历年概率论与数理统计试题汇编.docx

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历年概率论与数理统计试题汇编

历年概率论与数理统计试题汇编

第一章古典概型

1.1填空题

1.（05技术）任取一非负整数，则该数的平方的个位数字是1的概率为.1/5

2.（05技术类B）一堆参考书共9本,其中有4本数学书,3本物理书,2本化学书.从中

任取2本,则所取的2本参考书属不同学科的概率为.c4c3c2/cf=213.

3.（05技术类B）某门课程只有通过口试及笔试两种考试，方可结业•一学生口试能通过

的概率为0.9,笔试能通过的概率为0.85,且至少能通过一种考试的概率为0.95.则该

学生能结业这门课程的概率是P（AB）=P（A）P（B）-P（AB）=0.8.11

4.（05指挥类）两人独立地去破译一份密码，每人能译出的概率分别为5和4，则至

少有一人能译出的概率是.2/5.

5.（06技术类）已知P（A）=0.3,P（B）=0.4,P（AUB）=0.5,贝UP（aB）=.0.1

6.（08技术类）已知事件A与B相互独立，C与A、B互不相容，且P（A）=0.5,

P（B）=0.4,P（C）=0.2,设D为事件“A、B、C至少有一个发生”，则

P（D）=.0.9

7.某工程需要的水泥来自两个水泥厂，甲厂每天供应600袋，其中质量达不到标准的

占3%;乙厂每天供应400袋，其中质量达不到标准的占1%.现从两厂的水泥中随机

选出一袋进行检测，则这袋水泥没有达到标准的概率p二.0.022（或

11/500）

8.（09技术类）对于事件A,B,已知P（B）=0.6,P（A-B）=0.3,则

P（A|B）二.0.25

9.（10技术类）设代B为事件，P（A）二P（B）,P（A|B）=0.2,P（B|A）=0.3，则

P（A）=0.4

1・2计算题

一、（05技术类）连续做某项试验，每次试验只有成功和失败两种结果.已知当第k次成功时，第k1次成功的概率为丄；当第k次失败时，第k1次成功的概率为3.如

24

果第一次试验成功和失败的概率均为1,试求第三次试验成功的概率.

2

解：

记事件Ak=｛第k次试验成功｝,k=1,2,3.要求P（A3）?

已知P（A）马，

PG1丨人）吵P（Aki|A<^3,k=1,2.……2分

则P（“）=P（AJHA?

|AJP（A）P（A2|A1）

11135

5分

10分

=A十兀=—

22248'

P（A）=1-卩（宀）^-5,3.

88

p（A3）=p（A2）p（A3IA2）p（A2）P（A3IA2）

=5133-19

828432

二、（05技术类B）连续做某项试验，每次试验只有成功和失败两种结果•已知第k

1

次试验成功时，第k1次成功的概率为㊁；当第k次试验失败时,第k1次成功的概率为4.且第一次试验成功与失败的概率均为吉.试求第3次试验成功的概率.

解设Ak（k=1,2,…）分别第k次试验成功，依题意有

P（Ai）=PR）号,P（Aki|A"=1，P（Ak.1|Ak）兮

由全概率公式有

P（Ab）=P（A3|A2）P（A2）P（A3|a2）P（a2）

=2p（a2）|p（A2）

=2p（A2）|[^p（A2）]

=3-1p（A2）

44

=4-1【P（A2|A）P（A）P（Az|A1）P（A）]

31/11.31、

44、2242丿

_19

_32

三、（06技术类）盒子中有n个球，其编号分别为1,2,?

，n.先从盒子中任取一个球出来，如果是1号球则放回盒子中去，否则就不放回盒子中，然后再任取一个球出来.若第二次取到的是k（1乞k空n）号球，求第一次取到1号球的概率.

