圆心

c.画出顶层拱圈，要求拱轴线与基岩等高线的交角α≥30

（4）　布置其他各层拱圈　

假定圆心位置，由各层拱圈的厚度，画出拱圈　

量出相应半径和半中心角ΦA　

检查拱轴线与基岩等高线的交角，要求　α≥30　

（5）　坝面检查　

拱冠梁处的圆心轨迹线平顺、光滑　

拱冠梁处的圆心轨迹线　

坝面倒悬度　Δα/H〈0.3　

（6）应力稳定计算,修改坝体体形及尺寸.

第三节　拱坝的荷载及应力计算

一、拱坝的荷载

拱坝上的荷载有:

①水平荷载　——水压力、泥砂压力、浪压力;

②铅直荷载　——　自重、扬压力、水重　

③温度荷载和地震荷载

1.温度荷载　

温度荷载是拱坝的主要荷载之一。

温度荷载起因于远行期坝体混凝土实际温度与封拱时坝体的温度的差值。

该温差引起拱坝的伸缩和弯扭，在坝体内产生约束应力，即称为温度应力。

温变引起坝体的径向变位约占总径向变位的1/3~1/2　

1、温降时：

拱坝的轴线缩短，向下游变位，由此产生的剪力、弯矩的方向与水压力产生的剪力、弯矩的方向相同；轴力的方向与水压力产生的方向相反。

--------------对坝体应力不利。

2、温升时：

拱坝的轴线伸长，向上游变位，由此产生的剪力、弯矩的方向与水压力产生的剪力、弯矩的方向相反，轴力的方向与水压力产生的方向相同。

--------------对坝肩稳定不利。

均匀温度荷载估算的经验公式：

美国垦务局经验公式　　

我国规范推荐的公式　　

式中：

t：

温度最大变幅

T：

计算高程处的拱圈厚度

说明：

1）实际坝体温度沿坝体厚度方向呈曲线分别，可分解为三部分：

均匀温度变化t　是温度荷载的主要部分。

沿坝体厚度的温度梯度t，对薄拱坝的影响不大，　中小工程可不考虑。

非线性温度变化t　，可不计。

2）混凝土的徐变，对温度应力有很大的影响。

《钢筋混凝土设计规范》：

考虑混凝土的徐变特性，温度应力可减少35%。

混凝土的徐变：

构件沿受力方向的塑性变形增加，对应力重分布有利。

2.地震荷载　

对于拱坝,采用拟静力法计算地震作用效应时,　沿建筑物高度作用于质点i的水平向地震惯性力代表值计算同重力坝：

　=　　

式中：

　　—为作用在质点i的水平向地震惯性力代表值;

　　　　　—为水平向设计地震加速度代表值；

　　　　　—为地震作用的效应折减系数,一般取0.25;

　　　　　—为集中在质点i的重力作用标准值;

