A[j]↔A[j-1]
sorted=false
endif
endfor
i=i-1
endwhile
endBUBBLESORT
5.用两种方法证明logn!
=
（nlogn）。
（1）用代数方法
（2）用积分方法
6.求解递推关系式f（n）=-6f（n-1）-9f（n-2）。
7.分治算法由哪些基本步骤组成？
分治算法的时间复杂性常满足什么样的递归方程，写出该方程的一般形式，并指出其中各参数的意义。
8.算法有哪五个特性？
9.什么是最优子结构？
10.贪心法与动态规划有何根本区别？
11.设计回溯算法通常包括哪些步骤？
12.随机算法分成那几类，各有什么特点？
三．算法填空
1.以下是计算xm的值的过程
power（x,m）
//计算xm的值并返回。
ifm=0theny=____________
else
y=____________
y=y*y
ifm为奇数theny=x*y
endif
____________
endpower
2.以下是关于矩阵链乘的算法MATCHAIN1和MATCHAIN_PRODUCT
算法MATCHAIN1
输入：
矩阵链长度n,n个矩阵的阶r[1..n+1],其中r[1..n]为n个矩阵的行数，r[n+1]为第n个矩阵的列数。
输出：
n个矩阵相乘的数量乘法的最小次数，最优顺序的信息数组S[1..n,1..n]。
fori=1tonC[i,i]=0//对角线d0置０
ford=1ton-1//逐条计算对角线d0~dn-1
fori=1ton-d//计算对角线dd的n-d个元素。
____________
C[i,j]=∞
fork=i+1toj
x=____________
if____________then
C[i,j]=x;S[i,j]=k
endif
endfor
endfor
endfor
returnC[1,n],S
endMATCHAIN1
根据S中的信息递归确定最优乘法顺序。
算法MATCHAIN_PRODUCT
输入：
矩阵链长度n,n个矩阵M1,M2,…,Mn,最优乘法顺序的信息数组S[1..n,1..n]。
输出：
按最优顺序计算的矩阵链乘积M=M1M2…Mn。
M=matchain_product（1,n）
returnM
endMATCHAIN_PRODUCT
过程matchain_product（i,j）
//求按最优顺序计算的矩阵链乘积MiMi+1…Mj并返回。
if____________thenreturnMi
else
A=matchain_product____________
B=matchain_product____________
C=multiply（A,B）//计算两个矩阵乘积C=AB。
returnC
endif
endmatchain_product
3.以下是迷宫问题的算法
算法MAZE
输入：
正整数m,n，表示迷宫的数组M[0..m+1,0..n+1]（迷宫数据存于M[1..m,1..n]中），迷宫的入口位置（ix,iy）,出口位置（ox,oy）。
输出：
迷宫中入口至出口的一条通路，若无通路，则输出nosolution。
M[0,0..n+1]=M[m+1,0..n+1]=1
M[0..m+1,0]=M[0..m+1,n+1]=1//设置迷宫边界。
tag[1..m,1..n]=0
为dx[1..4],dy[1..4]置值
flag=false//flag表示是否存在通路。
x=ix;y=iy;tag[x,y]=1//进入入口,（x,y）表示当前位置。
i=1;k[i]=0
while____________andnotflag
while____________andnotflag
____________//试沿着下一个方向搜索。
x1=x+dx[k[i]];y1=y+dy[k[i]]
ifM[x1,y1]=0andtag[x1,y1]=0then//位置（x1,y1）可走
ifx1=oxandy1=oythen____________//找到一条通路
elsex=x1;y=y1;tag[x,y]=1//进入新位置。
i=i+1；k[i]=____________//准备搜索下一个位置。
endif
endif//否则，剪枝
endwhile
____________;x=x-dx[k[i]];y=y-dy[k[i]] //回溯
endwhile
ifflagthen
outputroute（k,i）//输出由k[1..i]表示的通路。
elseoutput“nosolution” //输出无解
endMAZE
4.下面是求一个序列的多数元素的递归算法
算法MAJORITY
输入：
n个元素的数组A[1..n]。
输出：
若A[1..n]存在多数元素，则输出；否则输出none。
c=candidate
（1）//求A[1..n]中的候选多数元素。
count=0//以下验证c是否为A[1..n]中的多数元素。
forj=1ton
ifA[j]=cthencount=count+1
endfor
if____________thenreturnc
elsereturnnone
endMAJORITY
过程candidate（m）
//求A[m..n]中的候选多数元素并返回。
j=m;c=A[m];count=1
whilej0
j=j+1
if____________then____________
else____________//除去两个不同的元素。
endwhile
ifj=nthenreturnc//此时序列已扫描完毕。
elsereturn____________
endcandidate
5.下面是0-1背包问题的算法
算法KNAPSACKREC
输入：
物品数n,n种物品的体积数组s[1..n]和价值数组v[1..n],
背包容量C。
输出：
装入背包物品的最大总价值，以及最优解的信息数组H[0..n,0..C]。
fori=0ton
forj=0toC
V[i,j]=-1
maxv=knapsack（n,C）
returnmaxv,H
endKNAPSACKREC
过程knapsack（i,j）
//从i种物品中选择物品装入容量为j的背包中，求背包中
//物品所能达到的最大总价值并返回，同时将最优解的相应
