项目广东普通高校青年创新人才项目申请书自然科学.docx
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项目广东普通高校青年创新人才项目申请书自然科学
学科领域分组：
版本号：
000
所属领域编号:
【关键字】项目
广东省普通高校青年创新人才项目
申请书（自然科学）
项目类别：
青年创新人才类项目
项目名称：
科学计算与大数据分析
学科分类：
数学
项目负责人：
李时敏
负责人手机:
所在学校：
广东财经大学
广东省教育厅制
二〇一四年六月
基本信息
项目信息
项目名称
科学计算与大数据分析
项目类别
青年创新人才类项目
研究类型
基础研究
申请金额
3（万元）
学科一
应用数学
学科二
学科三
计划开始日期
2015年1月
计划完成日期
2016年12月
所属学校
广东财经大学
学校类型
财经类
预期成果形式
合作单位
合作单位名称
联系人
联系电话
通讯地址
广东警官学院
廖燕兰
海珠区滨江东路500号
负责人信息
姓名
李时敏
性别
男
民族
汉
出生年月
1983年9月
学历
研究生
学位
理学博士
职称
讲师
职务
办公电话
手机
一级学科
应用数学
二级学科
电子邮件
身份证号
人才层次
研究专长
摘要
极限环分支问题是微分方程定性理论的主要研究问题之一, 引起了许多数学工作者的广泛关注, 取得了一些优秀的研究成果. 近年来, 从力学, 电气工程和自动控制的研究中出现了大量分段光滑微分系统. 因此, 这一问题的研究具有重要的学术价值, 理论意义以及应用前景.
平均法是研究光滑微分系统极限环分支的一个重要方法. 本项目考虑平面分段光滑微分系统的二阶平均法及其应用. 内容包括：
1.推导分段光滑微分系统的二阶平均函数计算公式，从而 将分段光滑微分系统的一阶平均法推广到二阶情形. 2. 考虑一类分段光滑可积non-Hamiltonian微分系统.利用mathematica,matlab等数学软件，对该类系统的二阶平均函数零点个数进行分析，从而研究该系统从中心的周期环域分支出的极限环个数问题.
关键字
极限环，分段光滑微分系统，符号计算，数值模拟
项目组成员
总数（含负责人）
高级
中级
初级
博士
硕士
学士
1
姓名
性别
出生年月
学位
职称
项目分工
工作单位
研究领域
夏莉
女
1980年1月
博士
副教授
广东财经大学
杨小辉
男
1979年9月
硕士
讲师
广东警官学院
微分方程
经费申请表（金额单位：
万元）
预算科目
创新强校支持经费
备注（计算依据与说明）
一、科研业务费
2万元
1、测试、计算、分析
万元
2、会议费、差旅费
1万元
参加国内学术会议2次
3、出版物、文献、信息传播
1万元
版面费，购书，复印，通讯费用
4、其他
万元
二、试验材料费
0.4万元
1、原材料、试剂、药品购置费
0.4万元
购买打印耗材
2、其他
万元
三、仪器设备费
0.6万元
1、购置
0.6万元
购买计算机
2、试制
万元
四、劳务费
万元
五、其他费用
万元
1、
万元
2、
万元
3、
万元
4、
万元
合计
与本项目有关的其他经费来源
其他计划资助经费
万元
其他经费资助
万元
其他经费合计
万元
进度计划
序号
起止时间
阶段性研究工作进展
阶段性目标
1
2
3
4
预期成果
论文（篇）
总数
4
其中：
CSCD核心期刊
2
三大索引收录
2
专著（部）
研究报告（篇）
专利（件）
数量（件）
申请
授权
其中发明专利
申请
授权
鉴定成果（项）
软件登记（项）
新产品（种）（或新装备、新药等）
新技术（项）（或新工艺等）
其他
申请书正文
一、立项依据
项目的研究意义、国内外研究现状分析，附主要参照文献
微分方程是刻画变量之间的内在联系，揭示研究对象内在规律的学科。
它广泛应用于物理学，生物学，化学，气象学，经济学和社会学等领域，并深入渗透到其它的数学分支。
1881年，Poincaré发表了著名的《微分方程定义的积分曲线》，开创了微分方程定性理论这一数学分支。
定性理论是平面微分方程的核心内容之一，其思想是在不依赖于求解的前提下研究轨线的动力学行为。
在微分方程定性理论中，极限环的个数和相互位置对我们研究平面微分系统大范围的轨线性态非常关键。
所谓极限环，是指平面微分系统的孤立闭轨线。
它每一侧邻近的轨线当自变量趋于正无穷或负无穷时无限缠绕地趋于这条闭轨线，极限环由此而得名。
最初，人们考虑的往往都是平面光滑微分系统：
（1）
其中，是关于的光滑函数。
关于平面光滑微分系统
（1）极限环的研究，是一个既有趣而又十分困难的问题。
如著名的Hilbert第16问题及其弱化问题等都十分困难[1,2]。
