期权定价二叉树多步推导.docx

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期权定价二叉树多步推导

期权定价的二叉树模型

Cox、Ross 和 Rubinstein 提出了期权定价的另一种常用方法-----二叉树（binomial tree）模型，它假

设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资

产和期权价格的演进历程。

这里只讨论股票期权定价的二叉树模型

1一步二叉树模型

我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。

例1假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18.股

票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。

在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出

现的不同股价。

由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-

step）二叉树。

这是最简单的二叉树模型。

一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。

经过一个时间步（至到期日

T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到

相应的期权价格为.这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2

所示。

我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。

为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（noarbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。

构造

一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。

如果该股票价格上升

到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权

到期日的价值为。

根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，

即有

由此可得

（8.1）

上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。

在这种情况下，该组合是无风险的。

以  表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为,又注意到该组合

的当前价值是，故有

即

将（8.1）代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为

（8.2）

（8.3）

需要指出的是，由于我们是在无套利（noarbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利

率应该满足：

.

现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的

年利率为12%，求该期权的当前价值。

已知：

且在期

权到期日，当时，该看涨权的价值为而当

时，该看涨权的价值为

根据（8.3）和（8.2），可得

上述期权定价公式（8.2）和（8.3）似乎与股价上升或下降的概率无关，实际上，在我们推导期权价值时它已

经隐含在股票价格中了。

不妨令股价上升的概率为，则股价下降的概率就是，在时间的期望

股票价格为

如果我们假设市场是风险中性的（risk neutral），则所有证券的价格都以无风险利率增加，故有

于是，我们有

由此可得

与（8.3）比较，我们发现：

，这就是参数的含义，我们称之为风险中性状态下股价上升的概

率2.两步二叉树模型

在一步二叉树模型中，股票和期权的价格只经过一个时间步的演化，如果初始时间距期权到期日的时间间

隔太长，有可能造成计算误差太大的缺陷。

因此，在初始时间与期权到期日之间增加离散的时间点，缩短

计算的时间步长，有助于提高计算精度。

现在我们将初始时间距期权到期日的时间 T 分成两个相等的时间步，则每个时间步长。

假设一

只股票的初始价格是，基于该股票的欧式期权价格为，且每经过一个时间步，该股票价格或者增加

到当前价格的倍，或者下降到当前价格的倍。

股票和期权价格的演化过

程可通过如图8.3所示的二叉树表示出来，这种含有两个时间步长的二叉树称为两步二叉树（Two-step

binomial trees）模型。

我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。

类似于一步二叉树模型的期权定价方法，采用无套利（no arbitrage）假设，由前向后（backward）逐

步计算期权价值，我们得到

（8.4）

其中，

（8.5）

在（8.4）中，分别是风险中性状态下最后一个时间步股价到达上节

点，中间节点和下节点的概率。

因此，期权的初始价值可认为是期权在到期日的期望价值贴现。

例2假设一只股票的初始价格是$50，且每过1年该股票价格或者上升20%，或者下降20%，无风险利

率为5%，现有一个基于该股票，敲定价为$52且2年后到期的欧式看跌权，试用二叉树模型确定该期权

的价值。

分析将初始时间到期权到期日的2年时间分成相等的两个时间步，则股票和期权价格的演化进

程可通过图8.4直观表示出来。

依题意，已知：

且在期权到期日，当时，

该看跌权的价值为

当时，该看跌权的价值为

当时，该看跌权的价值为

根据（8.5），可得

再由（8.4），即可求得该看跌权的初始价值为

.

3.多步二叉树模型

一步和两步二叉树模型太简单了，实际使用的二叉树要求具有多个离散的时间步长来计算期权的价值。

通

常从初始时间到期权到期日需要分成30或更多个时间步长。

两步二叉树模型的欧式股票期权定价公式容易推广到多步二叉树模型的情形。

如果我们将初始时间距期权

到期日的时间 T 分成个相等的时间步，则每个时间步长。

令股票的初始价格

为，且每经过一个时间步，股价或向上增加到当前价格的倍，或向下下降到当前价格

的倍，无风险利率为的，则在期权到期日，股票价格有种可能结果：

它们在风险中性状态下出现的概率分别是：

其中

（8.6）

令为与种股票价格对应的

期权价值，为期权的敲定价，则在无套利假设下，股票看涨权在到期日的价值为

股票看跌权在到期日的价值为

将该期权在到期日的期望价值贴现，我们即可得到期权的（初始）价值为

（8.7）

关于参数的取值，Cox，Ross 和 Rubinstein 给出了由股票价格波动率确定的公式：

（8.8）

例3.假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18，

假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为18个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期

