山东省菏泽市届高三第一次模拟考试数学理试题word版含答案.docx
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山东省菏泽市届高三第一次模拟考试数学理试题word版含答案
山东省菏泽市2018届高三第一次模拟考试数学（理）试题（word版-含答案）
菏泽市2018届高三年级第一次模拟考试
数学（理科）
2018.3
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：
高考范围。
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.
1.已知集合，则
A.B.C.D.
2.已知复数满足（为虚数单位），则为
A.2B.C.D.1
3.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列正确的是
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
4.若在区间上随机取两个数，则这两个数之和小于3的概率是
A.B.C.D.
5.若双曲线的离心率，则实数的取值范围为
A.B.C.D.
6.等比数列中，是方程的两个实数根，则的值为
A.2B.或C.D.
7.执行如图所示的程序框图，输入，若要求输出不超过500的最大奇数，则◇内应填
A.B.C.D.
8.若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则
A.B.C.D.
9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是
A.B.C.D.
10.已知，若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为
A.B.C.D.
11.已知椭圆的左、右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若的内切圆半径为，则椭圆的离心率
A.B.或C.D.
12.已知是定义域为的单调函数，若对任意都有
，且关于的方程在区间上有两个不同实数根，则实数的取值范围是
A.B.C.D.
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.记表示不超过的最大整数，例如，已知
则__________.
14.若实数满足，则的最小值是__________.
15.已知平面向量均为单位向量，若，则的取值范围为__________.
16.已知等差数列前项和为，且，若满足不等式的正整数有且仅有3个，则实数的取值范围为__________.
三、解答题：
本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.第17题〜第21题为必考题，每个题目考生都必须作答.第22题〜第23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题:
共60分.
17.（本小题满分12分）
在中，分别是角的对边，且，.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
18.（本小题满分12分）
如图，在几何体中，四边形是边长为2的菱形，平面，平面，，.
（1）当长为多少时，平面平面？
（2）在
（1）的条件下，求二面角的余弦值.
19.（本小题满分12分）
在一次诗词知识竞赛调查中，发现参赛选手分为两个年龄（单位:
岁）段：
，
，其中答对诗词名句与否的人数如图所示.
（1）完成下面2×2列联表；
年龄段
正确
错误
合计
合计
（2）是否有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关，请说明你的理由；
（3）现按年龄段分层抽样选取6名选手，若从这6名选手中选取3名选手，求3名选手中年龄在岁范围人数的分布列和数学期望.
注:
，其中
0.100
0.050
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
20.（本小题满分12分）
已知抛物线的顶点为平面直角坐标系的坐标原点，焦点为圆
的圆心.经过点的直线交抛物线于两点，交圆于两点，在第一象限，在第四象限.
（1）求抛物线的方程；
（2）是否存在直线使是与的等差中项？
若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.
（二）选考题:
共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的普通方程；
（2）若分别为曲线上的动点，求的最大值.
23.（本小题满分10分）选修4-5:
不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）设，若对任意不等式成立，求实数的取值范围.
菏泽市2018届高三年级第一次模拟考试·数学（理科）
参考答案、提示及评分细则
1.C因为集合，
，所以，故选C.
2.C由，得，
∴，故选C.
3.D若，则，D正确；分析知选项A，B，C均不正确，故选D.
4.A如图，在区间[0，2]上随机取两个数为x，y，则不等式组，表示的平面区域为边长是2的正方形OACE区域．又，所以所求概率.故选A
5.D由题意易得，则，即．故选D.
6.B是方程的根，，即或..故选B.
7.C输入，则，不符合；，
则，不符合；，则，符合.又，所以输出m的值应为5，所以空白框内应填输出．故选C
8.C展开式的通项为
，因为展开式中含有常数项，所以，即为整数，故n的最小值为5．
所以.故选C
9.D由已知中的三视图可得：
该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于以俯视图为底面侧棱长为1的直三棱柱的外接球，再由正弦定理易得底面三角形的外接圆半径，球心到底面的距离，故球半径，故球的表面积，故选D.
10.D由得，又，则，所以，
所以．将向右平移个单位长度后得到
，因为函数的图象关于y轴对称，所以
，即.又，所以当时，取得最小值.故选D.
11.B如图，设内切圆圆心为C，半径为r，
则.
即，∴，∴.整理得，解得或.故选B.
