江苏省高等数学竞赛试题汇总.docx
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江苏省高等数学竞赛试题汇总
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）
填空题（每题4分，共32分）
sinxsin（sinx）lim
x0sinx
6.圆
2jx22yz20的面积为
xyz4x2y2z19
8.级数1（jT门!
的和为
n12nn!
.（10分）
b
设f（x）在a,b上连续，且bf（x）dx
a
af（x）dx0.
3.（10分）已知正方体ABCDA1BQD1的边长为2，E为D1C1的中点，F为侧面正方
形BCGB的中点，
（1）试求过点A1,E,F的平面与底面ABCD所成二面角的值。
（2）试求过点A1,E,F的平面截正方体所得到的截面的面积.
四（12分）已知ABCD是等腰梯形，BC//AD,ABBCCD8,求AB,BC,AD的长，使
得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。
五（12分）求二重积分cos2xsin2ydxdy，其中D:
x2y21,x0,y0
六、（12分）求
X0x1
x2yexdxx1ydy，其中为曲线22从
xy2x1x2
O0,0到A1,1
七.（12分）已知数列耳单调增加，a11,a22,a35,L,an13anan1
1
n2,3,L,记Xn—，判别级数Xn的敛散性.
ann1
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）
一填空题（每题4分，共32分）
sinxsin（sinx）
1.Iim
x0sinx
2.yarctanx2extanx，y/
3.设由xyyx确定yyx，贝卩也
dx
2（n）/、
4.
ycosx，y（x）
6.zf（2xy,-），f可微，f/（3,2）2,f2/（3,2）3，则dz（x,y）（2,1）
y
7设fu,v
可微,
由F
22
xz,yz
0确定zzx,y，贝U二—
xy
8.设D:
x2
2
y
2x,y
0，则,x2
D
y2dxdy
二.（10分）设a为正常数，使得x2eax对一切正数x成立，求常数a的最小值三.（10
11
分）设fx在0,1上连续，且0f（x）dx0xf（x）dx，求证：
存在点0,1，使得
0f（x）dx0.
4.（12分）求广义积分^rdx
21x4
五•（12分）过原点0,0作曲线ylnx的切线，求该切线、曲线ylnx与x轴所围
成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积
使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大
七（12分）求二重积分cosxsin2ydxdy，其中D:
x2y21,x0,y0
D
2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）
•填空题（每题5分，共40分）
2.a=
时f（x）=ln（1-ax）+x在x?
0时关于x的
4.
通过点（1,1,-1）与直线x=t,y=2,z=2+t的平面方程为
5.设z=
6.设D为y=x,x=0,y=1围成区域，贝U蝌arctanydxdy=
D
7.设G为x2+y2=2x（y?
0）上从0（0,0）到A（2,0）的一段弧，则
Q（yex+x）dx+（ex-xy）dy=
Y
8.幕级数?
nxn的和函数为，收敛域为。
n=1
2.（8分）设数列｛Xn｝为X1二、.3,X2=3-.3,L,xn+2=:
3-'3+xn（n=1,2,L）
证明：
数列｛xn｝收敛，并求其极限
（8分）设f（x）在［a,b］上具有连续的导数，求证
四.（8分）1）证明曲面S:
x=（b+acosq）cosj,y=asinq,z=（b+acosq）sinj
（0#q2p,0#j2p）（02）求旋转曲面S所围成立体的体积
5.（10分）函数u（x,y）具有连续的二阶偏导数，算子A定义为
1）求A（u-A（u））；2）利用结论1）以x=-,h=x-y为新的自变量改变方程x
2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）
3.
8.级数
n1
1n1、'n1pn条件收敛时，常数p的取值范围是
np
二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通,若开车的最大速度为100公里/小时，求证：
该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值
三.（10分）曲线的极坐标方程为1cos0，求该曲线在所对应的
24
点的切线L的直角坐标方程，并求切线L与x轴围成图形的面积.