//信息存入数组H[0..n,0..C]。
ifV[i,j]=-1then//相应的子问题未解过。
ifi=0orj=0thenV[i,j]=0
else
ifs[i]>jthen
V[i,j]=____________
H[i,j]=____________
else
a1=____________
a2=knapsack（i-1,j）
ifa1>=a2then
V[i,j]=a1;H[i,j]=____________
else
V[i,j]=a2;H[i,j]=0
endif
endif
endif
endif
return____________
endknapsack
算法KNAPSACK_SOLUTION
输入：
物品数n,背包容量C,n种物品的体积数组s[1..n],相应的0/1背包问题的最优解信息数组H[0..n,0..C]。
输出：
相应的0/1背包问题的最优解X[1..n]。
y=C//y表示当前背包的剩余容量
X[n]=H[n,C]
fori=nto2
ifX[i]=1theny=____________
X[i-1]=____________
endfor
returnX
endKNAPSACK_SOLUTION
6.以下是随机化的线性选择算法
算法RANDOMIZEDSELECT
输入：
整数n,k,1<=k<=n,以及n个元素的数组A[1..n]。
输出：
A中的第k小元素s。
s=rselect（A,1,n,k）
endRANDOMIZEDSELECT
过程rselect（A,low,high,k）
//求A[low..high]中的第k小元素并返回。
v=random（low,high）
mm=____________
将A[low..high]分成三个数组：
A1={a|amm}
//以下选择一个子问题递归或直接解。
case
|A1|>=k:
return____________//求A1的第k小元素。
|A1|+|A2|>=k:
returnmm
//此时mm为A[low..high]的第k小元素。
|A1|+|A2|returnrselect____________
//求A3的第k-|A1|-|A2|小元素
endcase
endrselect
7.以下是归并排序的分治算法
MERGESORT
输入：
n个元素的数组A[1..n]。
输出：
按非降序排序的数组A[1..n]。
mergesort（A,1,n）
endMERGESORT
过程mergersort（A,low,high）
//将A[low..high]按非降序归并排序。
iflowmid=___________//平均分解成两个子数组
mergesort____________//分别对两个子数组递归
mergesort____________
MERGE（A,low,mid,high）//合并两个有序的子数组
endif
endmergesort
8.以下是分数背包问题的贪心算法
算法GREEDY_KANPSACK
输入：
表示背包容量的实数C,物品数n,表示n个物品的体积和价值的实数数组s[1..n]和v[1..n]。
输出：
装入背包物品的最大总价值maxv和相应的最优解x[1..n]。
fori=1ton
y[i]=v[i]/s[i]//求n个物品的单位体积价值y[1..n]。
endfor
//对y[1..n]按降序地址排序，排序结果返回到数组d[1..n]//中,使得y[d[1]]>=y[d[2]]>=…>=y[d[n]]。
d=sort（y,n）
fori=1tonx[i]=0//对x[1..n]初始化。
i=1;maxv=0;rc=C//以下rc表示当前背包的剩余容量。
while____________andi<=n
j=d[i]//uj为当前考虑选择的物品
ifs[j]<=rcthen
x[j]=____________;rc=____________//物品uj全部装入背包。
else
x[j]=____________//选择物品uj的一部分将背包填满。
rc=0
endif
maxv=____________
i=____________
endwhile
returnmaxv,x[1..n]
endGREEDY_KNAPSACK
9.以下是子集合问题的回溯算法
算法SUBSETSUM
输入:
正整数n,正实数b,表示含有n个正实数的集合S的数组a[1..n]。
输出:
集合S的元素之和等于b的所有子集，若无解，则输出“nosolution”。
fori=1tonx[i]=0//用x[1..n]表示子集，初始化为空集。
r=0
fori=1tonr=r+a[i]
flag=subset（0,0,r）
ifnotflagthenoutput“nosolution”
endSUBSETSUM
过程：
subset（k,sum,r）
//在已经求出的部分解x[1..k]固定的情况下，求关于S,b的//子集和问题的所有解并输出，有解返回true,否则返回//false。
//sum=
表示当前子集的元素之和，r=
表示剩
//余元素之和。
ifsum=bthen//找到一个解。
outputx[1..n];t=true//输出当前解。
else
ifk=bthen//可继续往下搜索。
r=____________
x[k+1]=0
t1=subset____________//搜索左子树（对应x[k+1]=0）
x[k+1]=____________
t2=setsub____________//搜索右子树
t=t1ort2
else
t=____________
endif
endif
____________
returnt
endsubset
10.下面是一个求n个元素全排列的算法
算法PERMUTATION
输入：
正整数n和存储n个元素a1,a2,…,an的数组P[1..n]。
输出：
a1,a2,…,an的全排列。
perml
（1）
endPERMUTATION
过程perml（m）
//在P[1..m-1]中元素固定不变的情况下，求P[m..n]中元素
//的全排列，并输出P[1..n]中元素的相应排列。
if____________then//此时只求一个元素P[n]的全排列。
