学年湖北省智学联盟高一上学期联考数学试题解析版1.docx
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学年湖北省智学联盟高一上学期联考数学试题解析版1
2021-2022学年湖北省智学联盟高一上学期12月联考数学试题
一、单选题
1.已知集合,集合,则( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【分析】先化简集合A,B,再利用集合的交集运算求解.
【详解】因为集合,
集合,
所以,
故选:
A
2.命题“,”的否定是( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【分析】由全称命题的否定:
将任意改存在并否定原结论,写出原命题的否定即可.
【详解】由全称命题的否定为特称命题,
∴原命题的否定为:
.
故选:
D
3.设,,,则( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】根据对数函数单调性以及指数函数单调性判断选择即可.
【详解】已知可得:
,
且,则,即,
又,
故选:
D.
4.已知函数有两个不同零点,则实数a的取值范围为( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【分析】将已知转化为方程有两个不同的根,令,转化为有两个不同的根,等价于函数与有两个不同的交点,数形结合可得解.
【详解】函数有两个不同零点,等价于方程有两个不同的根,
即方程有两个不同的根,
令,则转化为有两个不同的根,
等价于函数与有两个不同的交点,
作出两个函数的图像,如下图
数形结合可知,实数a的取值范围为
故选:
C
5.函数的图象与函数的图象关于直线对称,则的单调递减区间为( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【分析】由的图象与的图象关于直线对称,可得的解析式,代入化简,利用指数函数的单调性求解即可.
【详解】的图象与的图象关于直线对称,则,
,其单调减区间为
故选:
A
6.2018年5月至2019年春,在阿拉伯半岛和伊朗西南部,沙漠蝗虫迅速繁衍,呈指数增长,引发了蝗灾,到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦,假设蝗虫的日增长率为5.2%,最初有只,则经过( )天能达到最初的1000倍(参考数据:
,,,).
A.22B.132
C.139D.184
【答案】C
【分析】设过天能达到最初的1000倍,由已知条件可列式,化简整理并解出的值,两边同取自然对数,计算即可.
【详解】设过天能达到最初的1000倍,
由已知条件得,即,
两边同取自然对数得,
解得,
则过天能达到最初的1000倍.
故选:
.
7.对函数,如果存在使得,则称与为函数图像的一组奇对称点.若(为自然数的底数)存在奇对称点,则实数的取值范围是
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】由题意,函数存在奇对称点,即函数图像上存在两点关于原点对称,可设两点为,,即,,因为关于原点对称,所以,即,因为,所以,故选B.
8.设函数,若对任意的实数a,b,总存在使得成立,则实数的最大值为( )
A.-1B.0C.D.1
【答案】C
【分析】函数可以转化为函数与函数
横坐标相等时,纵坐标的竖直距离,通过分析函数的图象即可.
【详解】由已知得
设构造函数满足,即,解得,
则,令,
则函数可以理解为函数与函数在横坐标相等时,纵坐标的竖直距离,
∵,且(当且仅当时取等号),
∴若设直线的方程为,直线的方程为,由此可知当,直线位于直线和直线中间时,纵坐标的竖直距离取得最大值中的最小值,故,
所以实数的最大值为.
故选:
.
二、多选题
9.已知,则下列结论正确的为( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
【答案】CD
【分析】根据不等式的性质,逐个判断选项即可.
【详解】若,则,故选项A错误;
因为若,所以,若,则,故选项B错误;
因为,所以,所以,故选项C正确;
若,则,又因为,所以根据不等式的同向可加性,得,故选项D正确;
故选:
CD.
10.已知函数,给出下述论述,其中正确的是( )
A.当时,的定义域为
B.当时,的值域为R
C.对任意的,均无最小值
D.若在区间上单调递增,则实数a的取值范围是
【答案】ABC
【分析】A.由求解判断;B.由能取遍所有的正数判断;C.由是由复合而成的判断;D.根据在区间上单调递增,由复合函数的单调性求解判断.
【详解】A.当时,,则,解得或,所以的定义域为,故正确;
B.当时,,能取遍所有的正数,所以的值域为R,故正确;
C.令,则复合函数是由复合而成的,而无最小值,所以对任意的,均无最小值,故正确;
D.若在区间上单调递增,由复合函数的单调性知:
在区间上单调递增,则解得,
又在区间上恒成立,则,解得,所以实数a的取值范围是,故错误;
故选:
ABC
11.已知实数a,b,c满足,则下列关系式中可能成立的是( )
A.B.C.D.
【答案】ABC
【解析】令,则,在同一直角坐标系中作出函数,,的图象,任意作一条直线分别与函数,交于、两点,数形结合即可判断出,即可得正确答案.
【详解】令,
由指数函数的性质知:
,
所以,,,
在同一直角坐标系中作出函数,,的图象如图:
所以,故选项C正确;
此时故选项B正确;
此时故选项A正确;
任意作一条直线分别与函数,交于两点,无论取何值,总在的上方,所以当取相同的正值时,总有,,故D选项不可能成立,
故选:
ABC
【点睛】本题主要考查了对数和指数比较大小,采用数形结合的方法,属于中档题.
12.设,若对任意的,都有恒成立,则的值可以为( )
A.0B.1C.3D.5
【答案】CD
【分析】根据给定条件可得,再分析函数式与的值的正负情况即可作答.
【详解】显然,因对任意的不恒成立,
因对任意的,都有恒成立,则当时,,
当时,,必有,若,则,矛盾,若,当时,,矛盾,
因此,,当时,,当时,,
当时,若,则,此时,不符合题意,
因此,,当时,,当时,,
要恒成立,当且仅当,即,而,
从而得或,解得或,
所以或.
