求二元函数极限的几种方法.docx

1、求二元函数极限的几种方法1.二元函数极限观点剖析定义 1 设函数 f 在 DR2 上有定义， P0 是 D 的聚点， A 是一个确立的实数 .假如关于随意给定的正数，总存在某正数,使得 PU0(P0; )I D 时，都有f (P) A,则称 f 在 D 受骗 PP0 时，以 A 为极限，记 lim f (P)A .P P0P D上述极限又称为二重极限 .2二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题若函数 f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续，则limf ( x, y) f ( x0 , y0 ) .( x, y) (x0 , y0 )例 1求 f ( x, y) x2

2、2xy 在点 (1,2) 的极限 .解：因为 f ( x, y)x22xy 在点 (1,2) 处连续，所以lim f ( x, y)x1y2lim( x2 2xy)x1y2122125.例 2求极限 lim12y 2x , y1,1 2x解： 因函数在 1,1 点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即lim1= 1 x, y1, 1 2x2y 232.2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形，比如分母或分子有理化等 .例 32xy 4求 limxyx0y02xy4解： limxyx0y0lim(2xy4)(2xy4)xy(2xy4)x0y0limxyxy(2xy4)x0y0lim1x02xy4y

3、01.4例 4lim(12x2 )(13y 2 ) 12x23 y2x, y0 ,0解：原式lim1 2 x21 3 y211 2x2 1 3y21x, y0,02x23 y21 2 x21 3y21lim16x2 y2x, y0,01 2x213 y21 2x23y21 2x21 3y21101 222.3 利用等价无量小代换一元函数中的等价无量小观点能够推行到二元函数 . 在二元函数中常有的等价无量小 (u( x, y)0) ，有 sin u(x, y) : u( x, y) ；1 cosu( x, y) : u2 ( x, y) ；2ln 1 u( x, y): u( x, y) ； t

4、an u(x, y) : u( x, y) ； arcsin u( x, y) : u(x, y) ；arctan u( x, y) : u( x, y) ； n1 u(x, y) 1 :u( x, y) ； eu( x, y )1 : u(x, y) ；同一元函n数相同，等价无量小代换只好在乘法和除法中应用 .例 51xy 1求 limxyx0y0解：当 x0， y0 时，有 xy 0 .1xy1 : 1 ( xy) ，所以2lim1xy 1xyy 0x 01 (x y)lim 2xyx0y01.2lim1 xy1xyx 0y 0lim1xy1( 1xy1)(1x y 1)这个例子也能够用恒

5、等变形法计算，如：x0y0lim11xy1x0y01 .22.4 利用两个重要极限sin u( x, y)1lim1， lim 1 u( x, y) u( x, y )e 它们分别是一元函数中两个重u( x, y)u (x , y) 0u ( x, y) 0要极限的推行 .x2例 6 求极限 lim(1 1 ) x y .xxyya解：先把已知极限化为x2x22xy( x y )lim(11 ) xlim(11，而 limxlimy) xyy)yaxyy axyxxy( xxxxa (1y ay当 x, ya 时 xy, 10，所以 lim(11)xye.xyyaxyxx2lim(11)xyx

6、y( x y)故原式 = xyaxy1ea .例 7求 limsin( xy) 极限 .x0xya解：因为 sin( xy)y. sin( xy) ，当 x0, ya 时， xyxxysin( xy)1，再利用极限四则运算可得：xysin( xy)lim y.sin(xy)lim y. limsin( xy)a.1= a .limxxyxyx0x0y axy0yaya这个例子也能够用等价无量小代换计算，如：当 x 0 ， y a 时， xy 0 ， sin( xy) : xy .11 ,y ) y a x1，所以所以， limsin( xy)limxylim y a.xxx0x0y ayaya

7、2.5 利用无量小量与有界量的乘积仍为无量小量的结论例 8求 lim( 3 xy)sin 1 cos 1y0xyx0解: 因为 lim( 3 x y) 0 是无量小量，x0 y 0故可知 ， lim( 3 xy)sin 1 cos 10.x 0xyy 0例 9求 lim( x3)2 ( y2)22x 3(x3) ( y2)y 2解原式= lim(x3)( y 2)2 (x3)(x 3)2( y2)x3y2因为(x3)( y2)(x3)2( y2)2(x 3)2( y 2)22 ( x 3)2( y 2)2lim( x 3) 0 是无量小量，x3y2所以 ， lim( x3)2( y2)0.(x

8、3)2( y2) 2x3y211是有界量 ，sin cos1xy1是有界量，又2固然这个方法计算实质问题上不那么多用，但计算对无量小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .2.6 利用变量替代法经过变量替代能够将某些二元函数的极限转变为一元函数的极限来计算，从而使二元函数的极限变得简单. 但利用时必定要知足下边的定理。定理：函数 fx, y点 x0 , y0的取心领域内有定义的且 cos a 、 cosb 沿向量xx0, yy0的方向余弦，若二元函数的极限 limx0t cosa, y0t cosbA, 则t 01 若 A 的值与 a 、 b 没关，则limfx, yA ；x, yx0

9、, y02 若 A 的值与 a 、 b 相关，则limfx, y不存在；x, yx0 , y0例 10求 lim ( x2y 2 )e ( xy)xy解lim(x2y2)e( x y)lim(x y) 2x2y2exyx22xy y2xxyy因 x0, y0 时，x2x2y2y21，令 xyt ，明显知足定理的条件，则2xy(x y)2limt 2lim2t20 ，所以 ， lim (x22)e( x y)0 .limxyttlimtyxetetetexyy1cosx2y2lim22例 11 求极限 x0tan xyy0解：令 ux2y2lim ulimx2y20明显知足定理的条件，则又 x0

10、x0y0y01cosx2y2lim1cosulimsin u1sin u2u21lim2222 2 limcosx0tanxyu0tanuu02u sec uu 02u2y02.7 利用夹逼准则二 元 函 数 的 夹 逼 准 则 ： 设 在 点 P0 (x0 , y0 ) 的 领 域 内 有h( x, y) f ( x, y) g( x, y) ，且 lim h( x, y) lim g( x, y) A （常数），( x, y) (x0 , y0 ) (x, y) ( x0 , y0 )则limf (x, y)A .但要注意求二元函数极限时是对两个变量同时放缩( x, y)(x0 , y0

11、)例 12求limx2y2x 0xyy 0解:因为x2y2( xy )20xyxx y 0( x 0, y 0) ，由夹逼准y则，得limx2y20 .x 0xyy 0例 13求极限 limsin( x 2 y)x2y2xy解:0sin( x 2 y)1，x2y2x2y2又lim10，x2y2xy故limsin( x 2 y)=022xxyy2.8 先预计后证明法此方法的运用常常是先经过察看推测出函数的极限，而后用定义证明 .例 14x2 y2在点 (0,0)处的极限 .求函数 f ( x, y)y2x2解 :此例分 2 部考虑：先令 ykx ，考虑 f ( x, y) 沿 ykx ( x, y)(0,0) 时的极限，lim f ( x, y)limx4 k2limx4k 2limx2k20 . 因为路径 ykx 为x 0x 0 x2x2 k 2x 0 x2 (1 k 2 )x 01 k 2y kx特别方向，所以我们还不可以判断出极限为 0 . 所以下边用定义查验极限能否为0 ：因为f ( x, y) 0x2 y 20x2 y