对于平面光滑微分系统
（1），极限环主要通过下面三种分支产生。
第一种是在高阶细焦点邻域研究退化的奇点分支（Hopfbifurcation）。
其基本思想是通过计算焦点量,从而得到由细焦点分支出的多重极限环，见刘一戎，李继彬专著[3]。
第二种是从中心的周期环域产生的闭轨分支（Poincarébifurcation）。
通过对中心的周期环域进行扰动，使其周期轨破裂，从而产生极限环。
关于此类分支的介绍可以参照专著C.Christopher,C.Li[4]。
第三种方法是从奇异闭轨线邻域产生的同宿分支（Homoclinicbifurcation）和异宿（Heteroclinicbifurcation）分支，见M.Han,P.Yu[5]。
近年来，随着对现实世界认识的日益深刻，学者们发现刻画现实物理现象的许多函数都是分段光滑的。
即整个物理过程被某些瞬时事件分割成若干部分，而在这些若干部分一般又是由不同的光滑函数来刻画。
例如，含有开关装置的电路在开关打开和开关闭合时一般对应不同的电路方程。
下面介绍如下类型的平面分段光滑微分系统：
（2）
其中为关于的光滑函数。
称
为开关流形（switchingmanifold），它将平面分成两部分：
，
。
注意到：
若，则系统
（2）为光滑微分系统。
根据系统
（2）轨线的光滑程度，分段光滑微分系统
（2）分为以下三种类型[6]：
（I）分段光滑连续系统（Piecewisesmoothcontinuoussystem,PWSC）：
系统
（2）的轨线和向量场都是连续的，但是Jacobian矩阵在开关流形上不连续。
因此存在函数，使得
，
显然，当时，有。
（II）Filippov系统：
系统
（2）的轨线连续，但是向量场不连续。
即当时，有。
对于Filippov系统，又可根据开关流形分为如下三种情形：
（II.1）穿越区域（Crossingregion）是的一个子集，在其上满足。
即系统
（2）的轨线穿过，见图1（a）。
穿越区域又称为非滑动区域（No-slidingregion），在这种情形下，由于系统的轨线是连续的，并且系统
（2）右端函数满足局部Lipschitz条件，从而系统的轨线存在并且唯一。
滑动区域（Slidingregion）是的一个子集，在其上满足。
在这种情况下，轨线会发生所谓的滑动现象。
具体来说，滑动现象又可以分为以下两种：
（II.2）若和成立，这种类型的滑动区域称为吸引区域（attractingregion）。
这时，系统
（2）的轨线向内指向，见图1（b）。
在吸引区域内，系统的轨线与相切。
在这种情形下，系统的解是唯一的。
（II.3）若和成立，这种类型的滑动区域称为排斥区域（repellingregion）。
这时，系统
（2）的轨线逃离，见图1（c）。
在排斥区域内，轨线可能在中停留一段时间，也有可能在任意时刻离开。
在这种情形下，系统的解不是唯一的。
图1（a）图1（b）图1（c）
（III）碰撞系统（Impactingsystem）：
系统
（2）的轨线是不连续的。
一般来说，碰撞系统具有如下形式:
其中是重置映射，分别为系统轨线与开关流形接触前后的位置。
注意到碰撞系统只在开关流形的一侧有定义。
经过一百多年的发展，关于光滑微分系统
（1）的分支问题已经有了很多的研究。
而对于分段光滑微分系统
（2），由于系统的非光滑性，使得光滑微分系统中研究极限环稳定性和分支的方法都不再适用。
目前学者们主要是用“遇到一类——研究一类——解决一类”的办法进行讨论，所得到的理论结果一般情况下只是用于某一类型的分段光滑微分系统。
在文献[7]中,
由于PWSC（类型I）和Filippov系统（类型II）的轨线都是连续的，下面我们考虑这两种类型的分段光滑微分系统。
分段光滑微分系统可以具有所有在光滑微分系统中可能发生的分支现象。
广义Hopf分支：
类似于光滑微分系统的Hopf分支，通过计算广义焦点量或Lyapunov常数，可以得到分段光滑微分系统的广义Hopf分支。
B.Coll,A.Gasull,R.Prohens在[8]中研究了分段光滑微分系统退化奇点的Hopf分支。
Y.Zou,T.Kupper,,W.Zhang[10]研究了分段光滑线性微分系统的Hopf分支，他们研究了这些系统可能出现的极限环的个数。
有关分段光滑微分系统
（2）的广义Hopf分支问题研究，还可以参照S.Huan,X.Yang[11],J.Yang,M.Han,W.Huang[12],X.Chen,Z.Du[13]以及T.Kupper,S.Moritz[14]。
闭轨分支：
X.Liu,M.Han[15]考虑了分段光滑Hamiltonian系统在一般扰动下的分支问题。
