专题3中考专题模型瓜豆原理练习题经典.docx

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专题3中考专题模型瓜豆原理练习题经典

教师姓名

杨老师

学生姓名

年（尚孔教研院彭高钢级

初三

上课时间

学（尚孔教研院彭高高钢科

数学

课题名称

轨迹问题解决方法之瓜豆原理

教学目标

1、掌握圆形轨迹最值问题

2、掌握直线型轨迹最值问题

3、掌握瓜豆原理勾画轨迹的问题

轨迹问题解决方法之瓜豆原理

【知识要点】

在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值．所以寻找到动点的轨迹，然后在计算，是一种不错的解决最值问题的方法。

本文讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，为常规思路

【例题精讲】

知识点一、轨迹是圆

1、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？

考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:

PO=AQ:

AP=1:

2．

【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P共线可得：

A、M、O三点共线，

由Q为AP中点可得：

AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放

2、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．

考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得

半径MQ=PO．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．

2、如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？

考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

考虑AP:

AQ=2:

1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:

AM=2:

1．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．

模型总结

为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．

【条件】两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:

AQ是定值）．

【结论】

（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：

∠PAQ=∠OAM；

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：

AP:

AQ=AO:

AM，也等于两圆半径之比．

按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．

思考1

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．

考虑：

当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

思考2

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．

考虑：

当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？

真题战场

余姚模拟

1.如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．

2.如图，点A、B的坐标分别是A（2，0），B（0,2）点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，链接OM，则OM的最大值是多少（）

4.如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2倍根号2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．

南通中考

如图，正方形ABCD中，AB=2倍根号5，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值．

【课堂总结】

1.

2.

3.

4.

【课后练习】

一条隐藏的瓜豆

△ABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为______．

【真题战场】

27．（2021天府新区2诊）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点F为DE中点，连接CF．

（1）如图1所示，若点D正好在BC边上，求证：

∠B＝∠ACE；

（2）如图2所示，点D在BC边上，分别延长CF，BA，相交于点G，当tan∠EDC＝3，CG＝5时，求线段BG的长度；

（3）如图3所示，若AB＝4

，AE＝2

，取CF的中点N，连接BN，在△ADE绕点A逆时针旋转过程中，求线段BN的最大值．

24．（2021青羊2诊）如图，在平面直角坐标系中，点Q是一次函数

的图象上一动点，将Q绕点C（2，0）顺时针旋转90°到点P，连接PO，则PO+PC的最小值_______________．

25．（成外二诊B卷4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是　　．

7．如图，一块∠BAC为30°的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点E在量角器的圆弧边缘处从A到B运动，连接CE，交直径AB于点D．

（1）当点E在量角器上对应的刻度是90°时，则∠ADE的度数为多少？

（2）若AB=8，P为CE的中点，当点E从A到B的运动过程中，点P也随着运动，则点P所走过的路线长为多少？

27．（10分）问题背景

如图

（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．

尝试应用

如图

（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求

的值．

拓展创新

如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．