勾股定理实际应用.docx

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勾股定理实际应用

勾股定理实际应用（讲义）

Ø课前预习

1.常用的6组勾股数：

___________；__________；___________；___________；__________；___________．

2.下列各组数：

①6，6，8②

，

，2③

，

，

④0.6，0.8，1.0⑤10，24，26⑥7，12，13

其中能作为直角三角形三边长的是___________．（填写序号）

3.请你画出圆柱的侧面展开图．

4.读一读，做一做

小聪郊游时发现了一个有趣的问题：

有一只蚂蚁从易拉罐底部爬向易拉罐顶部的罐口处喝饮料，在侧面留下了其爬行的轨迹．小聪观察后发现，蚂蚁爬行的路径是一条曲线，小聪想知道蚂蚁具体爬行了多长，于是邀请小明一起来研究这个问题．经过一番讨论，小聪和小明分别准备尝试用两种方法来进行测量．

方案一：

小聪准备用一根绳子沿着蚂蚁爬过的轨迹来进行测量，然后再借助绳子的长度来估计爬行的路程，如图1．

图1图2

图2

方案二：

小明准备将易拉罐侧面剪开，然后用尺子直接测量蚂蚁爬行的路程．小明剪开易拉罐侧面，将其展开后发现，蚂蚁爬行的路径竟然是一条笔直的线段，如图2．

请你选一张长方形纸片，画出他的对角线，然后卷成一个圆柱，并参照小聪和小明的方法，动手测量一下这条线的长度．

Ø知识点睛

蚂蚁爬最短路问题处理思路

（1）__________________________；

（2）__________________________；

（3）_______________，利用________________进行计算．

Ø精讲精练

1.有这样一个有趣的问题：

如图所示，圆柱的高等于12cm，底面半径等于3cm．在圆柱的下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A相对的B点处的食物，则沿圆柱的侧面爬行的最短路程是__________．（π取整数3）

2.如图，一根藤蔓一晚上生长的长度是沿树干爬一圈后由点A上升到点B，已知AB=5cm，树干的直径为4cm．你能计算出藤蔓一晚上生长的最短长度吗？

（π取整数3）

3.如图所示，有一根高为2m的木柱，它的底面周长为0.3m，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕

圈，一直缠到起点的正上方为止．问：

小明至少需要准备一根多长的彩带？

4.如图，一个三级台阶的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是________．

5.如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱（有盖）的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路程是

____________．

第4题图第5题图第6题图

6.如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，BC=5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是___________．

7.如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高3.2米，宽3米的卡车能通过该隧道吗？

8.一辆卡车装满货物后，高4米，宽2.8米．这辆卡车能通过横截面如图所示（上方是一个半圆）的隧道吗？

9.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，“引葭（jiā）赴岸”：

今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．这个问题的意思是：

有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

10.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一根到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）

A．12≤a≤13B．12≤a≤15

C．5≤a≤12D．5≤a≤13

第10题图第11题图第12题图

11.如图，将一根24cm长的筷子，置于底面直径为15cm，高为8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）

A．h≤17B．h≥8

C．15≤h≤16D．7≤h≤16

12.小明家住在18层的高楼上，一天，他与妈妈去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分别是1.6米、1.2米、2.1米，那么能放入电梯内的竹竿的最大长度是_________米．

勾股定理实际应用（随堂测试）

1.如图，圆柱的底面周长为16cm，高为9cm，AC是底面圆的直径，P是母线BC上一点，且PC

BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的侧面爬行到P点的最短路程是__________．

2.若一辆装满货物的卡车高为3.0米，宽为1.6米，则该卡车能否通过如图所示的工厂厂门（上方为半圆）？

请说明理由．

勾股定理实际应用（习题）

Ø巩固练习

1.如图，一个三级台阶的每一级的长、宽、高分别为50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，需要爬行的最短路径长为（）

A．13cmB．40cmC．130cmD．169cm

第1题图第2题图

2.小明家新装修房子，其中有一段楼梯需要铺上地毯，楼梯高6米，斜面长10米，到底该买多长的地毯才能恰好把楼梯铺满呢（原则：

铺满楼梯但不能浪费），小明爸妈也摸不着头脑．小明给爸妈的正确答案应是___________．

3.如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_________cm．

第3题图第4题图

4.如图，为了庆祝“五一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为1m，高为3m．如果要求彩带从柱子底端的A处均匀地绕柱子4圈后到达柱子顶端的B处（线段AB与地面垂直），那么购买彩带的长度至少为___________．

5.如图，圆柱体的高为10cm，底面圆的半径为4cm．在AA1上的点Q处有一只蚂蚁，QA=3cm；在BB1上的点P处有一滴蜂蜜，PB1=2cm．若蚂蚁想要沿圆柱体侧面爬到点P处吃蜂蜜，则爬行的最短路径长是多少？

（π取整数3）

6.如图所示的一只玻璃杯，高为8cm，将一根筷子插入其中，若杯外最长4cm，最短2cm，则这只玻璃杯的底面直径是___________cm．

第6题图第7题图

7.如图，将一根长为24cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中．设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是__________________．

8.在一次课外实践中，王强想知道学校旗杆的高，但不能爬上旗杆也不能把绳子解下来，可是他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）

A．13mB．12mC．4mD．10m

9.11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：

小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵树高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标．则这条鱼出现的地方与较高的棕榈树之间的距离为__________．

10.如图，某隧道的截面是一个半径为4.2米的半圆形，一辆高3.6米，宽3米的卡车能通过该隧道吗？

11.如图，隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长BC为12m，宽AB为3m，若该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高8m，宽2.3m，则这辆货运卡车能否通过该隧道？

Ø思考小结

1.蚂蚁爬最短路问题处理的关键是把_____面转化为_____面．

2.汽车过拱桥问题，从_____通过的可能性最大．当车高_____拱高时，车能够通过．

【讲义参考答案】

Ø课前预习

1.3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41；11，60，61

2.②④⑤

3.作图略

4.略

Ø知识点睛

（1）作侧面展开图或表面展开图

（2）找点、连线

（3）构造直角三角形，勾股定理

Ø精讲精练

1.15cm

2.13cm

3.2.9m

4.25dm

5.10

6.25cm

7.卡车能通过隧道，理由略

8.卡车能通过隧道，理由略

9.水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺

10.A

11.D

12.2.9

【随堂参考答案】

1.10cm

2.卡车不能通过，理由略

【参考答案】

Ø巩固练习

1.C

2.14米

3.13

4.5m

5.13cm

6.6

7.11≤h≤12

8.B

9.20肘尺

10.卡车能通过该隧道，理由略

11.货运车能通过该隧道，理由略

Ø思考小结

1.曲，平

2.中间，小于