他们利用Melnikov方法，得到了一阶Melnikov函数在中心附近的展开式。
Z.Du,Y.Li,W.Zhang[16]研究了Filippov系统从中心分支出极限环的问题。
同宿分支：
A.Calamai,M.Franca[17]利用Melnikov方法研究了分段光滑微分系统的同宿分支。
F.Liang,M.Han,X.Zhang[18]给出了分段光滑微分系统存在同宿轨的充分条件。
此外，L.Li,L.Huang[19]考虑了Filippov系统中Hopf分支和同宿分支共存现象。
除了上述三种常见分支方法，由于分段光滑微分系统
（2）的不光滑性，学者们还发现了许多在光滑微分系统中不能出现的奇异分支现象，见M.diBernardo等的综述文献[20]。
值得注意的是，Filippov系统中类型（II.2，II.3）还可以出现滑动分支，有关此类分支的介绍见D.Pi,J.Yu,X.Zhang[21]和,
平均法是研究极限环分支问题的一个主要工具。
其基本思想是用广义极坐标变换把闭曲线表示成幅角的周期函数,从而平均函数的孤立零点对应微分系统的极限环。
平均法思想的起源最早可以追溯到Langrange和Laplace时代,他们在研究三体问题时就给出了平均法的直观判断。
1928年Fatou首次给出了平均法的具体表达形式[7]。
随后,,N.Krylo等对平均法在应用以及理论上的研究做出了十分重要的贡献[23]。
值得注意的是，经典的平均法要求方程右边函数是的，见,F.Verhuls专著[24]。
经过长期的发展,平均法已经被推广到各种形式。
对于光滑微分系统，一阶平均法是非常经典的结果，最早出现在专著[24]中。
当一阶平均函数恒为零时，我们需要考虑其后继函数的高阶近似，即考虑高阶平均函数的零点个数。
B.Coll,A.Gasull,R.Prohens[25]研究了光滑微分系统的高阶平均法，并给出了五阶平均函数的具体表达式。
此外，文[26]中得到了任意阶平均函数的计算公式。
一般来说，对于光滑微分系统，利用高阶平均法，可能会得到更多极限环。
但是随着阶数越高，平均函数的计算也就越复杂，可参照S.Li,Y.Zhao[27]
对于非光滑微分系统，2004年，A.Buica,J.Llibre[28]利用Brouwer测度，减弱了经典平均法定理要求方程右端函数是的条件，将平均法推广到连续微分系统。
最近，,,[29]得到了开关流形属于非滑动区域时，分段光滑微分系统的一阶平均法定理。
随后，,M.Jeffrey,，研究了分段光滑微分系统开关流形存在滑动区域时的极限环分支。
我们注意到：
对于分段光滑微分系统，目前还没有论文将一阶平均法推广到高阶情形。
总之，分段光滑微分系统定性理论是为了认识和理解用光滑微分系统定性理论解决不了的实际问题而发展起来的。
因此，分段光滑微分系统的高阶平均法研究有着十分重要的学术价值和应用前景。
主要参考文献：
[1]J.Li,Hilbert's16thproblemandbifurcationsofplanarvectorfields,
Inter.J.Bifur.Chaos,13（2003）,47-106.
[2]李承治,李伟固,弱化希尔伯特第16问题及其研究现状,数学进展,39（2010）,513-526.
[3]刘一戎、李继彬,平面向量场的若干经典问题,科学出版社,北京，2010.
[4]C.ChristopherandC.Li,Limitcyclesofdifferentialequations,BirkhauserVerlag,Berlin,2007.
[5]M.HanandP.Yu,NormalForms,MelnikovFunctionsandBifurcationsofLimitcycles,Springer,NewYork,2012.
[6]M.diBernardo,etc.,PiecewisesmoothDynamicalSystems,Theory
andApplications,AppliedMathematicalSciences,Vol.163,
Springer-Verlag,London,2008.
[7]A.F.Filippov,DifferentialEquationwithDiscontinuousRight-Hand
Sides,KluwerAcademic,Amsterdam,1988.
[8]B.Coll,A.GasullandR.Prohens，DegenerateHopfBifurcationsin
DiscontinuousPlanarSystems，J.Math.Anal.Appl.,253（2001）,671-690.
