中考一轮复习数学几何专题三角形压轴训练一.docx
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中考一轮复习数学几何专题三角形压轴训练一
2022年中考一轮复习数学几何专题:
三角形压轴训练
(一)
1.如图1,△ABC中,∠ABC=α,0°<α<90°,分别以AB、BC为边在△ABC外部作△ABD和△BCE,且BD⊥BC,BE⊥AB,点F为AC边中点,连接DE、BF.
(1)如图2,当α=30°,AD=BD,BE=CE时,写出DE与BF之间的数量关系,并说明理由;
(2)如图3,当α=45°,AD=BD,BE=CE时,写出DE与BF之间的数量关系,并说明理由;
(3)当BD=
,AB=4,BE=
,BC=4
,cosα=
时,直接写出AC和BF的长.
2.如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°.
(1)如图1,点D、E都在△ABC外部,连结BD和CE相交于点F.
①判断BD与CE的位置关系和数量关系,并说明理由;
②若AB=2,AD=
,求BF2+CF2+DF2+EF2的值.
(2)如图2,当点D在△ABC内部,点E在△ABC外部时,连结BE、CD,当AB=3,AD=
时,求BE2+CD2的值.
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BC=14,过点A作AD⊥BC于点D,E为腰AC上一动点,连接DE,以DE为斜边向左上方作等腰直角△DEF,连接AF.
(1)如图1,当点F落在线段AD上时,求证:
AF=EF;
(2)如图2,当点F落在线段AD左侧时,
(1)中结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)在点E的运动过程中,若AF=
,求线段CE的长.
4.如图1,已知Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D是AB上一点,且AC=8,∠DCA=45°,AE⊥BC于点E,交CD于点F.
(1)如图1,若AB=2AC,求AE的长;
(2)如图2,若∠B=30°,求△CEF的面积;
(3)如图3,点P是BA延长线上一点,且AP=BD,连接PF,求证:
PF+AF=BC
5.
(1)问题提出:
如图1,已知等边△ABC的边长为2,D为BC的中点,P是AD上一动点,则BP+
AP的最小值为 .
(2)问题探究:
如图2,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=30°,AC=
,在三角形内有一点P满足∠APB=∠BPC=120°,求PA+PB+PC的值.
(3)问题解决:
如图3,某地在脱贫攻坚乡村振兴中因地制宜建造了3个特色农产品种植基地A,B,C.现需根据产品中转点P修建通往种植基地A,B,C的道路PA,PB,PC,方便农产品的储藏运输,根据地质设计,PB路段每米造价是PA的
倍,PC路段每米造价是PA的2倍.已知AB=BC=2000米,∠ABC=30°,要使修建3条道路费用最小,即求PA+
PB+2PC的最小值.
6.如图,△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,点D为BC边上一点.
(1)如图1,若AD=AM,∠DAM=120°.
①求证:
BD=CM;
②若∠CMD=90°,求
的值;
(2)如图2,点E为线段CD上一点,且CE=1,AB=2
,∠DAE=60°,求DE的长.
7.如图△ABC为等腰直角三角形,∠A=90°,D、E分别为AB、AC边上的点,连接DE,以DE为直角边向上作等腰直角三角形DEF,连接BE、BF.
(1)如图1,当CE=AD时,求证:
BF⊥BD;
(2)如图2,H为BE的中点,过点D作DG⊥BC于点G,连接GH.求证:
BF=2HG;
(3)如图3,BE与DF交于点R,延长BF交AC于点P,∠APB的角平分线交BE于点Q.若点E为AC上靠近点A的三等分点,且tan∠AED=
,请直接写出
的值.
8.如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,点E,F分别为AB,AC的中点,H为线段EF上一动点(不与点E,F重合),将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG,连接GC,HB.
(1)证明:
△AHB≌△AGC;
(2)如图2,连接GF,HG,HG交AF于点Q.
①证明:
在点H的运动过程中,总有∠HFG=90°;
②若AB=AC=4,当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形?
9.在△ABC中,AB=AC,点D平面内一点,M是BD中点,连接AM,作ME⊥AM.
(1)如图1,若点E在CD的垂直平分线上,∠BAC=m°,则求∠DEC的度数(用含m的式子表示);
(2)如图2,当点D在CA延长线上,且DE⊥BC,若tan∠ABC=k,则求
的值(用含k的式子表示).
10.【知识再现】
学完《全等三角形》一章后,我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简称‘HL’定理)”是判定直角三角形全等的特有方法.
【简单应用】
如图
(1),在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E分别在边AC、AB上.若CE=BD,则线段AE和线段AD的数量关系是 .
【拓展延伸】
在△ABC中,∠BAC=α(90°<α<180°),AB=AC=m,点D在边AC上.
(1)若点E在边AB上,且CE=BD,如图
(2)所示,则线段AE与线段AD相等吗?
如果相等,请给出证明;如果不相等,请说明理由.
(2)若点E在BA的延长线上,且CE=BD.试探究线段AE与线段AD的数量关系(用含有a、m的式子表示),并说明理由.
11.问题探究:
(1)如图①,已知在△ABC中,BC=4,∠BAC=45°,则AB的最大值是 .
(2)如图②,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,D为△ABC内一点,且AD=2
,BD=2,CD=6,请求出∠ADB的度数.
问题解决:
(3)如图③,某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区△ABC,且AB=AC.∠BAC=120°,点A、B、C分别是三个任务点,点P是△ABC内一个打卡点.按照设计要求,CP=30米,打卡点P对任务点A、B的张角为120°,即∠APB=120°.为保证游戏效果,需要A、P的距离与B、P的距离和尽可能大,试求出AP+BP的最大值.
12.已知等边△ABC的边长为8,点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合).
(1)如图1.当PB=3AP时,△BPC的面积为 ;
(2)直线l是经过点P的一条直线,把△ABC沿直线l折叠,点B的对应点是点B′.
①如图2,当PB=5时,若直线l∥AC,求BB′的长度;
②如图3,当PB=6时,在直线l变化过程中.请直接写出△ACB′面积的最大值.
13.如图,点P从O出发沿y轴负方向运动,过P作y轴的垂线分别交OA、OB于点M,N,已知A(a,﹣6),B(2,b),a,b满足
,AB与y轴交点为C.
(1)求A,B两点坐标.
(2)计算△AOB的面积,并求:
当P为OC中点时点P的坐标.
(3)若y轴负半轴平分∠AOB,Q为直线BA与NM的延长线的交点,探究∠Q、∠OAB、∠OBA之间的数量关系,并证明.
14.已知:
平面直角坐标系中,A(a,3)、B(b,6)、C(c,1),a、b、c都为实数,并且满足3b﹣4c=﹣a﹣12,2b+3c=5a+26.
(1)请直接用含a的代数式表示b和c.
(2)当实数a变化时,判断△ABC的面积是否发生变化?
若不变,求其值;若变化,求其变化范围.
(3)当实数a变化时,若线段AB与y轴相交,线段OB与线段AC交于点P,且S△PAB>S△PBC,求实数a的取值范围.
15.等腰Rt△BAC中,AB=AC,点D为AC边上一点,连接BD并延长至点F,连接AF,作CE⊥BF于点E.
(1)如图1,若AB=AF,∠ABD=30°,DE=1,求EF的值;
(2)如图2,连接AE,若AE平分∠FAC,猜想线段CE、AE、BF之间的数量关系,并证明你的猜想;
(3)如图3,点M在等腰Rt△BAC内,点N在等腰Rt△BAC外,AM⊥AN,AM=AN,连接CN,线段AK是△CAN中CN边上的中线,若tan∠BAM=
,
=
,直接写出
的值.