当a＝1时，对任意x∈（0,1）有f′（x）＝（x2－1）ex<0，f（x）符合条件；当a＝0时，对于任意x∈（0,1），f′（x）＝－xex<0，f（x）符合条件；当a<0时，因f′（0）＝－a>0，f（x）不符合条件．
故a的取值范围0≤a≤1.
15、已知sin
π
α＋
6－cosα＝
1
，则2sinαcos
3
π
α＋
6＝（）
55
A．－B.
1818
77
C．－D.
99
[答案]B[解析]2sinαcos
π
α＋
6＝2sinα
3
cosα－
2
1
sinα
2＝
3
sin2α－
2
1－cos2α
＝
2
sin
π
2α＋1
6－
2
，又由于sin
π
α＋
6－cosα＝
3
sinα＋
2
1
cosα－cosα＝
2
31
sinα－
22
cosα＝
π
α－1
sin
6＝，
3
π2α＋
π
π2α＋
－6
π
－2α
π
α－27
π
α＋7
又sin
6＝cos2
＝cos3
＝1－2sin2
6＝1－＝
，所以2sinαcos6＝
999
15
－＝.
218
[方法点拨]1.已知条件为角α的终边过某点时，直接运用三角函数定义求解；已知条件为角α的终边在某条直线上，在直线取一点后用定义求解；已知sinα、cosα、tanα中的一个值求其他值时，直接运用同角关系公式求解，能用诱导公式化简的先化简．
2．已知tanα求sinα与cosα的齐次式的值时，将分子分母同除以cosnα化“切”代入，所求式为整式时，视分母为1，用1＝sin2α＋cos2α代换．
3．sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ知一求其他值时，利用关系（sinθ±cosθ）2＝1±2cosθcosθ.
要特别注意利用平方关系巧解题．已知某三角函数式的值，求另一三角函数式的值时，关键是分析找出两三角函数式的联系恰当化简变形，再代入计算．
16、已知角α的终边经过点A（－3，a），若点A在抛物线y＝－
1
x2的准线上，则sinα＝（）
4
33
A．－B.
22
1
1
C．－D.
22
1
[答案]D[解析]由已知得抛物线的准线方程为y＝1，故A（－3，1），所以sinα＝.
2
17、函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（其中A>0，ω>0，|φ|<
π
）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin3x的图象，
2
则只要将f（x）的图象（）
πA．向右平移
π
个单位长度B．向右平移
个单位长度
412
πC．向左平移
个单位长度D．向左平移
π
个单位长度
412
5ππ
[答案]B[解析]由题知，函数f（x）的周期T＝4（－
2π2π2π
）＝，所以＝，
12433ω
5π解得ω＝3，易知A＝1，所以f（x）＝sin（3x＋φ）．又f（x）＝sin（3x＋φ）过点（
12
，－1），
所以sin（3×
5π
＋φ）＝－1，所以3×
12
5π
＋φ＝2kπ＋
12
3
π，k∈Z，
2
所以φ＝2kπ＋
π
，k∈Z，又|φ|<
ππ
，所以φ＝
π
，所以f（x）＝sin（3x＋
）＝sin[3（x＋
π
）]，
424
412
所以将函数f（x）的图象向右平移
π
个单位长度可以得到函数g（x）＝sin3x的图象，故选B.
12
[方法点拨]1.已知正弦型（或余弦型）函数的图象求其解析式时，用待定系数法求解．由图中的最大值或最小值确定A，再由周期确定ω，由图象上特殊点的坐标来确定φ，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．
将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点．“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为ωx0＋φ＝0＋2kπ（k∈Z），其他依次类推即可．
2．解答有关平移伸缩变换的题目时，向左（或右）平移m个单位时，用x＋m（或x－m）代替x，向下（或
xy
上）平移n个单位时，用y＋n（或y－n）代替y，横（或纵）坐标伸长或缩短到原来的k倍，用
代替x（或代替
kk
y），即可获解．
18、已知α∈R，sinα＋2cosα＝
10
，则tan2α＝（）
2
43
A.B.
34
3
C．－
4
4
D．－
3
[答案]C[解析]本题考查三角函数同角间的基本关系．将sinα＋2cosα＝
10
两边平方可得，
2
5
sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝
2
3
，∴4sinαcosα＋3cos2α＝.
2
3＋4tanα31
将左边分子分母同除以cos2α得，
＝，解得tanα＝3或tanα＝－，
1＋tan2α23
∴tan2α＝
2tanα
3
＝－.