四（8分）设f（x）在，上是导数连续的有界函数，fxfx1，
求证：
fx1.x,
五（12分）本科一级考生做：
设锥面z23x23y2（z0）被平面x3z40截下的有
限部分为•
（1）求曲面的面积；
（2）用薄铁片制作的模型，A（2,0,2、、3）,B（
为上的两点，0为原点，将沿线段0B剪开并展成平面图形D，以OA方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D的边界的极坐标方程.
本科二级考生做：
设圆柱面x2y21（z0）被柱面zx22x2截下的有限部分为.
为计算曲面的面积，用薄铁片制作的模型，A（1,0,5）,B（1,0,1）,C1,0,0为上的三
点，将沿线段BC剪开并展成平面图形D，建立平面在极坐标系，使D位于x轴正上方,
2
六（10分）曲线X
y
点A坐标为0,5，写出D的边界的方程，并求D的面积.
2z绕Z轴旋转一周生成的曲面与z1,z2所围成的立体区域记为
0
本科一级考生做
1
22
xy
2dxdydzz
本科二级考生做
22
xy
z2dxdydz
的收敛域也为1,1；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；若不正确
举一反例说明.
本科二级考生做：
求幂级数.“今乂汽的收敛域与和函数
.填空（每题5分，共40分）
2.
X1t2
lim-e1dt
3.
x00x3
lim,x23x2axb0，则a,b
x
5.设由xzeyz确定zz（x,y），贝Udze,0
6.函数fx,yexaxby2中常数a,b满足条件时，f1,0为
其极大值.
2exe
7.交换二次积分的次序1dx1fx,ydy.
x
1
8.设D:
2xx2y2,0yx2，贝Udxdy
dJx2y2
2.（8分）设fxaxbsinxcx0，试问a,b,c为何值时，fx在x0处一阶
ln1xx0
导数连续，但二阶导数不存在.
3.（9分）过点1,5作曲线:
yx3的切线L，
（1）求L的方程；
（2）求与L所围成平面图形D的面积；（3）求图形D的x0部分绕x轴旋转一周所得立体的体积.
四（8分）设f（x）在,上是导数连续的函数，f00，fxfx1，
求证：
fxex1.x0,
五（8分）求
1arctanx
dx
六（9分）本科三级做：
设fx,y
xy
22tan
xy
0
x,y0,0
x,y0,0
证明fx,y在点0,0处可微,
并求
dfx,y
0,0
民办本科做：
设圆柱面x2y2
1（z
0）被柱面z
x2
2x
2截下的有限部分为.为计算
曲面的面积，用薄铁片制作
的模型，A（1,0,5）,B（
1,0,1）,C1,0,0为上的三点，将
沿线段BC剪开并展成平面图形
D，建立平面在极坐标系，使D位于x轴正上方，点A坐
标为0,5
，写出D的边界的方程，并求D的面积.
七（9分）
本科一级考生做：
用拉格朗日乘数法求函数
2
fx,yx
.2xy2y2在区域
x22y2
4上的最大值与最小值.
八（9分）
设D为yx,x
y0所围成的平面图形,
2
cosx
ydxdy.
2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）
.填空（每题5分，共40分）
1.
fx是周期为的奇函数，且在x0处有定义,
时,
2.
3.
4.
5.
xsinx
lim
x—
2
lim
n
sinx
cosx2，求当x
2’时，fx的表达式
2
tanx
n
n21
fxx21n1x,n
x
e1x2dx
x
xe
7.设fx,y可微，f1,22,fx1,23,fy1,24,xfx,fx,2x
则1
8.设fxgx
0x1
其他，为
y，则
fyfxydxdy.