设A为事件“第一次取到1号球”；设B为事件“第二次取到k号球”，设C为事件“第一次取到k号球”，

则有P（A）=1/n

（1）当k=1时。

因为

P（B）二P（B|A）P（A）P（B|A）P（A）=1-—

nnn—1

所以P（A|B）二

P（AB）

P（B）

P（B|A）P（A）

P（B）

11〃n1、1

n,（有）「1

2

n-n-1

n2（n-1）

P（A|B）二

P（AB）

P（B）

P（B|A）P（A）

P（B）

1丄/匸口）

nnn2（n-1）

n「1

2

n-n-1

四、（07指挥类）某城市发生一起凶杀案，公安人员根据现场分析判断凶手还隐藏在该

城市的概率为0.4，乘车外逃的概率为0.5，自首归案的概率为0.1.今派员跟踪追捕，案发地公安部门力量强，如果凶手躲藏在该城市则容易被抓到，其概率为90%.外逃则

情况比较复杂，抓获凶手的概率为50%.试求该案被破获的概率.

解设A表示事件“该案被破获”，B1,B2,B3分别表示事件"凶手还在该城市

“凶手乘车外逃”和“凶手自首归案”，贝U

P（B1）=0.4,P（B2）=0.5,P（B3）=0.1

（4分）

由全概率公式得

3

P（A）八P（A|Bi）P（Bi）

i=

（8分）

=0.90.40.50.510.1=0.71

（10

（2）当k-1时

因为P（B）二P（B|A）P（A）P（B|AC）P（AC）P（B|AC）P（AC）

=11。

」匚口

nnn-1n-1n

五、（08技术类）008年初，美国计划于同年2月通过“伊利湖”号巡洋舰发射“标准

三型”导弹击毁失控的大型间谍卫星“USA193,共准备发射三枚导弹，如果第一枚导弹发射后没有将卫星击毁则发射第二枚导弹，第二枚导弹还没有击毁卫星则发射第三枚

导弹.设导弹发射升空后导引头传感器捕获到目标卫星的概率为0.70,导弹捕获目标后

将卫星击毁的概率为0.60.求实施该计划将失控卫星击毁的概率•

解设Ai表示“第i枚导弹捕获卫星”，Bi表示“第i枚导弹捕获卫星后将其击毁”

Ci表示“第i枚导弹击毁卫星”（i-1,2,3），Ci,C2,C3相互独立，且

P（Ci）=P（AiBi）=P（A）P（Bi|A）=0.70.6=0.42（i=1,2,3）（5分）

则实施该计划将失控卫星击毁的概率

p=P（GUC1C2UC1C2C3）=p（g）p（CQ2）PC1C2C3）-P（C1）P（C1）P（C2）-P（C1）P（c2）P（C3）=0.42（1—0.42）0.42（1一0.42）20.42

二0.805（10分）

六、（09技术类）对某敌舰独立地炮击两次，每次发射一枚炮弹，命中率分别是0.8和0.9,

敌舰中一弹而被击沉的概率为0.6,中二弹而被击沉的概率为0.95.求炮击两次后敌舰

被击沉的概率.

解：

记事件B=｛敌舰被击沉｝,Ai=｛第i枚炮弹击中敌舰｝,i=1,2.

由题意知p（Aj=：

0.8,P（A2）=0.9,且事件A,A相互独立，P（B|（aA2一A,A2））=0.6,P（B|AA）=0.95.……2分则P（AA2）=P（AJP（A）=0.80.9=0.72,

P（AA2-A.A2）=P3A2）P«A2）=P（A）P（A2）P（A）P（A2）

所以,所求概率为

P（B）=P（A^2一A1A2）P（B|（AiA2A1A2））P（AA2）P（B|AA2）

=0.260.60.720.95=0.8410分

七、（10技术类）设人群中，人的血糖值服从N（5,1.562），若血糖值（空腹）长期稳

定超过7就诊断为糖尿病，但在一次检查中，由于各方面的原因，糖尿病患者有5%血

糖值低于7,正常人有6%血糖值高于7.今在一次检查中，老李的血糖值超过7,问老

李实际患糖尿病的概率为多少?

解：

令血糖值为X，事件A为患糖尿病，事件B为一次检查中血糖值超过7,（2分）

X—57_5

则P（A）=P{X7}=P{}=1-「（1.28）=0.1,

1.561.56

（5分）由贝叶斯公式有

P（A|B）二

P（B|A）P（A）

P（B|A）P（A）P（B|A）P（A）

0.957.1

0.950.10.060.9

0.095

0.149

=0.64

（10

分）

第二章随机变量及其分布

2.1填空题

1.（06技术类）假设某城市成年男子的身高X〜N（170,36）（单位：

厘米），则

当公共汽车车门高度高于时，成年男子与车门碰头的机会小于

0.01.183.98

2.（06技术类）设Xi,X2,X3是来自总体X的样本，X的概率密度为：

05x0fx2；

f（x）二’［；，则Xi,X2,X3中恰好有2个小于1的概率是

10,其他.