　　　　g—为重力加速度。

各层拱圈各质点水平向地震惯性力沿径向作用,其　在坝顶取3.0,坝基取1.0，沿高程按线性内插,沿拱圈均匀分布。

3.竖直荷载　

1、自重：

整体浇筑：

自重由梁承担，通过梁的变位影响拱。

分段浇筑：

最后封拱，自重仅由梁承担，不考虑对拱的影响。

2、水重：

分层计算水重对梁的变位，通过梁的变位影响拱。

3、扬压力：

考虑坝基扬压力的影响　。

二、荷载组合　

荷载组合分为基本荷载组合和特殊荷载组合。

需考虑的荷载如下：

（1）水压力　

①正常蓄水位或设计洪水位时的上、下游静水压力；相应于正常蓄水位或设计洪水位时的扬压力。

②校核洪水位时的上、下游静水压力和动水压力；相应于校核洪水位时的扬压力。

③水库死水位或最低水位时的上、下游静水压力。

④　施工期遭遇洪水时的静水压力。

（2）自重：

坝体及其上的永久性设备的自重　

（3）泥砂压力及浪压力　

（4）温度荷载　

①设计正常温降

②设计正常温升

③接缝灌浆部分坝体设计正常温降

④接缝灌浆部分坝体设计正常温升　

（5）地震力　

（6）冰压力　

拱坝的荷载组合应根据各种荷载同时出现的实际可能性，选择最不利的情况，作为坝体应力和坝肩稳定分析的依据。

组合情况详见《混凝土拱坝设计规范》。

三、拱坝变位　

拱坝是超静定结构，地基变形对坝体变形和应力的影响很大，目前国内广泛采用的是1952年由挪威F.伏格特提出的近似计算方法。

由于作出了一些假定，该方法计算复杂且与实际情况有较大的出入。

伏格特法的简化计算方法：

（1）假定基岩为均质各向同性的半无限弹性体；

（2）将实际坝基面摊开成的不规则平面用一等效矩形a*b替代，　取　;　

（3）坝体材料与基岩材料的弹模相等，且基岩面与水平拱端正交。

基岩变位系数简化为：

式中：

——分别为单位弯矩、单位水平（垂直）压力、单位剪力分别作用于基岩面上产生的角变位、水平（垂直）变位、剪变位。

——分别为基岩的弹模和坝底的宽度。

四、拱坝的应力计算　

1.拱坝的应力计算方法综述　

拱坝是一个变厚度、变曲率，边界条件十分复杂的壳体结构，目前的理论计算，需作必要的假定和简化。

拱坝的应力计算方法有：

（1）纯拱法　

假定：

坝体由若干层独立的水平拱圈迭和而成，将问题简化为结构力学的弹性拱的计算问题。

与实际弹性拱相比：

①拱圈的厚度大，所承受的轴力、剪力大;

②拱圈轴力大，将引起较大的轴向变形;　基岩变形显著，不能忽略.　

