两次相遇行程问题的解法.docx

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两次相遇行程问题的解法

两次相遇行程问题的解法

在小学阶段关于行程的应用题是作为一种专项应用题出现的，简称“行程问题”。

有一种“行程问题”中出现了第二次相遇（即两次相遇）的情况，较难理解。

其实此类应题只要掌握正确的方法，解答起来也十分方便。

例1．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。

求A、B两地间的路程。

[分析与解]根据题意可画出下面的线段图：

由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。

两车同时出发同时停止，共行了3个全程，说明两车第二次相遇时甲共行了8×3＝240（千米），从图中可以看出来甲车实际行了一个全程多60千米，所以A、B两地间的路程就是：

240－60＝180（千米）

例2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米处相遇。

求A、B两地间的路程。

[分析与解］根据题意可画出线段图：

由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地8O千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。

两车同时出发同时停止，共行了3个全程。

说明两车第二次相遇时甲车共行了：

80×3＝24O（千米），从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少60千米，所以A、B两地间的路程就是：

（24O＋6O）÷2＝150（千米）

可见，解答两次相遇的行程问题的关键就是抓住两次相遇共行三个全程，然后再根据题意抓住第一次相遇点与三个全程的关系即可解答出来。

例3AB两城间有一条公路长240千米，甲乙两车同时从A、B两城出发，甲以每小时45千米的速度从A城到B城，乙以每小时35千米的速度从B城到A城，各自到达对方城市后立即以原速沿原路返回，几小时后，两车在途中第二次相遇？

相遇地点离A城多少千米？

    分析:

    从图上可以看出，甲乙两人第一次相遇时，行了一个全程。

然后甲乙两人到达对方城市后立即以原速沿原路返回，当小华和小明第二次相遇时，共行了3个全程，这时甲乙共行了多少个小时呢？

可以用两城全长的3倍除以甲乙速度和就可以了。

    解：

（1）甲乙出发到第二次相遇时共行了多少千米？

240×3=720（千米）

（2）甲乙两人的速度和是多少？

45+35=80（千米）

         （3）甲乙两人从出发到第二次相遇共用了多少小时？

720÷80=9（小时）

        （4）相遇地点离A城多少千米？

35×9-240=75（千米）

    答：

9小时后，两车在途中第二次相遇，相遇地点离A城75千米。

AB两地相距119千米，甲乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，并连续往返于甲、乙两地。

甲车每小时行42千米，乙车每小时行28千米。

几小时后两车在途中第三次相遇？

相遇时甲车行了多少千米？

第一次相遇需要时间：

119/（42+28）=119/70=17/10=1.7小时

第二次相遇需要时间：

238/（42+28）=238/70=3.4小时

第三次相遇需要时间：

（5.1×28-119）×2/（42-28）=3.4小时

1.7+3.4+3.4=8.5小时,

甲行42×8.5=336+21=357千米

小华和小明同时从甲、乙两城相向而行，在离甲城85千米处相遇，到达对方城市后立即以原速沿原路返回，又在离甲城35千米处相遇，两城相距多少千米？

    分析:

    从图上可以看出，小华和小明两人第一次相遇时，行了一个全程，小华行了85千米。

当小华和小明第二次相遇时，共行了3个全程，这时小华共行了3个85千米，如果再加上35千米，相当于小华行了2个全程，甲乙两地全长也就可以求出来了。

解：

（1）甲乙出发到第二次相遇时，小华共行了多少千米？

85×3=255（千米）

（2）甲乙两城相距多少千米？

（255+35）÷2=290÷2=145（千米）

答：

两城相距145千米。

甲、乙辆摩托车同时从A、B两地相对开出，两车在途中距A地80千米处第一次相遇，然后两车继续前进，卡车达到B地，摩托车到达A地后都立刻返回，两车又在途中距B地20千米处第二次相遇，A、B两地间的路程是多少千米？

第一次相遇时,两车一共行了1个全程,其中甲行了80千米；

第二次相遇时,两车一共行了3个全程,则甲行了80×3=240千米；

已知,第二次相遇时,甲车行了1个全程还多20千米,

可得：

A、B两地间的路程是240-20=220千米.

客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两车相遇后又以原来的速度继续前进，客车到达乙站后立即返回，货车到达甲站后也立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行216千米。

求甲乙两站相距多少千米？

    分析

    如图，从出发到第二次相遇时，客车和货车共行3个全程，在这段时间里客车一共比货车多行216千米，客车每小时比货车快54-48=6千米，这样可以求出行3个全程的时间为216÷6=36小时，由此可求出行一个全程时间：