权的当前价值。

解：

分析将初始时间到期权到期日的 18 个月时间分成相等的 6 个时间步，则股票和期权价格的演化进

程可通过图 4 直观表示出来。

依题意，已知：

S0 = 20, u =

22

20

= 1.1, d =

18

20

= 0.9, r = 0.12,T =

1 1

4 6

=

1

24

X=21

接下来计算股票价值。

第一步：

Su=22

Sd=18

第二步：

Su 2 = 20 ⨯1.12 = 24.2

Sud = 20 ⨯1.1⨯ 0.9 = 19.8

Sd 2 = 20 ⨯ 0.92 = 16.2

第三步：

Su2=24.2

Sud=19.8

Sd2=16.2

Su 3 = 20 ⨯1.13 = 26.62

Su 2d = 20 ⨯1.12 ⨯ 0.9 = 21.78

Sud 2 = 20 ⨯1.1 ⨯ 0.92 = 17.82

Sd 3 = 20 ⨯ 0.93 = 14.58

第四步：

Su3=26.62

Su2d=21.78

Sud2= 17.82

Sd3=14.58

Su 4 = 20 ⨯1.14 = 29.282

Su 3d = 20 ⨯1.13 ⨯ 0.9 = 23.958

Su 2d 2 = 20 ⨯1.12 ⨯ 0.92 = 19.602

Sud 3 = 20 ⨯1.1⨯ 0.93 = 16.038

Sd 4 = 20 ⨯ 0.94 = 13.122

第五步：

Su 5 = 20 ⨯1.15 = 32.2102

Su 4d = 20 ⨯1.14 ⨯ 0.9 = 26.3538

Su4=29.282

Su3d= 23.958

Su2d2= 19.602

Sud3= 16.038

Sd4= 13.122

Su5=32.2102

Su4d= 26.3538

Su 3d 2 = 20 ⨯1.13 ⨯ 0.92 = 21.5622

Su 2d 3 = 20 ⨯1.12 ⨯ 0.93 = 17.6418

Sud 4 = 20 ⨯1.1⨯ 0.94 = 14.4342

Sd 5 = 20 ⨯ 0.95 = 11.8098

第六步：

Su 6 = 20 ⨯1.16 = 35.43166

Su 5d = 20 ⨯1.15 ⨯ 0.9 = 28.9

Su 4d 2 = 20 ⨯1.14 ⨯ 0.92 = 23.71842

Su 3d 3 = 20 ⨯1.13 ⨯ 0.93 = 19.40598

Su 2d 4 = 20 ⨯1.12 ⨯ 0.94 = 15.87762

Sud 5 = 20 ⨯1.1⨯ 0.95 = 12.99078

Sd 6 = 20 ⨯ 0.96 = 10.62882

在期权到期日，

Su3d2= 21.5622

Su2d3= 17.6418

Sud4= 14.4342

Sd5= 11.8098

Su6=35.43166

Su5d=28.98918

Su4d2=23.71842

Su3d3=19.40598

Su2d4=15.87762

Sud5=12.99078

Sd6=10.62882

当 Su

6

= 20 ⨯1.16 = 35.43166 时，该看涨权的价值为 fu6=max（Su6-X,0）=14.43

55

4242

3333

2424

55

当 Sd

6

= 20 ⨯ 0.96 = 10.62882 时，该看涨权的价值为 0

根据公式：

p =

rT

u - d

=

e

1

24

1.1 - 0.9

= 0.5251

fu5= e

-rT

[pfu6 + 1 - p）fu5d ]=0.995*[0.5251*14.43+0.4749*7.99]=11.375

同理：

fu4d=0.995*[0.5251*7.99+0.4749*2.72]=5.46

fu3d2=0.995*[0.5251*2.72+0.4749*0]=1.421

fu2d3=0

fud4=0

fd5=0

所以：

fu4=0.995*[0.5251*11.375+0.4749*5.46]=8.523

fu3d=0.995*[0.5251*5.46+0.4749*1.421]=3.524

fu2d2=0.995*[0.5251*1.421+0.4749*0]=0.742

fud3=0

fd4=0

所以：

  fu3=0.995*[0.5251*8.523+0.4749*3.524]=6.118

fu2d=0.995*[0.5251*3.524+0.4749*0.742]=2.192

fud2=0.995*[0.5251*0.742+0.4749*0]=0.388

fd3=0

所以：

fuu=0.995*[0.5251*6.118+0.4749*2.192]=4.232

fud=0.995*[0.5251*2.192+0.4749*0.388]=1.329

fdd=0.995*[0.5251*0.388+0.4749*0]=0.203

所以：

fu=0.995*[0.5251*4.232+0.4749*1.329]=2.839

fd=0.995*[0.5251*1.329+0.4749*0.203]=0.79

所以：

f=0.995*[0.5251*2.839+0.4749*0.79]=1.857