高三高三理科数学考前适应性试题扬州市含答案.docx

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高三高三理科数学考前适应性试题扬州市含答案

【高三】2021年高三理科数学5月考前适应性试题（扬州市含答案）

江苏省扬州市2021届高三下学期5月考前适应性考试

理科数学

2021．05

全卷分两部分：

第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）．

注意事项：

1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．

2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．

3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．

第一部分

一、题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1．已知集合，则▲．

2．若复数是实数，则▲．

3．已知某一组数据，若这组数据的平均数为10，则其方差为▲．

4．若以连续掷两次骰子得到的点数分别作为点P的横、纵坐标，则点P在直线上的概率为▲．

5．运行如图语句，则输出的结果T＝▲．

6．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则双曲线的离心率为▲．

7．已知一个圆锥的底面圆的半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为▲．

8．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为▲．

9．已知O是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是▲．

10．数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列，则的通项公式是▲．

11．若对任意，不等式恒成立，则实数的范围▲．

12．函数的图象上关于原点对称的点有▲．对.

13．在平面直角坐标系中，已知点是椭圆上的一个动点，点P在线段的延长线上，且，则点P横坐标的最大值为▲．

14．从轴上一点A分别向函数与函数引不是水平方向的切线和，两切线、分别与轴相交于点B和点C，O为坐标原点，记△OAB的面积为，△OAC的面积为，则+的最小值为▲．

二、解答题：

（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）

已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）在中，分别是A、B、C的对边，若，，的面积为，求的值.

16．（本小题满分14分）

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．

（1）求证：

平面A1BC⊥平面ABB1A1；

（2）若，AB=BC=2，P为AC中点，求三棱锥的体积。

17．（本小题满分15分）

某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为亿元，其中用于风景区改造为亿元。

该市决定建立生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：

①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少亿元，至多亿元；③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得每年改造生态环境总费用的22%。

（1）若，，请你分析能否采用函数模型y＝作为生态环境改造投资方案；

（2）若、取正整数，并用函数模型y＝作为生态环境改造投资方案，请你求出、的取值．

18．（本小题满分15分）

椭圆的右焦点为，右准线为，离心率为，点在椭圆上，以为圆心，为半径的圆与的两个公共点是．

（1）若是边长为的等边三角形，求圆的方程；

（2）若三点在同一条直线上，且原点到直线的距离为，求椭圆方程．

19．（本小题满分16分）

已知函数，，（）．

（1）求函数的极值；

（2）已知，函数，，判断并证明的单调性；

（3）设，试比较与，并加以证明．

20．（本小题满分16分）

设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：

①；②．

（1）若等比数列为（）阶“期待数列”，求公比；

（2）若一个等差数列既是（）阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；

（3）记阶“期待数列”的前项和为：

（?

）求证：

；

（?

）若存在使，试问数列能否为阶“期待数列”？

若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．

第二部分（加试部分）

（总分40分，加试时间30分钟）

注意事项：

答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答题卷上规定的位置．解答过程应写在答题卷的相应位置，在其它地方答题无效．

21．B选修4-2：

矩阵与变换（本题满分10分）

已知矩阵，向量．求向量，使得．

21．C选修4-4：

坐标系与参数方程（本题满分10分）

在直角坐标系内，直线的参数方程为为参数．以为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.判断直线和圆的位置关系.