outputP[1..n];//输出P[1..n]中元素的一个新排列。
else
forj=mton
P[m]↔P[j]
____________
____________
endfor
endif
endperml
11.以下是求最长公共子序列的算法
算法LCS
输入：
非负整数n、m,长度分别为n和m的序列A=a1a2…an和B=b1b2…bn。
输出：
A和B的最长公共子序列长度L[n,m]和存储最长公共子序列的有关信息的数组H[1..n,1..m]。
fori=0tonL[i,0]=0
forj=0tomL[0,j]=0
fori=1ton
forj=1tom
ifai=bjthen
L[i,j]=____________;H[i,j]=0
else
ifL[i-1,j]>=L[i,j-1]then
L[i,j]=____________;H[i,j]=1
else
L[i,j]=L[i,j-1];H[i,j]=____________
endif
endif
endfor
endfor
returnL[n,m],H
endLCS
算法LCSS
输入：
非负整数n、m,长度分别为n和m的序列A和B的最长公共子序列的有关信息数组H[1..n,1..m],序列A=a1a2…an。
输出:
序列A和B的最长公共子序列C。
C=Φ//Φ表示空序列。
i=n;j=m
whilei>0andj>0
ifH[i,j]=0then
在C的前面插入ai
i=____________;j=____________
else
ifH[i,j]=____________theni=i-1elsej=j-1
endif
endwhile
returnC
endLCSS
12.以下是0-1背包问题的回溯算法
算法KNAPSACK01
输入:
物品数n,n种物品的体积数组s[1..n]和价值数组v1..n],背包容量C。
输出：
装入背包物品的最大总价值maxv和最优解x0[1..n]。
//用x[1..n]表示选择的物品子集，初始化为空集。
rv=0;rs=0
fori=1ton
rv=rv+v[i];rs=rs+s[i]
maxv=0;x0[1..n]=x[1..n]=0//x0表示当前最优解。
knapsack01（0,C,0,rv,rs）
outputmaxv,x0[1..n]
endKNAPSACK01
过程：
knapsack（k,r,cv,rv,rs）
//在已知当前最优值为maxv且已经求出的部分解x[1..k]固
//定的情况下，求0/1背包问题的最优值和最优解，并更新
//maxv和x0。
r表示当前背包的剩余容量,cv表示当前背
//包中物品的总价值为，rv=
rs=
。
ifr>=0andcv>maxvthen//找到更优的解，更新当前最优值。
maxv=____________;x0=x
endif
ifrs<=rthen
ifcv+rv>maxvthen
maxv=cv+rv;x0[1..k]=x[1..k];x0[k+1..n]=1;
endif
else
ifr>0andcv+rv>maxvthen//可继续往下搜索。
rv=____________;rs=____________
x[k+1]=0
knapsack____________//搜索左子树（对应x[k+1]=0）
x[k+1]=1
knapsack____________//搜索右子树
endif
endif
____________
endknapsack
13.下面是求第k小元素的算法
算法SELECT
输入：
整数n,k,1<=k<=n,以及n个元素的数组A[1..n]。
输出：
A中的第k小元素s。
s=select（A,1,n,k）
endSELECT
过程select（A,low,high,k）
//求A[low..high]中的第k小元素并返回。
p=high-low+1//p为当前处理的元素个数。
ifp<44then//当元素个数<44时，直接求解。
将A[low..high]排序
return（A[low+k-1]）
endif
//以下分解子问题。
q=
；//将A[low..high]每5个分组，剩余的被排除。
将A[low..low+5q-1]分为q组,每组5个元素；
将q组中的每一组单独排序并找出中项，所有的中项存于数组M[1..q]中；
mm=select（____________）//求中项序列M的中项mm
将A[low..high]分成三组：
A1={a|amm}
//以下选择一个子问题递归或直接解。
case
|A1|>=k:
returnselect（____________）
|A1|+|A2|>=k:
returnmm
|A1|+|A2|returnselect（____________）
endcase
endselect
14.有期限的作业安排问题
算法JOB_ARRANGEMENT
输入：
作业数n,表示n个作业的期限和收益的数组d[1..n]和p[1..n]。
输出：
最优的作业安排序列J[1..k]和安排的作业数k。
//对p[1..n]按降序地址排序，排序结果返回到数组a[1..n]
//中,使得p[a[1]]>=p[a[2]]>=…>=p[a[n]]。
a=sort（p,n）
d[0]=0;J[0]=0//设一个虚拟作业编号为０，期限为０
J[1]=a[1]//直接安排收益最高的作业ja[i]
k=1//以下k总是表示当前已被安排的作业数。
fort=2ton
i=____________//ji为当前考虑安排的作业。
r=k
while____________andd[J[r]]>r
____________
endwhile
ifd[J[r]]<=d[i]and____________then
//把i插入到J中的r+1位置上。
fors=ktor+1J[s+1]=J[s]
J[r+1]=____________
k=____________
endif
endfor
returnk,J[1..k]
endJOB_ARRANGEMENT
15.以下是
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