36÷3=12小时，因而可以求出甲乙两站的距离。

     解：

①从出发到第二次是两车行驶的时间：

216÷（54-48）=36（小时）

         ②从出发到第一次相遇所用的时间：

36÷3=12（小时）

         ③甲乙两站的距离：

（54+48）×12=1224（千米）

     答：

求甲乙两站相距1224千米。

甲城、乙城相距90千米，小张与小王分别从甲、乙两城同时出发，在两城之间往返行走（到达另一城城后马上返回）。

在出发后2小时两人第一次相遇。

小王到达甲城后返回，在离甲城30千米的地方两人第二次相遇。

小张每小时走多少千米？

小王每小时走多少千米？

2小时第一次相遇

也就是说两个人的总速度为90/2=45千米每小时

第二次相遇,总共走了3段全程,一个全程用2小时,三个就用6小时

而甲走了一个全程又30千米,也就是120千米,所以速度为120/6=20千米每小时

所以乙的速度就是45-20=25千米每小时

甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车速度分别为每小时60千米和48千米，有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙三车相遇。

求丙车的速度。

    分析:

    解答的关键是求出卡车的速度，从图上明显看出，甲车6小时的行程与乙车7小时的行程差正好是卡车的速度。

再根据速度和、相遇时间和路程三者之间的关系，求出丙车速度。

    解：

（1）卡车的速度：

（60×6-48×7）÷（7-6）=24÷1=24（千米）

（2）AB两地之间的距离：

（60+24）×6=504（千米）

        （3）丙车与卡车的速度和：

504÷8=64（千米）

        （4）丙车的速度：

64-24=40（千米/小时）

    答：

丙车的速度每小时40千米。

甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲、乙两人从A地，丙一人从B地同时相向出发，丙遇到乙后2分钟又遇到甲，A、B两地相距多少米？

∵丙遇到乙后2分钟又遇到甲

∴丙与乙相遇时甲乙间距为：

2×（70+50）=240（米）

∴乙丙相遇时用时

240÷（60-50）=24（分钟）

∴A地与B地的距离：

24×（60+70）=3120（米）

由于双方运动时没有告诉我们具体时间，所以以双方行一个全程为标准来研究他们之间的关系。

以双方行一个全程时某一方行多少路程为基础，求出两次（或两次以上）相遇时某一方一共行了多少路程是解答两次（或两次以上）相遇问题的关键。

在分析过程中，如果巧妙地辅之过程图，就能达到化繁为简、化抽象为形象的效果。

1、甲乙两地相距258千米。

一辆汽车和一辆拖拉机同时分别从两地相对开出，经过4小时两车相遇。

已知汽车的速度是拖拉机速度的2倍。

相遇时，汽车比拖拉机多行多少千米？

2、甲乙两车分别从A、B两站同时出发，相向而行，第一次相遇时在距A站28千米处，相遇后两车继续前进，各自到达B、A两站后，立即沿原路返回，第二次相遇距A站60千米处。

A、B两站间的路程是多少千米？

3、小张与小王早上8时分别从甲、乙两地同时相向出发，到10时两人相距112.5千米；继续行进到下午1时，两车相距还是112.5千米。

问两地相距多少千米？

4、甲每分钟走80米，乙每分钟走60米。

两人分别从A、B两地同时出发，在途中相遇后继续前进，先后分别到B、A两地后即刻沿原路返回，甲乙二人又再次相遇。

如果AB两地相距420米，那么两次相遇地点之间相距多少米？

5、小冬、小青两人同时从甲、乙两地出发相向而行，两人在离甲地40千米处第一次相遇。

相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距乙地15千米处第二次相遇，甲乙两地相距多少千米？

6、甲乙两站相距360千米，客车和货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行60千米，货车每小时行40千米。

客车到达乙站后停留0.5小时，又以原速返回甲站，两车相遇地点离乙站多少千米？

7、小张、小王两位运动员进行竞走训练，小张从甲地、小王从乙地两人同时出发，在两地之间往返行走（到达另一地后就马上返回）。

在离甲地3.5千米处他们第一次相遇，又在小张离开乙地3千米处第二次相遇。

这样继续下去，当他们第四次相遇时，距甲地多少千米？

8、如图，A、B是圆上直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向而行，他们在C点第一次相遇，C离A有80米，在D点第二次相遇，D点离B点有60米，求这个圆的周长。

【课外拓展】1、86千米   2、72千米  3、262.5千米   4、120米

【走进赛题】1、210千米    2、60千米    3、5.5千米   4、360米

二次相遇问题的解题思路

1、直线二次相遇

甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）.在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少？

　解：

画示意图如下：

　　如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的3倍，因此所需时间是40×3÷60＝2（小时）.从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了

　　6×2-2＝10（千米）.小王已走了6＋2=8（千米）.　因此，他们的速度分别是

　　小张10÷2＝5（千米/小时），　小王8÷2=4（千米/小时）.

　　答：

小张和小王的速度分别是5千米/小时和4千米/小时.

　知识要点提示：

甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。

一般知道AC和AD的距离，主要抓住第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。

　　例题：

　　1.甲乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，它们各自到达对方车站后立即返回，在距A地42千米处相遇。

请问A、B两地相距多少千米？

　　A.120　B.100　C.90　D.80

　　【答案】A。

解析：

设两地相距x千米，由题可知，第一次相遇两车共走了x，第二次相遇两车共走了2x，由于速度不变，所以，第一次相遇到第二次相遇走的路程分别为第一次相遇的二倍，即54×2=x-54+42，得出x=120。

54乘3再减