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财管闫基础班10期权估价

第十章期权估价

理解期权的基本概念和估价方法，能够运用其对简单的金融期权和投资项目期权进行分析评价。

第一节期权的基本概念

一、期权的基本概念

（一）期权

1.含义：

期权是指一种合约，该合约赋予持有人在某一特定日期或该日之前的任何时间以固定价格购进或售出一种资产的权利。

2.要点：

主要要点

含义

需注意的问题

（1）期权是一种权利

期权赋予持有人做某件事的权利，但他不承担必须履行的义务，可以选择执行或者不执行该权利。

持有人只享有权利而不承担相应的义务。

（2）期权的标的物

期权的标的物是指选择购买或出售的资产。

它包括股票、政府债券、货币、股票指数、商品期货等。

期权是这些标的物“衍生”的，因此称衍生金融工具。

值得注意的是，期权出售人不一定拥有标的资产。

期权是可以“卖空”的。

期权购买人也不一定真的想购买资产标的物。

因此，期权到期时双方不一定进行标的物的实物交割，而只需按价差补足价款即可。

（二）期权的种类

分类标准

种类

特征

按照期权执行时间

欧式期权

该期权只能在到期日执行。

美式期权

该期权可以在到期日或到期日之前的任何时间执行。

按照合约授予期权持有人权利的类别

看涨期权

看涨期权是指期权赋予持有人在到期日或到期日之前，以固定价格购买标的资产的权利。

其授予权利的特征是“购买”，因此也可以称为“择购期权”、“买入期权”或“买权”。

看跌期权

看跌期权是指期权赋予持有人在到期日或到期日前，以固定价格出售标的资产的权利。

其指定权力的特征是“出售”，因此也可以称为“择售期权”、“卖出期权”或“卖权”。

二、期权的到期日价值（执行净收入）

类型

项目

计算公式

看涨

期权

到期日价值

（执行净收入）

多头看涨期权到期日价值=Max（股票市价-执行价格，0）

空头看涨期权到期日价值=-Max（股票市价-执行价格，0）

净损益

多头看涨期权净损益=多头看涨期权到期日价值-期权价格

空头看涨期权净损益=空头看涨期权到期日价值+期权价格

看跌期权

到期日价值

（执行净收入）

多头看跌期权到期日价值=Max（执行价格-股票市价，0）

空头看跌期权到期日价值=-Max（执行价格-股票市价，0）

净损益

多头看跌期权净损益=多头看跌期权到期日价值-期权价格

空头看跌期权净损益=空头看跌期权到期日价值+期权价格

1.看涨期权

（1）图示

（2）结论：

①若市价大于执行价格，多头与空头价值：

金额绝对值相等，符号相反；

②若市价小于等于执行价格，多头与空头价值均为0。

多头：

净损失有限（最大值为期权价格），而净收益却潜力巨大

空头：

净收益有限（最大值为期权价格），而净损失不定

【例题1·计算分析题】某期权交易所2010年1月20日对ABC公司的期权报价如下：

到期日和执行价格

看涨期权价格

看跌期权价格

4月

3.80

5.25

要求：

针对以下互不相干的几问进行回答：

（1）甲投资人购买一项看涨期权，标的股票的到期日市价为45元，其此时期权到期值为多少，投资净损益为多少。

（2）若乙投资人卖出看涨期权，标的股票的到期日市价为45元，其此时空头看涨期权到期价值为多少，投资净损益为多少。

（3）甲投资人购买一项看涨期权，标的股票的到期日市价为35元，其此时期权到期价值为多少，投资净损益为多少。

（4）若乙投资人卖出看涨期权，标的股票的到期日市价为35元，其此时空头看涨期权到期价值为多少，投资净损益为多少。

【答案】

（1）甲投资人购买看涨期权到期价值=45-37=8（元）

甲投资人投资净损益=8-3.8=4.2（元）

（2）乙投资人空头看涨期权到期价值=-8（元）

乙投资净损益=-8+3.8=-4.2（元）

（3）甲投资人购买看涨期权到期价值=0

甲投资人投资净损益=0-3.8=3.8（元）

（4）乙投资人空头看涨期权到期价值=0

乙投资净损益=0+3.8=3.8（元）

2.看跌期权

（1）公式：

（2）结论：

①若市价小于执行价格，多头与空头价值：

金额绝对值相等，符号相反；

②若市价大于执行价格，多头与空头价值均为0。

多头：

净损失有限（最大值为期权价格），净收益不确定；

空头：

净收益有限（最大值为期权价格），净损失不确定。

【例题1·计算分析题】某期权交易所2010年1月20日对ABC公司的期权报价如下：

到期日和执行价格

看涨期权价格

看跌期权价格

4月

