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数论算法.docx

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数论算法

数论

素数问题、同余问题、中国剩余定理、Nim积、高斯消元法求线性方程组解、Pell方程、polya计数、矩阵二分快速幂、伪素数、基本数值计算方法（定积分求解，多项式求根，周期性方程）

1、与整数除法运算相关的算法

整除问题：

xx算法及利用其求最小公倍数：

拓展欧几里得算法及利用其解线性同余方程：

a^b%c几种计算方法

xx剩余定理

#include

usingnamespacestd;

intext_gcd（inta,intb,int&x,int&y）{inttmp,d;

if（b==0）{x=1;

y=0;

returna;}d=ext_gcd（b,a%b,x,y）;

tmp=x;

x=y;

y=tmp-a/b*y;

returnd;}intChina_theory（inta[],intb[],intn）{intres=0,m,*m1,M=1,temp;

m1=newint[n];

memset（m1,0,sizeof（m1））;

for（inti=0;i

M*=a[i];

for（inti=0;i

ext_gcd（m,a[i],m1[i],temp）;

res=res%M+（m*m1[i]*b[i]）%M;--

res=（res+M）%M;}deletem1;

returnres;}intmain（）{int*a,*b,n;

while（scanf（"%d",&n）&&n!

=0）{a=newint[n];

b=newint[n];

2、素数相关问题

素数无穷性证明：

//xx的精彩反证:

假设结论不成立,即只有有限多的素数p1,p2,...,pn。

令m=1+TT（1<=i<=n）pi,即所有素数的乘积,再加一。

因为这个m比所有的素数都大,因此一定是合数。

换句换说,某个素数能够整除它。

哪一个素数能整除它呢？

不难知道,m不能被p1整除,因为m除以p1的余数为1。

同样的,m也不能被p2整除,因为余数也是1。

事实上,当m除以任何一个pi时,余数总是1。

如果m真是合数,唯一的可能是:

p1,p2,...,pn并没有包括所有的素数。

但这又和假设矛盾。

结论:

素数有无穷多个！

素数不仅是无穷多的,而且还不算特别少。

不超过x的素数大约有x/lnx个。

换句话说:

大约每lnx个整数中就有一个是素数。

筛法求素数：

#include

usingnamespacestd;

voidprime（bool*&b,intn）{inti,j;

b=newbool[n];

memset（b,1,sizeof（b））;

b[0]=0;

for（i=2;i<=sqrt（n）+1;i++）

if（b[i-1]）

for（j=1;i-1+j*i

b[i-1+j*i]=0;

for（i=0;i

if（b[i]）

printf（"%d\n",i+1）;

}for（inti=0;i

scanf（"%d",&a[i]）;

for（inti=0;i

scanf（"%d",&b[i]）;

printf（"%d\n",China_theory（a,b,n））;

deletea;

deleteb;}return0;}

2、比较优化的方法（不用打素数表）

intdivide（__int64n）{memset（a,0,sizeof（a））;

__int64i,k=0;

for（i=2;i<=sqrt（double（n））;i++）{if（n%i==0）{while（n%i==0）{n/=i;

a[k]++;}k++;}}

if（n!

=1）a[k++]++;

returnk;}{

intn,h;

while（scanf（"%d",&n）!

=EOF）{for（intj=0;j

a[j].y=0;}h=grid（a,n）;

devide（a,n,h）;

for（inti=0;i

=0）

printf（"%d%d\n",a[i].x,a[i].y）;}}

return0;}N!

末尾0的个数

用N一直除5，知道商为0，将各次商相加即得答案

N！

的素因子分解：

#include

usingnamespacestd;

voidprime（bool*&b,intn）{

inti,j;

b=newbool[n];

memset（b,1,sizeof（b））;

b[0]=0;

for（i=2;i<=sqrt（n）+1;i++）{

if（b[i-1]）

for（j=1;i-1+j*i

b[i-1+j*i]=0;}intcount_mod（inta,intn）{

intsum=0,i=a;

xx公式：

xxφ函数：

φ（n）是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。

n是一个正整数。

欧拉证明了下面这个式子：

如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中众pj（j=1,2,……,m）都是素数，而且两两不等。

则有φ（n）=n（1-1/p1）（1-1/p2）……（1-1/pm）利用容斥原理可以证明它。

*写程序的时候，公式貌似不可以用

不借助质数表

inteuler（intn）{

intm=n,i;

if（n%2==0）m/=2;

while（n%2==0）n/=2;

for（i=3;n!