22

C3（1/43/4=9/64

3.（07指挥类）设随机变量X的密度为f（x）：

:

:

x：

：

：

：

：

.则常数

_1=eK"

4.（08技术类）设X服从泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},则

P{X-4H•3/

5.（08技术类）设X~N（・<2）p0）,且P{「：

X：

：

：

2卜0.,4则

P{X:

:

0}=.0.1

6.（05指挥类）设随机变量X服从区间（0,2）上的均匀分布，则随机变量Y=X2

的密度函数是

fY（y）-

0：

：

y：

：

：

4,

其它

_1_

fY（y）

I佳

7.（10技术类）设ce4"*为正态分布的密度函数，则c-

2Ju

1

8.（10技术类）一电子元件可能受到3个独立冲击源发出的冲击电流的冲击，一旦受到

任何一个冲击，电子元件就会失效，设一段时间内，这3个源发出的冲击电流数均服从

参数为1的泊松分布，则这段时间内该元件失效的概率为.1-e"

22计算题

（05技术类）设随机变量X的密度函数f（x^Ae4x|,-:

:

.

1）

试确定常数A;

2）试写出X的分布函数F（x）;

3）求概率P{0：

：

：

X:

:

:

1}.

-be-be-be

解：

1）由1=f（x）dx=A-e4x1dx=2Ae」dx=2A

r:

-:

0

A=1,且f（x）=1e»,-：

：

：

：

x；：

：

22

x

2）由F（x）二f（t）dt,则

当x乞0时，F（x）

x

e

0x

当5时，F（x）乜心吧2e*T*

!

1ex,x"

F（X）={2q.……7分

1-1e」,x>0

L2

3）

10分

P{0：

：

X：

：

：

1}=F

（1）_F（0）=^1e4

2

、（05技术类B）设X的密度函数

f（x）

2—

二■:

（1x2）

i0,

x0,

x乞0.

密度函数。

解令y=g（x）=lnx,（x-0）,其反函数为

h（y）=ey,h（y）=ey,（」：

:

：

y：

：

：

：

），于

fY（y）=|h（y）|f（h（y））2e；,（_：

：

:

:

:

y：

：

：

：

：

）.

兀（［十e）

三、（09技术类）已知7个电子元件中有4个正品及3个次品.每次任意抽取一个来测

试,测试后不再放回去，直至把3个次品都测试到为止•以X表示测试停止时的测试次

数,试求X的分布律•

解：

由题意知，X,Y的联合密度函数为

1

f（x,y）二9，0x：

：

3,°：

：

y：

：

3io,其它

则随机变量Z的分布函数为

=..f（x,y）dxdy.

X

Fz（z）=P{Z乞z}=P{〒乞z}

则当z^0时,

Fz（z）=0；

当0：

：

z乞1时,

11z

Fz（z）—$33z）匕;

当z1时,

1

丄

2z

13

Fz（z）=1-6（233）-1

所以,得Z的分布函数为

Fz（z）“

2z

z：

：

0

0：

：

z空1■

z1

10分

第三章多维随机变量及其分布

3.1填空题

1.

b二

.（0.15,0.05）

且

相互独立，则常数

2.（05技术）已知二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为

f（x,y）=:

2€宀,0cx

则在Y=4的条件下，X的条件密度函数fX|Y（x|4）=

e^

4,0：

：

x：

：

4

fXy（xI4）~1_e

0,其它

3.（05

技术类B）

设二维随机变量（X,Y）的密度函数

f（x,y）=」

1,

0,

|yp：

x,0：

：

x：

：

1,其它，

对于给定值x（0：

：

：

x：

：

：

1）时，则

fYix（y|x）二

fx（x）

-x：

：

y：

x,

其它y•

4.（05指挥类）设X,Y相互独立，联合分布律为

1

2

3

1

1/8

a

1/24

2

b

1/4

1/8

则a=,b=.a=1/12,b=3/8

5.（07指挥类）设（X,Y）服从区域G:

|y|：

：

：

x”：

1上的均匀分布，则边缘密度

fx（x）=

2x,0:

:

x:

:

1,fx（X）=0,其它.