3.80

5.25

要求：

针对以下互不相干的几问进行回答：

（5）若丙投资人购买一项看跌期权，标的股票的到期日市价为45元，其此时期权到期价值为多少，投资净损益为多少。

（6）若丁投资人卖出看跌期权，标的股票的到期日市价为45元，其此时空头看跌期权到期价值为多少，投资净损益为多少。

（7）若丙投资人购买一项看跌期权，标的股票的到期日市价为35元，其此时期权到期价值为多少，投资净损益为多少。

（8）若丁投资人卖出看跌期权，标的股票的到期日市价为35元，其此时空头看跌期权到期价值为多少，投资净损益为多少。

【答案】

（5）丙投资人购买看跌期权到期价值=0

丙投资人投资净损益=0-5.25=-5.25（元）

（6）丁投资人空头看跌期权到期价值=0

丁投资人投资净损益=0+5.25=5.25（元）

（7）丙投资人购买看跌期权到期价值=37-35=2（元）

丙投资人投资净损益=2-5.25=-3.25（元）

（8）丁投资人空头看跌期权到期价值=-2（元）

丁投资人投资净损益=-2+5.25=3.25（元）

【提示1】多头和空头彼此是零和博弈：

即“空头期权到期日价值=-多头期权到期日价值”；“空头期权净损益=-多头期权净损益”

【提示2】多头是期权的购买者，其净损失有限（最大值为期权价格）；空头是期权的出售者，收取期权费，成为或有负债的持有人，负债的金额不确定。

第十章期权估价2

三、投资策略

（一）保护性看跌期权

1.含义：

股票加看跌期权组合，称为保护性看跌期权。

是指购买1份股票，同时购买该股票1份看跌期权。

2.图示

3.组合净损益：

（1）股价<执行价格：

执行价-股票投资买价-期权购买价格

（2）股价>执行价格：

股票售价-股票投资买价-期权购买价格

4.特征：

同时净损益的预期也因此降低了：

当股价上涨时，比单一投资股票获得的收益低（少一个期权价格）。

【例题2·计算分析题】某投资人购入1份ABC公司的股票，购入时价格40元；同时购入该股票的1份看跌期权，执行价格40元，期权费2元，一年后到期。

该投资人预测一年后股票市价变动情况如下表所示：

股价变动幅度

-20%

-5%

20%

概率

0.1

0.2

0.3

0.4

（1）判断该投资人采取的是哪种投资策略，其目的是什么？

（2）确定该投资人的预期投资组合收益为多少？

【答案】

（1）股票加看跌期权组合，称为保护性看跌期权。

单独投资于股票风险很大，同时增加一个看跌期权，情况就会有变化，可以降低投资的风险。

（2）

股价变动幅度

下降20%

下降5%

上升5%

上升20%

概率

0.1

0.2

0.3

0.4

股票收入

期权收入

组合收入

股票净损益

32-40=-8

38-40=-2

42-40=2

48-40=8

期权净损益

8-2=6

2-2=0

0-2=-2

组合净损益

-2

预期投资组合收益=0.1×（-2）+0.2×（-2）+0.3×0+0.4×6=1.8

（二）抛补看涨期权

1.含义：

股票加空头看涨期权组合，是指购买1份股票，同时出售该股票1份看涨期权。

2.图示：

3.组合净损益：

（1）股价<执行价格：

股票售价+期权（出售）价格-股票投资买价

（2）股价≥执行价格：

执行价格+期权（出售）价格-股票投资买价

4.特征：

抛补期权组合锁定了净收入即到期日价值，最多是执行价格。

（三）多头对敲

1.多头对敲是同时买进一只股票的看涨期权和看跌期权，它们的执行价格、到期日都相同。

2.图示：

3.组合净损益：

（1）股价<执行价格：

（执行价格-股票售价）-两种期权（购买）价格

（2）股价>执行价格：

（股票售价-执行价格）-两种期权（购买）价格

4.适用范围

5.结论：

多头对敲的最坏结果是股价没有变动，白白损失了看涨期权和看跌期权的购买成本。

股价偏离执行价格的差额必须超过期权购买成本，才能给投资者带来净收益。

四、期权价值的影响因素

（一）期权的内在价值和时间价值

期权价值=内在价值+时间溢价

1.期权的内在价值

期权的内在价值，是指期权立即执行产生的经济价值。

内在价值的大小，取决于期权标的资产的现行市价与期权执行价格的高低。

价值状态

看涨期权

看跌期权

执行状况

“实值期权”（溢价期权）

标的资产现行市价高于执行价格时

资产现行市价低于执行价格时

有可能被执行，但也不一定被执行

“虚值期权”（折价期权）

标的资产的现行市价低于执行价格时

资产的现行市价高于执行价格时

不会被执行

“平价期权”