[9]Y.Zou,T.KupperandW.J.Beyn，GeneralizedHopfBifurcationforPlanarFilippovSystemsContinuousattheOrigin,J.NonlinearSci.,16（2006）,159-177.
[10]M.HanandW.Zhang,OnHopfbifurcationinnon-smoothplanarsystems,J.DifferentialEquations,248（2010）,2399-2416.
[11]S.HuanandX.Yang,GeneralizedHopfbifurcationinaclassofplanarswitchedsystems,DynamicalSystems,26（2011）,433-445.
[12]J.Yang,M.HanandW.Huang,OnhopfbifurcationofpiecewiseplanarHamiltoniansystems,J.DifferentialEquations,250（2011）,1026-1051.
[13]X.Chen,Z.Du,Limitcyclesbifurcatefromcentersofdiscontinuousquadraticsystems,ComputersandMathematicswithApplications,59（2010）,3836–3848.
[14]T.KupperandS.Moritz,GeneralizedHopfbifurcationfornon-smoothplanarsystems,Phil.Trans.R.Soc.Lond.A,359（2001）,2483-2496.
[15]X.Liu,M.Han,Bifurcationoflimitcyclesbyperturbingpiecewise
Hamiltoniansystems,Internat.J.Bifur.Chaos.,20（2010）,1379-1390.
[16]Z.Du,Y.LiandW.Zhang,BifurcationofperiodicorbitsinaclassofplanarFilippovsystems,NonlinearAnalysis,69（2008）,3610–3628.
[17]A.CalamaiandM.Franca,MelnikovMethodsandHomoclinic
OrbitsinDiscontinuouSystems,J.Dyn.Diff.Equat.,25（2013）,733-764.
[18]F.Liang,M.HanandX.Zhang,Bifurcationoflimitcyclesfromgeneralizedhomoclinicloopsinplanarpiecewisesmoothsystems,J.DifferentialEquations,255（2013）,4403-4436.
[19]L.LiandL.Huang,ConcurrenthomoclinicbifurcationandHopfbifurcationforaclassofplanarFilippovsystems,J.Math.Anal.Appl.,411（2014）,83-94.
[20]M.diBernardo,etc.,BifurcationsinNonsmoothDynamicalSystems,SIAMREVIEW,4（2008）,629-701.
[21]D.Pi,J.YuandX.Zhang,Ontheslidingbifurcationofaclassofplanarfilippovsystems,Internat.J.Bifur.Chaos,23（2013）,1350040-1-18.
[22]M.R.JeffreyandS.J.Hogan,TheGeometryofGenericSlidingBifurcations,SIAMREVIEW,53（2011）,505-525.
[23]N.N.BogoliubovandN.Krylov,Theapplicationofmethodsofnonlinearmechanicsinthetheorystationaryoscillations,Publ.8oftheUkrainianAcad.Sci.Kiev,1934.
[24]J.A.Sanders,F.Verhulst.Averagingmethodsinnonlineardynamicsystems,AppliedMathematicalScience,vol.9,Springer-Verlag,NewYork,1985.
[25]B.Coll,A.GasullandR.Prohens,Periodicorbitsforperturbednon-autonomousdifferentialequations,Bull.Sci.Math.,136（2012）,803-819.
[26]J.Gine,M.Grau,J.Llibre,Averagingtheoryatanyorderforcomputingperiodicorbits,PhysicaD,250（2013）,58-65.
[27]S.Li,Y.Zhao,Limitcyclesofperturbedcubicisochronouscenterviathesecondorderaveragingmethod,Internat.J.Bifur.Chaos,24（2014）,140035-1-8.
[28]A.Buica,J.Llibre,Averagingmethodsforfindingperiodicorbitsvia
Brouwerdegree,Bull.Sci.Math.,128（2004）,7-22.
[29]J.Llibre,D.D.Novaes,M.A.Teixeira,Averagingmethodsforstudyingtheperiodicorbitsofdiscontinuousdifferentialsystems,arXiv:
1205.4211.
[30]D.D.Novaes,M.JeffreyandM.A.Teixeira,Onslidingperiodicsolutionsforpiecewisecontinuoussystemsdefinedonthe2-cylinder,2014,Preprint.
二、研究方案
1.研究目标、研究内容和拟解决的关键问题
研究目标：
1.将[29]中的分段光滑微分系统的一阶平均法推广到二阶情形，为研究分段光滑微分系统的极限环问题提供新的方法和思路。
具体为：
得到分段光滑微分系统
（2）的二阶平均函数的具体表达式，将分段光滑微分系统
（2）的极限环个数问题
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