故选:
CD
三、填空题
13.已知幂函数为定义域上的奇函数,则________.
【答案】
【分析】根据幂函数的定义及奇偶性即可求解.
【详解】函数为幂函数,则,解得:
或
又函数为奇函数,则为奇数,故
故答案为:
14.若函数与(且)的图象经过同一个定点,则的值是________.
【答案】25
【分析】根据指数函数和对数函数图象过定点求出给定函数图象过的定点,列式求出m,n的值即可计算作答.
【详解】函数图象过定点,函数图象过定点,
依题意,,解得,则
所以的值是25.
故答案为:
25
15.已知函数,,且,,,…,,,则满足条件的函数的一个解析式为________.
【答案】
【分析】用连乘法求,然后用归纳法归纳一个结论.
【详解】由己知得,,
,
,又,
故答案为:
16.已知函数(且),若存在不同的实数,,,满足,则________.
【答案】.
【分析】设,分别解出,,,,代入所求式子中计算即可.
【详解】不妨设,则设,
即或,
则可令,,,,
,,
.
故答案为:
.
四、解答题
17.
(1)已知,求的值;
(2)计算:
.
【答案】
(1),
(2).
【分析】
(1)把所给的式子进行平方运算,即可求出的值,找到和的关系即可求出的值;
(2)化根式为分数指数幂,把对数式的真数用对数的运算性质拆开,再用对数的运算性质求解即可.
【详解】
(1)由得,
由得,
故.
(2)
18.已知函数的定义域为集合,函数的定义域为集合,
(1)当时,求;
(2)设命题,命题,的充分不必要条件,求实数的取值范围.
【答案】
(1)或
(2)或
【分析】
(1)根据解分式不等式求出集合;把的值代入得到,由可求出集合,从而可求;
(2)通过解含参不等式可求出集合;根据的充分不必要条件可得出A是B的真子集,从而可求出实数的取值范围.
(1)
由,得,即,
∴;
当时,,
由,得或,∴或,
∴或
(2)
由得,
∴或,∴或,
因为p是q的充分不必要条件,所以A是B的真子集,
∴或,即或,
所以a的取值范围是或.
19.已知函数,其中,且.
(1)讨论关于x的不等式的解;
(2)若关于x的方程在上有解,求实数m取值范围.
【答案】
(1)当时,不等式无解;当时,其解为或.
(2)
【分析】
(1)根据的范围分类讨论,然后再解不等式;
(2)先脱离对数,再分离变量,最后通过单调性解决问题.
(1)
①若时,,则有,即不成立,故无解;
②若时,,则有,即,
解得或.
综上可知:
当时,不等式无解;
当时,其解为或.
(2)
由可得,
因为,所以有,
令,可知其在是单调减函数,
所以,即.
所以.
20.已知函数是上的偶函数.
(1)解不等式;
(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
【答案】
(1);
(2).
【解析】
(1)先利用偶函数的定义求出,设,则不等式即为,再解关于x的不等式即可;
(2)问题转化为在恒成立,设,(t<0),则在时恒成立,即可求出的取值范围.
【详解】
(1)为偶函数
恒成立,
恒成立,
即恒成立,
,,
,
,
设,则不等式即为,
,
所以原不等式解集为.
(2)在上恒成立,
即:
在上恒成立,
令,则,
在时恒成立,所以,
又,当且仅当时等号成立,
则.
所以.
21.高邮某企业为紧抓高邮湖环境治理带来的历史性机遇,决定开发生产一款大型净水设备.生产这款设备的年固定成本为万元,每生产台()需要另投入成本(万元),当年产量不足台时,(万元);当年产量不少于台时,(万元).若每台设备的售价为万元,经过市场分析,该企业生产的净水设备能全部售完.
(1)求年利润(万元)关于年产量(台)的函数关系式;
(2)年产量为多少台时,该企业在这一款净水设备的生产中获利最大?
最大利润是多少万元?
【答案】
(1);
(2)89台,最大利润是1401万元.
【分析】
(1)根据利润销售额成本,通过分类讨论,即可求出年利润关于年产量的函数关系式;
(2)通过求分段函数的最大值即可得出答案.
(1)
当时,
;
当时,
.
综上所述,.
(2)
当时,
,当时,此时最大值为1250;
当时,
,
当且仅当,即时,等号成立.
所以当年产量为89台时,该企业在这款净水设备的生产中获利润最大,最大利润是1401万元.
22.如图,已知A(x1,m)、B(x2,m+2)、C(x3,m+4)(其中m≥2)是指数函数f(x)=2x图象上的三点.
(1)当m=2时,求f(x1+x2+x3)的值;
(2)设L=x2+x3﹣x1,求L关于m的函数L(m)及其最小值;
(3)设ABC的面积为S,求S关于m的函数S(m)及其最大值.
【答案】
(1)48;
(2)L(m)=log2log2(4+6);(3)S=log2(),Smax=2﹣log23.
【分析】
(1)由m=2时,得到=2,=4,=6,利用指数幂的运算求解;
(2)由=m,=m+2,=m+4,得到x1=log2m,x2=log2(m+2),x3=log2(m+4),代入L(m)=x2+x3﹣x1即可,然后结合复合函数的单调性,利用基本不等式求解;
(3)分别过A,B,C作AD⊥x轴,BE⊥x轴,CF⊥x轴,交x轴于D,E,F,由S=S梯形ADFC﹣S梯形BEFC﹣S梯形ADEB,结合复合函数的单调性求解.
【详解】
(1)当m=2时,A(x1,2)、B(x2,4)、C(x3,6),
即=2,=4,=6,
∴f(x1+x2+x3)==2×4×6=48.
(2)∵=m,=m+2,=m+4,
∴x1