标的资产的现行市价等于执行价格时

资产的现行市价等于执行价格时

不会被执行

【例题3·单项选择题】某看涨期权，标的股票当前市价为10元，期权执行价格为11元，则（）。

A.该期权处于虚值状态，其内在价值为零

B.该期权处于实值状态，其内在价值大于零

C.该期权处于平价状态，其内在价值为零

D.其当前的价值为零

【答案】A

【解析】其内在价值为零，但仍有“时间溢价”，因此仍可以按正的价格出售，其价值大于零。

2.期权的时间溢价

含义

计算公式

影响因素

期权的时间溢价是指期权价值超过内在价值的部分。

时间溢价=期权价值-内在价值

它是“波动的价值”，而不是时间“延续的价值”。

【例题4·单项选择题】下列关于时间溢价的表述，错误的是（）。

A.时间越长，出现波动的可能性越大，时间溢价也就越大

B.期权的时间溢价与货币时间价值是相同的概念

C.时间溢价是“波动的价值”

D.如果期权已经到了到期时间，则时间溢价为0

【答案】B

【解析】时间溢价也称为“期权的时间价值”，但它和“货币的时间价值”是不同的概念，时间溢价是“波动的价值”，时间越长，出现波动的可能性越大，时间溢价也就越大。

而货币的时间价值是时间“延续的价值”，时间延续得越长，货币的时间价值越大。

（二）影响期权价值的因素

一个变量增加（其他变量不变）对期权价格的影响

变量

欧式看涨期权

欧式看跌期权

美式看涨期权

美式看跌期权

股票价格

执行价格

到期期限

不一定

股价波动率

无风险利率

红利

【例题5·多项选择题】对于欧式期权，下列说法正确的有（）。

A.股票价格上升，看涨期权的价值增加

B.执行价格越大，看跌期权价值越大

D.期权有效期内预计发放的红利越多，看跌期权价值增加

C.股价波动率增加，看涨期权的价值增加，看跌期权的期权价值减少

【答案】ABD

【解析】无论是看涨期权还是看跌期权，股价波动率增加，都会使期权的价值增加。

第十章期权估价3

（三）期权价值的范围

P256图10-8

【例题6·单项选择题】对于看涨期权来说，期权价格随着股票价格的上涨而上涨当股价足够高时，下列说法下确的是（）。

A.期权价格可能会等于股票价格

B.期权价格可能会超过股票价格

C.期权价格不会超过股票价格

D.期权价格会等于执行价格

【答案】C

【解析】期权价格如果等于股票价格，无论未来股价高低（只要它不为零），购买股票总比购买期权有利。

在这种情况下，投资人必定抛出期权，购入股票，迫使期权价格下降。

所以，看涨期权的价值不会超过股价。

第二节期权价值评估的方法

一、估价原理

（一）复制原理：

（借钱买若干股股票，令其组合收益能与每份期权收入相同）

1.投资一份看涨期权收益：

股价上涨：

收入=（市价-执行价格）=a

股价下跌：

收入=0

2.借钱买若干股股票收益：

H×每股股票售价-借款本利和

股价上涨：

若干股上行市价-借款本利和

股价下跌：

若干股下行市价-借款本利和

3.每份期权价格（买价）=借钱买若干股股票的投资支出

=H×每股买价-借款额

4.关键指标确定：

（1）H（套期保值比率）的确定

计算公式：

（2）借款额的确定

借款额=

【例题7·计算分析题】假设甲公司的股票现在的市价为20元。

有1份以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为21元，到期时间是1年。

1年以后股价有两种可能：

上升40%，或者降低30%。

无风险利率为每年4%。

拟利用复制原理，建立一个投资组合，包括购进适量的股票以及借入必要的款项，使得该组合1年后的价值与购进该看涨期权相等.