D
（10分）设fx在a,b上连续，fx在a,b内可导，f（a）a,,
点距离为t，作PQ垂直于yx，交D的边界yx24于Q
1）试将P,Q的距离PQ表示为t的函数；
2）求D饶yx旋转一周的旋转体的体积
四（10分）已知点P（1,0,-1）,Q（3,1,2）,在平面x-2y+z=12上求一点M,PM+MQ最小
五（10分）求幕级数1xn的收敛域。
n1n3n2n
六（10分）设fx,y可微，f1,22,fx1,22,fy1,23，
xffx,2x,2fx,2x，求1.
22
七（10分）求二次积分d21ed
02
2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）
一.填空（每题5分，共40分）
1.fx是周期为的奇函数，且在x0处有定义，当x0,时，
2
fxsinxcosx2，求当x,时，fx的表达式.2
2
tanx
3.limsinx
x—
2
4.lim
n
n
n21
n24L
n2
n2
5.fxx21n1x,n2时fn0
x
ce1x
6.2dx
x
xe
7.zarctan—,dz11.
y
x0x1
8•设fxgx,D为x,y，则
0其他
fyfxydxdy.
D
二.（10分）设fx在a,b上连续，fx在a,b内可导，f（a）a,,
（10分）设D:
y2x24,yx,2xy4，在D的边界yx上任取点P,设P到原
点距离为t，作PQ垂直于yx，交D的边界y2x24于Q
1）试将P,Q的距离PQ表示为t的函数；
2）求D饶yx旋转一周的旋转体的体积
四（10分）设fx在,上有定义，fx在x0处连续，且对一切实数X1X有
f为x2f为fx2，求证：
fX在,上处处连续。
1
五（10分）上k为常数，方程kx-10在0,恰有一个根，求k的取值范围。
x
六（10分）已知点P（1,0,-1）,Q（3,1,2）,在平面x-2y+z=12上求一点M，使
PM+MQ最小
七（10分）求幕级数
n1n3n2n
xn的收敛域
2002年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）
一.填空（每题5分，共40分）
2.
设fx在1,上可导，下列结论成立的是
22
5.曲线:
；2；y，在点的切线的参数方程为
6.设zf—gex,siny，f有二阶连续导数，g有二阶连续偏导数,
x
13x
7.交换二次积分的次序Qdx乂2fx,ydy.
11
8.幂级数1—L—xn的收敛域
n12n
2.（8分）设fx在0,上连续，单调减少，0ab，
ba
求证aof（x）dxbof（x）dx
3.（8分）设fx在a,b上连续，f（x）dxf（x）exdx0，求证：
fx在a,b内
aa
至少存在两个零点.
4.（8分）求直线丫—绕y轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与
y0,y2所包围的立体的体积
敛？
何时发散?
可偏导性？
可微性.
222
xyzdxdydz
LT
下沿曲线AB从A0,1运动到B0,1，
力F的大小等于P到定点M3,4的距离，其方
向垂直于线段MP，且与y轴正向的夹角为锐角，求力F对质点P做得功.
2002年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）
.填空（每题5分，共40分）
x-.-x
c0，则k
’ee
1.limkc
X0xk
2.设fx在1,
上可导，下列结论成立的是
A.若limf
x
则fx在1,
上有界
B.若limf
x
则fx在1,
上无界
C.若limf
x
则fx在1,
上无界
3.设由ey
1x确定y
y（x），则y0
4.arcsinx
arccosxdx
6.设zf
gex,siny,f有二阶连续导数，g有二阶连续偏导数,
2
则一
xy
13x
7.交换二次积分的次序dx2fx,ydy.
0x
8.函数fx,y2xy1满足方程x2y25的条件的极大值为
极小值为
二.（8分）设fx在0,上连续，单调减少，0ab，
（8分）设fxkxsinx，1）若k1，求证fx在,上恰有一个零点；2）
若k0，且fx在，上恰有一个零点，求常数k的取值范围.
4.（8分）求ex1sinxdx
5.