1－tan2α4
19、函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<
π
）的图象关于直线x＝
2
π
对称，它的最小正周期为π，则函
3
数f（x）图象的一个对称中心是（）
πA．（
，1）B．（
π5π
，0）C．（
，0）D．（－
π
，0）
312
1212
[答案]B[解析]由题意知T＝π，∴ω＝2，
π由函数图象关于直线x＝
3
对称，得2×
ππ
＋φ＝
32
＋kπ（k∈Z），即φ＝－
π
＋kπ（k∈Z）．
6
πππππk
又|φ|<
2
，∴φ＝－
，∴f（x）＝Asin（2x－
6
），令2x－
66
＝kπ（k∈Z），则x＝
＋π（k∈Z）．
122
π
∴一个对称中心为（
12
，0），故选B.
20、在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是（）
2
A．－
3
21
B.C.
22
1
D．－
2
[答案]B[解析]由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，可得
tanA＋tanB
＝－1，即tan（A＋B）＝－1，
1－tanA·tanB
所以A＋B＝
3π
，则C＝
4
π
，cosC＝
4
2
，故选B.
2
21、已知函数f（x）＝cosx·sin
π
x＋
3－3cos2x＋
3
，x∈R则f（x）在闭区间
4
ππ
-，
44上的最大值和最小值
分别为．
[答案]
111
、－[解析]f（x）＝
422
sinxcosx＋
3
cos2x－3cos2x＋
2
31
＝sin2x－
44
33
（cos2x＋1）＋
44
1
＝sin
2
2x－
π
3，当x∈
ππ
-，π
44时，2x－∈
3
5ππ
-，
66，∴sin
π2x－
3∈
1
－1，
2.∴f（x）∈
11
-，
24.
ωx
22、已知f（x）＝3sinωx－2sin2
2
（ω>0）的最小正周期为3π.
π
（1）当x∈[
2
3π
，]时，求函数f（x）的最小值；
4
（2）在△ABC中，若f（C）＝1，且2sin2B＝cosB＋cos（A－C），求sinA的值．
[解析]∵f（x）＝3sin（ωx）－2·
1－cosωx
2
π
＝3sin（ωx）＋cos（ωx）－1＝2sin（ωx＋
6
）－1，
第10页共90
2π22π
由＝3π得ω＝
，∴f（x）＝2sin（x＋
）－1.
ω336
π3ππ2
π2π
2π33
（1）由
≤x≤
2
得≤x＋≤
4236
，∴当sin（x＋）＝
3362
时，f（x）min＝2×
2
－1＝3－1.
2π2π
（2）由f（C）＝2sin（C＋
3
）－1及f（C）＝1，得sin（C＋
63
）＝1，
6
π2π5π
2πππ
而≤C＋≤
636
，所以
6
C＋＝
36
，解得C＝.
22
在Rt△ABC中，∵A＋B＝
π
，2sin2B＝cosB＋cos（A－C），∴2cos2A－sinA－sinA＝0，
2
－1±5
5－1
∴sin2A＋sinA－1＝0，解得sinA＝
2
.∵02
5π5π5π
23、已知函数f（x）＝2sin（x＋
24
）cos（x＋
24
）－2cos2（x＋
24
）＋1.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．
[解析]
（1）∵f（x）＝2sin（x＋
5π5π
）cos（x＋
2424
5π
）－2cos2（x＋
24
）＋1＝sin（2x＋
5π5π
）－cos（2x＋）
1212
＝2[sin（2x＋
5π
）·cos
12
π
－cos（2x＋
4
5π
）·sin
12
π5π
]＝2sin[（2x＋）－
412
ππ
]＝2sin（2x＋）．
46
2π
∴f（x）的最小正周期T＝
2
＝π.
（2）由
（1）可知f（x）＝2sin（2x＋
π
）．当－
6
ππ
＋2kπ≤2x＋≤
26
ππ
＋2kπ（k∈Z），即kπ－
23
π
≤x≤kπ＋
6
（k∈Z）
时，
函数f（x）＝2sin（2x＋
π
）是增函数，∴函数f（x）的单调递增区间是[kπ－
3
π
，kπ＋
3
π
]（k∈Z）．
6
24、
已知tanα＝2.
π
α＋sin2α
（1）求tan4的值；
（2）求的值．
sin2α＋sinαcosα－cos2α－1
π
πtanα＋tan
α＋4tanα＋12＋1
[解析]
（1）tan4＝＝＝＝－3，
π1－tanα1－2
1－tanαtan
4
sin2α2sinαcosα
（2）＝
sin2α＋sinαcosα－cos2α－1sin2α＋sinαcosα－2cos2α－1－1
2sinαcosα2tanα2×2
＝＝＝＝1.
sin2α＋sinαcosα－2cos2αtan2α＋tanα－222＋2－2
25、在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝（）
10310525
A.B.C.D.
101055
[答案]B[解析]由已知条件可得图形，如图所示，
设CD＝a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，∴a2＝（
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