存在的问题：

忽略了拱圈间的相互作用，全部荷载由拱承担，使计算应力大于实际应力。

适用条件：

狭窄河谷上的薄拱坝，拱的作用大。

（2）拱梁法　

假定拱坝是由许多水平拱圈和竖直悬臂梁组成，拱坝的外荷载一部分由拱系承担，一部分由梁系承担，拱和梁各自承担荷载比例，按变形协调条件分配。

一般将拱坝分为七　拱十三梁、五拱九梁（梁站在拱端上）。

拱冠梁（七拱一梁、五拱一梁）是拱梁法的简化计算方法。

拱冠梁法的适用条件：

①大体对称、比较狭窄河谷上的拱坝；　

②高坝的初步设计；　

③中低坝的技术设计。

（3）有限单元法

有限单元法是更简便、有效、极有发展前途的方法。

该法能模拟拱坝逐级加荷的施工过程，多种材料拱坝和复杂的边界条件，能求解空间问题。

2.拱坝的应力控制标准　

应力控制标准与计算方法有关。

1、拱坝是以抗压强度承担外水压力，当　时，拱坝急剧破坏，　因此对　要求高。

我国采用的应力控制标准为：

对压应力　=4.0~4.5　　

对拉应力　=2.0　　

2、当　较小时,拱坝局部开裂，坝体应力可自行调整，使裂缝发展到一定程度而　停止。

裂缝的危害不如重力坝那样严重，允许坝体出现一定限度的拉应力。

3、国外，有提高允许拉应力，减小安全系数的趋向。

3.纯拱法　

1）基本公式　

假定：

M0　V0　H0为拱冠处的超静定力；　

MP　VP　HP为外荷载在任意截面处产生的超静定力；　

任意截面的内力：

　M=M0+H0y+V0x-MP　

H=H0cos　-V0sinΦ+HP　

V=H0sinΦ-V0cosΦ-VP　

式中，M0　V0　H0可由“力法”方程求得，即：

切口处转动连续条件：

　A1M0+B1H0+C1V0=D1　

切口处径向位移连续条件：

C1M0+B2H0+C2V0=D2　

切口处切向位移连续条件：

B1M0+B3H0+B2V0=D3　

式中，A1、　B1、B2、B3、C1、C2，与拱圈尺寸及基础变形有关的形常数；　D1、D2、D3，与拱圈尺寸、基础变形及外荷载有关的载常数。

2）利用数表计算拱圈应力　

纯拱法的原理虽比较简单，但形常数、载常数的计算工作量较大。

为简化计算，可利用已制成的数表直接求解拱冠梁和拱端内力。

选择数表时，应考虑其假定的情况与实际情况相近。

美国垦务局制成的数表查用简介：

假定

（1）　坝体材料弹模与基岩材料弹模之比　　；　

（2）　>岸坡角　，河谷呈U形；　

（3）　坝基轮廓展开面的等效矩形长宽比　　；

（4）　均匀径向荷载　，平均温度变化　　；　

（5）　坝体材料弹模E与热胀系数之积为1000KPA.C　

步骤：

（1）均匀径向荷载为P时，　P=水平水压力+泥砂压力+浪压力　

拱冠梁内力：

拱端内力：

式中：

R：

拱圈的轴半径；　

P：

均匀径向荷载　。

h0、m0、ha、ma、va；为由T/R、　查得的拱圈内力系数。

（2）均匀温度变化时

拱冠梁内力：

拱端内力：

　、　、　

式中:

E：

坝体材料弹模；　

t：

温升值或温降值；温升时，t取正，温降时，t取负；　

：

热胀系数。

4.拱冠梁法　

（1）基本思路　

a.将拱坝划分为5~7层拱圈，在拱冠处取一根竖直悬臂梁。

b.直荷载由梁承担，通过梁的变位影响拱。

c.温度荷载由拱承担，通过拱的变位影响梁。

（2）荷载分配方程组　

仅对水平荷载进行分配，设

a.第i层拱圈高程处水平荷载强度为　

b.第i层拱圈高程处竖直梁的荷载强度为　

c.第i层拱圈高程处水平拱的荷载强度为　

令：

：

单位均布荷载作用在第i层拱圈上，使之在拱冠处产生的径向变位------拱的变位系数　。

：

　第i层拱圈由于温度荷载作用，在拱冠处产生的径向变位　。

　：

梁的i点在竖直荷载作用下，产生的径向变位　。

　：

梁的j点作用着单位水平荷载　在i点产生的径向变位。

拱圈在i点的径向变位：

（　　）　+　

竖直梁在i点的径向变位：

　　+　　

拱和梁在i点的径向变位一致，则有：

　+　　=（　）　+　----荷载分配

方程组　:

式中　

、　、　、　：

可由力学方法求解　。

：

方程待求的未知数　。

（3）αij的构成

例：

A、梁在单位水平荷载作用下：

a1点的径向变位=a11+a12+　a13+a14+　a15=　　

B、若x1、x2、　x3、x4　梁上各点的水平荷载，

1点的径向变位=a11x1+a12x2+　a13　x3+a14　x4+　a15　x5=　　

i点的径向变位=ai1x1+ai2x2+　ai3　x3+ai4　x4+　ai5　x5

C、令j=1、2、3、4、5----N

i点的径向变位=　　

D、i点的径向变位不仅与i点的水平荷载有关，而且与梁上所有的水平荷载有关。

（4）梁的变位计算　

梁上的任意点的径向变位为：

水平荷载产生的　　

竖直荷载产生的　　之和

梁在水平荷载作用下

梁在水平荷载作用下变位计算示意

i　截面的径向变位与外荷载在i　截面上产生的内力有关。

即与

截面上的弯矩M　i----　　

截面上的剪力Vi----　　

地基的角变位　----　　

地基的线变位　---　有关

即，　　=　　+　　+　　+　

梁在竖直荷载作用下　

梁在竖直荷载作用下径向变位计算示意图　

i　截面的径向变位与外荷载在i　截面上产生的内力有关。

即与

截面上的弯矩M　i----　　

地基的角变位　---　有关

即，　=　+　

将求解　将转化为求解、　、　、　这四个变位系数，可由力学方法求解。

（5）拱的径向变位计算

拱的径向变位计算，可按照纯拱法利用已制成的数表（美国垦务局制成的数表），直接求解拱冠处在水平荷载和温度荷载作用下的径向变位　、。