01cosx
ydxdy
2000年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）
.填空（每题3分，共15分）
.1.设fxIX冈，贝yffx
3.已知dxfx
5..设zzx,y由方程F丿0确定（F为任意可微函数）
xx
贝Ux—y—
xy
二选择题（每题3分，共15分）
1
2x1
1.对于函数y钻」，点x0是（）
2^1
A.连续点；B.第一类间断点；C.第二类间断点；D可去间断点
2.
0（X00），则
已知函数yfx对一切x满足xfx3xfx1ex，若fx0
（）
A.fxo是fx的极大值；B.xo,fxo是曲线yfx的拐点；
C.fX。
是fx的极小值；
Dfx0不是fx的极值，x0,fx0也不是曲线yfx的拐点
3.lim（）
x3x32x2
A.等于1；B.等于0；C.等于1；D不存在，但也不是
4.若丄wx0,y0都存在，则fx，y在x0,y0
xy
A.极限存在，但不一定连续；B.极限存在且连续；
C.沿任意方向的方向导数存在；D极限不一定存在，也不一定连续
5.
设为常数，则级数Sinn
于这两个零点之间的零点。
yx24x1所围成的平面图形面积最小。
九（8分）求级数nx1n的收敛域及和函数•
n1
十（8分）设fx在a,b上连续且大于零，利用二重积分证明不等式:
b1
xdxdx
afx
十（8分）计算曲线积分Ilx44xy3dx6x2y25y4dy，其中L为曲线
21
y1x3上点A（2,1）沿逆时针方向到该曲线上点B3,0的一段曲线。
5
十二（8分）计算曲面积分4zxdydz2zydzdx1z2dxdy，其中为曲面
zey（0ya）绕z轴旋转一周所成曲面之下侧
2000年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）
一.填空（每题3分，共15分）
1•已知—fx2-，则fx设
dxx
1
2.limtanx亦
x0
3.—dx
x1
26门
4若级数2n6a收敛，则a的取值为n16nn
a.
5.fxfxsinxdx
a
二选择题（每题3分，共15分）
e2x1
1.函数fx，的可去间断点为（）
xx1
A.
x0,1
；B.x1；
C.x0；
D无可去间断点
11y
2.改变积分次序dy2
0'y21
fx,ydx
（
）
1
JX
0
jr~x
1
1x
A.
dx
1
Efx,ydy；
B.1dx0
fx,ydy0
dxf
0
x,ydy；
14
fx
1
1x
C.
dx
0
廿x，ydy；
Ddx
1
TTTf
x,ydy
3.
设fx
可导，Fx
fx1
sinx
，若欲使F
x在x
0可导，则必有（
）
A.
f0
0；B.f0
0；C.
f0
f00；
Df0
f00
4.若丄，丄都存在，则fx,y在心％
xy
A.连续且可微；B.连续但不可微；
C.可微但不连续；D不一定可微，也不一定连续
1
5.fx,ye2xxy22y在点-1处取（）
ee
A.极大值B.极小值；C.不取极大值；D极小值e
22
、In1xaxbx2设lim厂
x0x.2
edt
0
yx24x1所围成的平面图形面积最小。
x
八（6分）当x0时，Fxox2t2ftdx的导数与x2为等价无穷小，求f0
九（8分）求幕级数2n1x2n1的收敛域及和函数•
n1
十（8分）将fxarctan1一x展开为x的幕级数，并指出收敛区间。
1x
（8分）
十二（8分）
设函数fx在
上连续，且满足
t2
y2dxdyt4，求fx
1arctanx,?
dx022
1x
4.已知点A4,0,0,B（0,2,0）,C（0,0,2）,O为坐标原点，则四面体OABC的内接球面方程
为
5.设由xzeyz确定zz（x,y），贝Udze,0
6.函数fx,yexaxby2中常数a,b满足条件时，f1,0为
其极大值.
7.设是yasinx（a0）上从点0,0至U,0的一段曲线，a时，曲线积分
2
x2ydx2xyeydy取最大值.
—dx
4x1x
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