22．（本题满分10分）

某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：

考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作。

规定：

至少正确完成其中2题的便可提交通过。

已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成。

（1）求出甲考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；

（2）若考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响。

试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．

23．（本题满分10分）

（1）设，试比较与的大小；

（2）是否存在常数，使得对任意大于的自然数都成立？

若存在，试求出的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由。

参考答案

第一部分

2021．05

1．2．3．24．

5．6256．7．8．

9．10．11．

12．3

13．

提示：

设，由，得，

===，

研究点P横坐标的最大值，仅考虑，

（当且仅当时取“=”）．

14．8

提示：

，设两切点分别为，，（，），

：

，即，令，得；

令，得．

：

，即，令，得；令，得．

依题意，，得，

+===，

=，可得当时，有最小值8．

15．解：

（1）

4分

6分

（2）由，，

又的内角，，

，8分

，，，11分

，14分

16．证：

直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，

∴AA1⊥BC，

∵AD⊥平面A1BC，

∴AD⊥BC，

∵AA1，AD为平面ABB1A1内两相交直线，

∴BC⊥平面ABB1A1，

又∵平面A1BC，

∴平面A1BC⊥平面ABB1A1

7分

（2）由等积变换得，

在直角三角形中，由射影定理（）知，

∵，

∴三棱锥的高为10分

又∵底面积12分

∴=14分

法二：

连接，取中点，连接，∵P为AC中点，

,　9分

由

（1）AD⊥平面A1BC，∴⊥平面A1BC，

∴为三棱锥P-A1BC的高，11分

由

（1）BC⊥平面ABB1A1　，12分

，14分

17．解：

（1）∵，

∴函数y＝是增函数，满足条件①。

3分

设，

则，

令，得。

当时，，在上是减函数；

当时，，在上是增函数，

又，，即，在上是增函数，

∴当时，有最小值0.16=16%>15%，

当时，有最大值0.1665=16.65%<22%,

∴能采用函数模型y＝作为生态环境改造投资方案。

9分

（2）由

（1）知，

依题意，当，、时，恒成立；

下面求的正整数解。

令，12分

由

（1）知，在上是减函数，在上是增函数，

又由

（1）知，在时，，且=16%∈[15%，22%]，

合条件，经枚举，∈[15%，22%]，

而[15%，22%]，可得或或，

由单调性知或或均合题意。

15分

18．解：

设椭圆的半长轴是，半短轴是，半焦距离是，

由椭圆的离心率为，可得椭圆方程是，2分

（只要是一个字母，其它形式同样得分，）

焦点，准线，设点，

（1）是边长为的等边三角形，

则圆半径为，且到直线的距离是，

又到直线的距离是，

所以，，，

所以

所以，圆的方程是。

6分

（2）因为三点共线，且是圆心，所以是线段中点，

由点横坐标是得，，8分

再由得：

，，

所以直线斜率10分

直线：

，12分

原点到直线的距离，

依题意，，所以，

所以椭圆的方程是．15分

19．解：

（1），令，得．

当时，，是减函数；

当时，，是增函数．

∴当时，有极小值，无极大值．4分

（2）

==，

由

（1）知在上是增函数，

当时，，

即，

∴，即在上是增函数．10分

（3），由

（2）知，在上是增函数，

则，

令得，．16分

20．解：

（1）若，则由①=0，得，

由②得或．

若，由①得，，得，不可能．

综上所述，．

（2）设等差数列的公差为，>0．

∵，∴，

∴，

∵>0，由得，，

由题中的①、②得，

，

两式相减得，，∴，

又，得，

∴．

（3）记，，…，中非负项和为，负项和为，

则，，得，，

（?

），即．

（?

）若存在使，由前面的证明过程知：

，，…，，，，…，，

且…．

记数列的前项和为，

则由（?

）知，，

∴=，而，

∴，从而，，

又…，

则，

∴，

与不能同时成立，

所以，对于有穷数列，若存在使，则数列和数列不能为阶“期待数列”．

第二部分（加试部分）

21．B解：

，4分

设，由得，

即，8分

解得，所以10分

21．C解:

将消去参数，得直线的直角坐标方程为；3分

由,即，

两边同乘以得，

所以⊙的直角坐标方程为：

7分

又圆心到直线的距离，

所以直线和⊙相交．10分

22．解：

（Ⅰ）设考生甲正确完成实验操作的题数分别为，

则，所以，2分

所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：

123

；4分

（Ⅱ）设考生乙正确完成实验操作的题数为，则

，所以，6分

又且，8分

从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，

因此可以判断甲的实验操作能力较强。

10分

23．解：

（Ⅰ）设，则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

故函数有最小值，则恒成立4分

（Ⅱ）取进行验算：

猜测：

①，

②存在，使得恒成立。

6分

证明一：

对，且，

有

又因，

故8分

从而有成立，即

所以存在，使得恒成立10分

证明二：

由

（1）知：

当时，，

设，，

则，所以，，，

当时，再由二项式定理得：

即对任意大于的自然数恒成立，8分

从而有成立，即

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