12.A由题意知必存在唯一的正实数m满足，，
∴，∴，∴，解得m=3．
故．又关于x的方程在区间（0，3]上有两个不同实数根，即关于x的方程在区间（0，3]上有两个不同实数根．由，得.当时，，单调递减；与时，，单调递增，∴在处取得最大值a.，．分别作出函数和函数
的部分图象：
两图象只有一个交点（l，0），将的图象向上平移，且经过点（3，1），由，得．综上．故选A.
13.∵，∴.又∵，∴，即.
14.不等式可表示为如图所示的平面区域.
为该区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然，当x=3，y=1时，取得最小值.
15.∵三个平面向量均为单位向量，，∴设，，，则，，
∴.它表示单位圆上的点到定点P（2，3）的距离，其最大值是，最小值是.
∴的取值范围是.
16.不妨设，由，得，
则，所以，令，
则），易得数列在时单调递减；在n＞5时单调递增.令，有，，.若满足题意的正整数n只有3个，则n只能为4，5，6，故实数的取值范围为.
17.解：
（1）∵，由正弦定理得.
∴，∴.
又，∴.
∵，∴，∴，
由3a=2b知，a＜b，
∴A为锐角，∴.
∴
（2）∵b=6，，∴a=4.
∴.
18.证明：
（1）连接BD交AC于点O，则AC⊥BD.
取EF的中点G，连接OG，则OG∥DE.
∵DE⊥平面ABCD，∴OG⊥平面ABCD.
∴OG，AC，BD两两垂直.
∴以AC，BD，OG所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），
设，
由题意，易求，
∴，
设平面AEF，平面CEF的法向量分别为，
由，，得，∴
解得.令，∴.
同理可求.
若平面AEF⊥平面CEF，则，
∴，
解得或（舍），
即BF长为时，平面AEF⊥平面CEF.
解:
（2）当时，，
∴，，∴EF⊥AF，EF⊥CF，
∴EF⊥平面AFC，
∴平面AFC的一个法向量为，
设平面AEC的一个法向量为，则
，∴，得，
令，得，∴.
从而.
故所求的二面角E-AC-F的余弦值为.
19.解：
（1）2×2列联表：
年龄段
正确
错误
合计
[20，30）
10
30
40
[30，40]
10
70
80
合计
20
100
120
（2）.
∵3＞2.706，
∴有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关.
（3）按年龄段分层抽取6人中，在范围[20，30）岁的人数是2（人），在[30，40]岁范围的人数是4（人）.
现从6名选手中选取3名选手，设3名选手中在范围[20，30）岁的人数为，则的可能取值为0，1，2
，
，
，
∴的分布列为
0
1
2
P
故的数学期望为.
20.解：
（1）∵圆F的方程为，
∴圆心F的坐标为（2，0），半径r=1.
根据题意设抛物线E的方程为，
∴，解得p=4.
∴抛物线E的方程为.
（2）∵是与的等差中项，
∴.
∴.
讨论：
若垂直于x轴，则的方程为x=2，代入，解得.
此时|AD|=8，不满足题意；
若不垂直于x轴，则设的斜率为k（k≠0），此时的方程为，
由，得.
设，则.
∵拋物线E的准线方程为x=-2，
∴
∴，解得.
当时，化为.
∵，∴有两个不相等实数根.
∴满足题意.
∴存在满足要求的直线或直线.
21.解：
（1）方程即为.
令，则.
令，则（舍），.
当x∈[1，3]时，随x变化情况如表:
x
1
3
＋
0
－
极大值
∴当x∈[1，3]时，.
∴m的取值范围是.
（2）据题意，得对恒成立.
令，
则.
令，则当x＞0时，，
∴函数在上递增.
∵，
∴存在唯一的零点c∈（0，1），且当x∈（0，c）时，；当时，
.
∴当x∈（0，c）时，；当时，.
∴在（0，c）上递减，在上递增，从而.
由得，即，两边取对数得，
∴.
∴，即所求实数a的取值范围是.
22.解：
（1）的普通方程为.
∵曲线的极坐标方程为，
∴曲线的普通方程为，即.
（2）设为曲线上一点，
则点到曲线的圆心的距离
.
∵，∴当时，d有最大值.
又∵P，Q分别为曲线，曲线上动点，
∴的最大值为.
23.解：
（1）因为，
所以即为，整理得.
讨论：
①当时，，即，解得.
又，所以.
②当时，，即，解得.
又，所以.
综上，所求不等式的解集为.
（2）据题意，得对任意恒成立，
所以恒成立.
又因为，所以.
所以，解得.
所以所求实数m的取值范围是.
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