要求：

（1）计算利用复制原理所建组合中股票的数量为多少？

（2）计算利用复制原理所建组合中借款的数额为多少？

（3）期权的价值为多少？

【答案】

（1）上行股价=20×（1＋40％）=28

下行股价=20×（1-30％）=14

股价上行时期权到期价值=28-21=7

股价下行时期权到期价值=0

组合中股票的数量（套期保值率）=

=0.5（股）

（2）借款数额=

=6.73（元）

（3）期权价值=投资组合成本=购买股票支出-借款=0.5×20-6.73=3.27（元）

（二）风险中性原理

1.基本思想

假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率。

假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率，因此：

期望报酬率（无风险收益率）=上行概率×股价上升时股价变动百分比+下行概率×（-股价下降时股价变动百分比）

2.计算步骤

（1）确定可能的到期日股票价格（同复制原理）

（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值（同复制原理）

（3）计算上行概率和下行概率

期望报酬率=（上行概率×股价上升百分比）+（下行概率×股价下降百分比）

（4）计算期权价值

期权价值

=（上行概率×上行期权价值＋下行概率×下行期权价值）÷（1＋持有期无风险利率）

=（上行概率×Cu＋下行概率×Cd）/（1+r）

【例题8·计算分析题】D公司是一家上市公司，其股票于2009年8月1日的收盘价为每股40元。

有一种以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为42元，到期时间是3个月。

3个月以内公司不会派发股利，3个月以后股价有2种变动的可能：

上升到46元或者下降到30元。

3个月到期的国库券利率为4％（年名义利率）。

要求：

（1）利用风险中性原理，计算D公司股价的上行概率和下行概率，以及看涨期权的价值。

（2）如果该看涨期权的现行价格为2.5元，请根据套利原理，构建一个投资组合进行套利。

（2009老）

【答案】

（1）

上行概率P=0.65，下行概率（1-P）=0.35

Cu=46-42=4,Cd=0

（2）购买股票的股数H=（4-0）/（46-30）=0.25

借款额=0.25×30/（1+1%）=7.43元

按照复制原理看涨期权的内在价值=0.25×40-7.43=2.57元

由于目前看涨期权价值为2.5低于2.57元，所以存在套利空间。

套利组合应为：

卖空0.25股股票，买入无风险债券7.43元，买入1股看涨期权进行套利，可套利0.07元。

第十章期权估价4

二、二叉树定价模型

（一）单期二叉树定价模型

1.原理（风险中性原理的应用）

2.计算公式：

教材：

期权价格＝

其中：

上行概率＝

;下行概率＝

=（上行概率×上行期权价值+下行概率×下行期权价值）÷（1+持有期无风险利率）

P258【教材例10-9】利用单期二叉树定价模型计算期权价格：

期权价格＝

（二）两期二叉树模型

1.原理：

图10-12把到期时间分成两期

2.方法：

（1）复制原理的两次运用：

（2）中性原理的两次运用：

首先：

利用单期定价模型，计算Cu和Cd：

其次：

根据单期定价模型计算出期权价格C0：

（三）多期二叉树模型

1.原理：

从原理上看，与两期模型一样，从后向前逐级推进，只不过多了一个层次。

2.股价上升与下降的百分比的确定：

期数增加以后带来的主要问题是股价上升与下降的百分比如何确定问题。

期数增加以后，要调整价格变化的升降幅度，以保证年收益率的标准差不变。

把年收益率标准差和升降百分比联系起来的公式是：

【例题9·计算分析题】D股票的当前市价为25元/股，市场上有以该股票为标的资产的期权交易，有关资料如下：

（1）D股票的到期时间为半年的看涨期权，执行价格为25.3元；D股票的到期时间为半年的看跌期权，执行价格也为25.3元。

（2）D股票半年后市价的预测情况如下表：

股价变动幅度

-40%

-20%

20%

40%

概率

0.2

0.3

0.2

（3）根据D股票历史数据测算的连续复利收益率的标准差为0.4。

（4）无风险年利率4%。

（5）1元的连续复利终值如下：

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.1052

1.2214

1.3499

1.4918

1.6487

1.8221

2.0138

2.2255

2.4596

2.7183

要求：

（1）若年收益的标准差不变，利用两期二叉树模型计算股价上行乘数与下行乘数，并确定以该股票为标的资产的看涨期权的价格；

（2）利用看涨期权—看跌期权平价定理确定看跌期权价格；

（3）投资者甲以当前市价购入1股D股票，同时购入D股票的1份看跌期权，判断甲采取的是哪种投资策略，并计算该投资组合的预期收益。

