求二元函数极限的几种方法.docx
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求二元函数极限的几种方法
1.二元函数极限观点剖析
定义1设函数f在D
R2上有定义，P0是D的聚点，A是一个确立的实数.
假如关于随意给定的正数
，总存在某正数
使得P
U0（P0;）ID时，都有
f（P）A,
则称f在D受骗P
P0时，以A为极限，记limf（P）
A.
PP0
PD
上述极限又称为二重极限.
2．二元函数极限的求法
2.1利用二元函数的连续性
命题
若函数f（x,y）在点（x0,y0）处连续，则limf（x,y）f（x0,y0）.
（x,y）（x0,y0）
例1
求f（x,y）x2
2xy在点（1,2）的极限.
解：
因为f（x,y）
x2
2xy在点（1,2）处连续，所以
limf（x,y）
x1
y2
lim（x22xy）
x1
y2
12
2
1
2
5.
例2
求极限lim
1
．
2
y2
x,y1,12x
解：
因函数在1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即
lim
1
=1．
x,y1,12x
2
y2
3
2.2利用恒等变形法
将二元函数进行恒等变形，比如分母或分子有理化等.
例3
2
xy4
求lim
xy
x
0
y
0
2
xy
4
解：
lim
xy
x
0
y
0
lim
（2
xy
4）（2
xy
4）
xy（2
xy
4）
x
0
y
0
lim
xy
xy（2
xy
4）
x
0
y
0
lim
1
x
0
2
xy
4
y
0
1
.
4
例4
lim
（1
2x2）（1
3y2）1
．
2x
2
3y
2
x,y0,0
解：
原式
lim
12x2
13y2
1
12x213y2
1
x,y
0,0
2x2
3y2
12x2
13y2
1
lim
1
6x2y2
x,y0,0
12x
2
1
3y2
12x2
3y2
12x2
13y2
1
1
0
1．
2
2
2.3利用等价无量小代换
一元函数中的等价无量小观点能够推行到二元函数.在二元函数中常有的
等价无量小（u（x,y）
0），有sinu（x,y）:
u（x,y）；
1cosu（x,y）:
u2（x,y）；
2
ln1u（x,y）
:
u（x,y）；tanu（x,y）:
u（x,y）；arcsinu（x,y）:
u（x,y）；
arctanu（x,y）:
u（x,y）；n
1u（x,y）1:
u（x,y）；eu（x,y）
1:
u（x,y）；同一元函
n
数相同，等价无量小代换只好在乘法和除法中应用.
例5
1
x
y1
求lim
x
y
x
0
y
0
解：
当x
0
，y
0时，有x
y0.
1
x
y
1:
1（x
y），所以
2
lim
1
x
y1
x
y
y0
x0
1（xy）
lim2
x
y
x
0
y
0
1
.
2
lim
1x
y
1
x
y
x0
y0
lim
1
x
y
1
（1
x
y
1）（
1
xy1）
这个例子也能够用恒等变形法计算，如：
x
0
y
0
lim
1
1
x
y
1
x
0
y
0
1.
2
2.4利用两个重要极限
sinu（x,y）
1
lim
1，lim1u（x,y）u（x,y）
e它们分别是一元函数中两个重
u（x,y）
u（x,y）0
u（x,y）0
要极限的推行.
x2
例6求极限lim（11）xy.
xxy
ya
解：
先把已知极限化为
x2
x2
2
xy（xy）
lim（1
1）x
lim
（1
1
，而lim
x
lim
y
）xy
y）
y
a
xy
ya
xy
x
xy（x
x
x
x
a（1
ya
y
当x
y
a时xy
1
0
，所以lim（1
1
）xy
e.
xy
y
a
xy
x
x2
lim
（1
1
）xy
xy（xy）
故原式=xy
a
xy
1
ea.
例7
求lim
sin（xy）极限.
x
0
x
y
a
解：
因为sin（xy）
y.sin（xy），当x
0,y
a时，xy
x
xy
sin（xy）
1
，再利用极限四则运算可得：
xy
sin（xy）
limy.
sin（xy）
limy.lim
sin（xy）
a.·1=a.
lim
x
xy
xy
x
0
x
0
ya
xy
0
y
a
y
a
这个例子也能够用等价无量小代换计算，如：
当x0，ya时，xy0，sin（xy）:
xy.