6.（07指挥类）设X,Y分别表示甲、乙两个元件的寿命（单位：

千小时），其概率

密度分别为

fx（x）

eVx0,

0,x^0,

t

1

fY（y）2

y0,

0,y^0.

若X,Y相互独立，两个元件一同开始使用，则甲比乙先坏的概率为

.P{X£Y}=3

7.（09技术类）设随机变量（X,Y）的联合密度函数为

11

f（x,y）=，0

|y|：

x

其它

|y|：

：

x,0：

：

x:

:

:

1

其它

对于给定值x（0:

:

:

x:

:

:

1）时,则fY|X（y|x）=

3.2计算题

（05技术类）已知二维随机变量（X,Y）的密度函数为

f（x,y）=丿

3x

0：

：

x:

:

1,0：

：

y：

：

x

其它

1）求关于X的边缘密度函数fX（x）?

2）令Z=XY,求随机变量Z的密度函数fZ（z）?

-bo

.解:

1）由fx（x）二f（x,y）dy,则

当x_0,or:

x_1时，f（x,y）=0.fX（x）=0;

当0：

：

：

x：

：

：

1时,

x

fX（x）二3xdy二3x2.

0

fX（X）=丿

3x2,0

2）

由和的密度公式得

-bo

1

fZ（Z）

=Jf（x,z—x）dx=Jf（x,z—x）dx,

6

-:

0

当z乞0,or:

z_2时,f（x,z-x）二0.fz（z）二0;

z

fZ⑵二3xd^9z2;

z/28

当1：

：

：

z：

：

：

2时

1

fZ（z）=3xdx二舟

z/22

10分

0：

z<1

1：

：

z：

：

2.

21T

2z4z

9-80

3-2

-^^^11r^lI

-

⑵

z

0,其它

且X,Y相

二、（05技术类B）设随机变量X~一（i）,Y~一

（2）（泊松分布）互独立•

令Z=XY,试求随机变量Z的分布律。

解P{Z二k}二P{XY二k}

qQ

=vP{XY二k|Y二i}P{Y二i}

i=0

k

二'P{X二k-i|Y二i}P{Y=i}

i=0

因为X,Y独立，所以条件概率变为无条件概率，故

k

P{Z=k}二二P{X-k-i}P{Y=i}

i=0

k

=z

i=0

.k4

1ei（k-i）!

■i2

iTe—'2

1

i!

（k_i）!

■汁2

k

=e八亠;2）v

i=0

因为Ck=i!

（kk-i）!

，所以P{Z=kWk+—宀—

即X•Y~二（’1•'2）•

三、（05指挥类）设二维随机变量（X,Y）的密度函数为

le^,x0,yx,f（X，yH.0，其它

（1）求X,Y的边缘密度函数，问X,Y是否独立?

⑵求条件概率密度fX|Y（x|y）.

（3）计算条件概率P{X2|Y<4}.

fx（X）=:

f（x,y）dy

-od

e^dy,x0

x

0,XE0.xe,x00,x^0

fy

e^dx,y0fY（y）二._f（x,y）dx二00,xW0yejy0.0,yE0因为f（x,y）=fx（x）fY（y）故X,Y不独立。

（下面两小题只要一个小题正确就得5分；若都不正确，取最高分）

⑵当y•0时有

fX|Y（x|y）」（x,y）

fY（y）

r4

-,yx

7

0,其它

P{X2,Y:

:

:

4}=edxdy=

D：

运处

44

2dxxe—ydy

=：

j2（e」-e^）dx

=e^_3e_4

P{X2,Y：

：

4}

P{X2|丫忙p{y:

:

：

4}

J2A

e_3e

4

0ye^dy

2

1-5e"