（2008年）

【答案】

（1）上行乘数和下行乘数

u=e

=e0.2=1.2214

=0.8187

=0.4750

1-P=0.5250

看涨期权价格

期数

时间（年）

0.25

0.5

股票价格

30.54

37.30

20.47

16.76

买入期权价格

2.65

5.64

Cu=

=5.64

C0=

=2.65

（2）看跌期权价格

P跌+25=2.65+

看跌期权价格=2.45

（3）投资组合的预期收益

股价变动幅度

-40%

-20%

20%

40%

概率

0.2

0.3

0.2

股票收入ST

25×（1-40%）=15

25×（1-20%）=20

25×（1+20%）=30

25×（1+40%）=35

看跌期权收入Max（X-ST）

25.3-15=10.3

25.3-20=5.3

组合收入

25.3

初始股票买价

期权购买价格

2.45

组合净损益

-2.15

2.55

7.55

采取的是保护性看跌期权

组合预期收益==0.2×（-2.15）+0.3×（-2.15）+0.3×2.55+0.2×7.55=1.2元

第十章期权估价5

三、布拉克-斯克尔斯期权定价模型

（一）假设

【提示】假设看涨期权只能在到期日执行，即模型仅适用于欧式期权；

假设不发股利，如果发股利，模型需要调整。

（二）公式

基本模型

三个公式：

其中：

C0=看涨期权的当前价值；S0=标的股票的当前价格

N（d）=标准正态分布中离差小于d的概率；

X=期权的执行价格；e≈2.7183；rc=无风险利率

t=期权到期日前的时间（年）；ln（S0/x）=S0/x的自然对数；

σ2=股票回报率的方差

（三）参数估计

1.无风险利率：

无风险利率应选择与期权到期日相同的国库券利率。

如果没有相同时间的，应选择时间最接近的国库券利率。

这里所说的国库券利率是指其市场利率，而不是票面利率。

模型中的无风险利率是按连续复利计算的利率。

如果用F表示终值，P表示现值，rc表示无风险利率，t表示时间（年）：

则：

F＝P×

，即：

rc＝[ln（F/P）]/t

【提示】

为了简便，手工计算时往往使用年复利作为近似值。

使用年复利时，也有两种选择：

（1）按实际复利率折算：

例如：

假设年实际复利率为4%，则半年复利率为

（2）按名义利率折算：

例如，假设年名义复利率为4%，则半年复利率为4%÷2＝2%。

2.股票收益率的标准差可以使用历史收益率来估计。

【提示】根据d求N（d）的数值时，可以查教材后附的“正态分布曲线面积表”。

由于表格的数据是不连续的，有时需要使用插补法计算更准确的数值。

当d为负值时，对应的N（d）=1-N（-d）,例如N（-0.35）=1-N（0.35）=1-0.6368=0.3632。

【例题10·计算分析题】2009年8月15日，甲公司股票价格为每股50元，以甲公司股票为标的的代号为甲49的看涨期权的收盘价格为每股5元，甲49表示此项看涨期权的行权价格为每股49元。

截至2009年8月15日，看涨期权还有l99天到期。

甲公司股票收益的波动率预计为每年30％，资本市场的无风险利率为（有效）年利率7％。

要求：

（1）使用布莱克--斯科尔斯模型计算该项期权的价值（dl和d2的计算结果取两位小数，其他结果取四位小数，一年按365天计算）。

（2）如果你是一位投资经理并相信布莱克--斯科尔斯模型计算出的期权价值的可靠性，简要说明如何作出投资决策。

（2009新）

【答案】

（1）执行价格的现值为PV（k）=49/（1+7%）199/365=47.2244

将以上参数代入布莱克—斯科尔斯公式中得到，

C=S×N（d1）-PV（k）×N（d2）=50×0.6443-47.2244×0.5596=5.79（元）

（2）由于该看涨期权的收盘价格为每股5元，小于计算得出的期权的价值5.79元，因此可以买入该项看涨期权。

（四）看跌期权估价

关系公式

对于欧式期权，假定看涨期权和看跌期权有相同的执行价格和到期日，则下述等式成立

看涨期权价格C-看跌期权价格P=标的资产的价格S0-执行价格的现值PV（X）

【例题11·计算分析题】A公司的普通股最近一个月来交易价格变动很小，投资者确信三个月后其价格将会有很大变化，但是不知道它是上涨还是下跌。

股票现价为每股100元，执行价格为100元的三个月看涨期权售价为10元（预期股票不支付红利）。

（1）如果无风险实际利率为每年10%，执行价格100元的三个月的A公司股票的看跌期权售价是多少（精确到0.0001元）？

（2）投资者对该股票价格未来走势的预期，会构建一个什么样的简单期权策略？

价格需要变动多少（精确到0.01元），投资者的最初投资才能获利？

【答案】

（1）根据看涨-看跌期权关系公式：

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