11,
y）yax
1，所以
所以，lim
sin（xy）
lim
xy
limya.
x
x
x
0
x
0
ya
y
a
y
a
2.5利用无量小量与有界量的乘积仍为无量小量的结论
例8
求lim（3x
y）sin1cos1
y
0
x
y
x
0
解:
因为lim（3xy）0是无量小量，
x0y0
故可知，lim（3x
y）sin1cos1
0.
x0
x
y
y0
例9
求lim
（x
3）2（y
2）
2
2
x3
（x
3）（y
2）
y2
解
原式
=lim
（x
3）（y2）
2（x
3）
（x3）
2
（y
2）
x
3
y
2
因为
（x
3）（y
2）
（x
3）2
（y
2）2
（x3）
2
（y2）2
2（x3）2
（y2）2
lim（x3）0是无量小量，
x3
y2
所以，lim
（x
3）2
（y
2）
0
.
（x
3）2
（y
2）2
x
3
y
2
1
1
是有界量，
sincos
1
x
y
1是有界量，又
2
固然这个方法计算实质问题上不那么多用，但计算对无量小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一.
2.6利用变量替代法
经过变量替代能够将某些二元函数的极限转变为一元函数的极限来计算，
从而使二元函数的极限变得简单
.但利用时必定要知足下边的定理。
定理：
函数f
x,y
点x0,y0
的取心领域内有定义的且cosa、cosb沿向量
x
x0,y
y0
的方向余弦，若二元函数的极限lim
x0
tcosa,y0
tcosb
A,则
t0
1若A的值与a、b没关，则
lim
f
x,y
A；
x,yx0,y0
2若A的值与a、b相关，则
lim
f
x,y
不存在；
x,y
x0,y0
例10
求lim（x2
y2）e（x
y）
x
y
解
lim
（x
2
y
2
）e
（xy）
lim
（xy）2
x2
y2
e
x
y
x
2
2xyy
2
x
x
y
y
因x
0,y
0时，
x2
x2
y2
y2
1
，令x
y
t，明显知足定理的条件，则
2xy
（xy）2
lim
t2
lim
2t
2
0，所以，lim（x
2
2
）e
（xy）
0.
lim
x
y
t
t
lim
t
y
x
e
t
e
t
e
t
e
x
y
y
1
cos
x2
y2
lim
2
2
例11求极限x
0
tanx
y
y
0
解：
令u
x
2
y
2
limu
lim
x2
y2
0
明显知足定理的条件，则
又x
0
x
0
y
0
y
0
1
cos
x2
y2
lim
1
cosu
lim
sinu
1
sinu
2
u
21
lim
2
2
2
22lim
cos
x
0
tan
x
y
u
0
tanu
u
0
2usecu
u0
2
u
2
y
0
2.7利用夹逼准则
二元函数的夹逼准则：
设在点P0（x0,y0）的领域内有
h（x,y）f（x,y）g（x,y），且limh（x,y）limg（x,y）A（常数），
（x,y）（x0,y0）（x,y）（x0,y0）
则
lim
f（x,y）
A.
但要注意求二元函数极限时是对两个变量同时放缩．
（x,y）
（x0,y0）
例12
求
lim
x2
y2
x0
x
y
y0
解:
因为
x2
y2
（x
y）2
0
x
y
x
xy0（x0,y0），由夹逼准
y
则，得
lim
x2
y2
0.
x0
x
y
y0
例13
求极限lim
sin（x2y）
．
x
2
y
2
x
y
解:
0
sin（x2y）
1
，
x
2
y
2
x
2
y
2
又
lim
1
0，
x
2
y
2
x
y
故
lim
sin（x2y）
=0．
2
2
x
x
y
y
2.8先预计后证明法
此方法的运用常常是先经过察看推测出函数的极限，而后用定义证明.
例14
x
2y2
在点（0,0）
处的极限.
求函数f（x,y）
y2
x2
解:
此例分2部考虑：
先令y
kx，考虑f（x,y）沿y
kx（x,y）
（0,0）时的极限，
limf（x,y）
lim
x4k2
lim
x4k2
lim
x2k2
0.因为路径y
kx为
x0
x0x
2
x2k2
x0x2（1k2）
x0
1k2
ykx
特别方向，所以我们还不可以判断出极限为0.所以下边用定义查验极限能否为
0：
因为
f（x,y）0
x2y2
0
x2y
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