_4

—3e

四、（05指挥类）设随机变量

X,Y相互独立，其密度函数分别为

fx（x）=fY（y）=2y,0^y

0,其它

求Z=XY的密度函数。

解法一Fz（z）=P{XYzz}二fx（x）fY（y）dxdy

x7£Z

iie»2ydxdy

xy竺D：

x_0_0_y

zz_y

dye」2ydx,0乞z乞1,

00

dye»2ydx,1：

：

乙

00

2z2-2e^

1-2e^,

0

0_z_1,

1:

:

乙

z：

：

0,

z：

：

0

2e^+2z—2,0兰z兰1,

fz（z）=三2e^,z-1,

0,其它•

解法二由卷积公式有

■-1

fz（z）二二:

fx（z-y）fY（y）dy=20yfx（z-y）dy

厂z

2Lye«T）dy,0"“

=<2J0ye4）dy,z〉1

0,其它

2e^2z-2,0_z_1,

2e_z,z-1,

0,其它.

五、（06技术类）设（X,Y）的概率密度为

f（x,y）

1,|y卜:

x,0:

:

x：

：

1；

0,其他.

1.求X与丫的边缘密度；

2.求概率P{X>0.5|丫>0}.

「2x,0

X（X）=0,其他.

fy（y）

1-丨yI,y<1;

0,其他•

（2）P（X0.5|Y0）=3/4

六、（06技术类）

设Xi,X2,X3,X4是独立同分布的随机变量,

X

P{Xi=0}=0.4，P{Xi=1}=0.6，求行列式x=1

X3

X2

X4

的分布律.

X1

X3

X2

X4

二X1X4-X2X3

所以X的可能取值为-1，0，1

P（X二-1）=P（X1X4=0,X2X3=1）=P（X1X4=0）P（X2X3=1）=P（X1X4=1）】P（X2X3二1）

二1-Pg=1）P（X4=1）】P（X2=1）P（X3=1）

=（1-0.36）0.36=0.2304

P（X=1）=P（X/4=1,X2X3=0）=P（X1X4=1）P（X2X3二0）

=P（X1X4=1）1

P（X2X3=1）1

=（1-0.36）0.36二0.2304

P（X=0）=1-2P（X=1）=1-20.2304=0.5392

七、（07指挥类）设二维随机变量（X,Y）的密度函数为

4（1xxy）,0x<1,0y：

：

1,

f（x,y）工二70,其它.

（1）求条件密度函数fx|Y（x|y）；

（2）计算P{X0.5|Y=0耳.

解

（1）二维随机变量（X,Y）关于Y的边缘密度为

i

fY（yr40（1x幼叭—八1,

=I7（3+y）,0

所以当0：

：

：

yd时，有

fx|Y（x|y）

f（x,y）

0

fY（y）

0：

：

x:

:

:

1,

其它x.

（7分）

⑵P{X>0.5|Y=0.5}=0；fx|Y（x|0.5）dx打.5^35血=28

（10分）

八、设

X,Y相互独立，密度函数分别为

1,0

fX（x）科0,其它,

y0,

y2

求随机变量

Z二X•Y的密度函数.

解法

由卷积公式有

（4分）

「尹讼,z^1,z（z）=«『edz^dx,0CZC1,

0,zm

（eT）e3z-1,

='1—e「0czv1,

（10

（2分）

fz（z）二fx（x）fY（z-x）dx

-oO

fx（x）fy（z-x）=0的区域是D:

0：

：

：

x：

：

：

1,zx，如图所示

解法二当z.0时，有

FZ（z）二P{XX

..fx（x）fY（y）dxdy=

xy-z“

0：

：

x?

zx

Xy：

：

：

Z

zz-X_y

I!

dx0edy,0.z：

：

1,

-1z-x

0dx0edy,z—1，

z-1e=0：

：

z：

：

1,

1-e+e=z_1,

e—ydxdy

（e-1）e,z_1,

I」

fZ（z）=1「e,0：

：

z：

：

1,

0,zS

（10分）

X的分布律为

X

0

1

Pk

0.4

0.6

设0（1«2^3是R3中线性无关的常数向量

•求向量

%=%+口2P2=

口2_%,爲

九、（08技术类）设随机变量X,Y独立同分布,

线性相关的概率•

解法一因为

_10X]

[冃駡阳=[口1口25]1110

0-1Y

i

0

X

Pi,L03线性相关

i

i

0

=0uX—Y=0