=1;i+=2）{

if（n%i==0）m-=m/i;

while（n%i==0）n/=i;}returnm;}借助质数表

constintmaxn=400;

boolpf[maxn];

intp[maxn],numOfP=0;

voidinit（）{

memset（pf,0,sizeof（pf））;

for（inti=2;i

if（!

pf[i]）{

p[numOfP++]=i;

for（intj=i*i;j

pf[j]=true;}}}inteuler1（intn）{

intsum=1;

inttmp;

for（inti=0;i

if（n==1）break;

if（n%p[i]==0）{

tmp=0;

while（n%p[i]==0）{

n/=p[i];

tmp++;}for（;a<=n;a*=i）

sum+=n/a;

returnsum;}intmain（）{

inti,n;

bool*b;

while（scanf（"%d",&n）!

=EOF）{

prime（b,n）;

for（i=0;i

if（b[i]）

printf（"%d%d\n",i+1,count_mod（i+1,n））;}return0;}反素数：

数论四大经典定理：

威尔逊定理:

若p为质数，则p可整除（p-1）!

+1。

xx定理（也称xx-xx定理）

若n,a为正整数，且n,a互素，（a,n）=1，则a^φ（n）≡1（modn）

xx定理（又称xx剩余定理）

公元前后的《孙子算经》中有“物不知数”问题：

“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？

”答为“23”。

明朝程大位用歌谣给出了该题的解法：

“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。

”以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。

解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的馀数，15乘7除所得的余数，然後总加起来，除以105的余数就是答案。

费马小定理

假如p是质数，且（a,p）=1，那么a^（p-1）≡１（modp）。

假如p是质数，且a,p互质，那么a的（p-1）次方除以p的余数恒等于1。

for（intj=1;j

sum*=p[i];

sum*=p[i]-1;}}

if（n==1）

returnsum;

else

returnsum*（n-1）;}inteuler2（intn）{inti;

for（i=2;i<=sqrt（（double）n）;i++）{

if（n%i==0&&!

pf[i]）{

n/=i;

if（n%i==0）

returni*euler2（n）;

else

return（i-1）*euler2（n）;}}

returnn-1;}Poj1730

PerfectPthPowers

TimeLimit:

1000MSMemoryLimit:

100K

TotalSubmissions:

10870Accepted:

2429

Description

Wesaythatxisaperfectsquareif,forsomeintegerb,x=b2

.Similarly,xisaperfectcubeif,forsomeintegerb,x=b3

.Moregenerally,xisaperfectpthpowerif,forsomeintegerb,x=bp

.Givenanintegerxyouaretodeterminethelargestpsuchthatxisaperfectpthpower.

Input

Eachtestcaseisgivenbyalineofinputcontaingx.Thevalueofxwillhavemagnitudeatleast2andbewithintherangeofa（32-bit）intinC,C++,andJava.Alinecontaing0followsthelasttestcase.

Output

Foreachtestcase,outputalinegivingthelargestintegerpsuchthatxisaperfectpthpower.

SampleInput

250SampleOutput1302程序

#include

#definemax100

usingnamespacestd;

__int64a[max];

inline

intdivide（__int64n）{memset（a,0,sizeof（a））;

__int64i,k=0;

for（i=2;i<=sqrt（double（n））;i++）{if（n%i==0）{while（n%i==0）{n/=i;

a[k]++;}k++;}}

if（n!

=1）a[k++]++;

returnk;}inline

intgcd（inta,intb）{if（b==0）returna;

elsereturngcd（b,a%b）;}intmain（）{__int64n;

while（scanf（"%I64d",&n）&&n!

=0）{__int64h,m,g=0;

__int64p;

if（n<0）p=-n;

elsep=n;

m=divide（p）;

for（h=0;h

while（g%2==0）

g/=2;

printf（"%I64d\n",g）;}return0;}

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