运动学图像追及相遇问题.docx

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运动学图像追及相遇问题

运动学图像-追及相遇问题

专题强化一　运动学图象　追及相遇问题

专题解读

1.本专题是匀变速直线运动规律和运动学图象的综合应用，为高考必考内容，多以选择题形式命题.

2.学好本专题，可以提高同学们通过画运动情景示意图和v－t图象分析和解决运动学问题的能力.

3.用到的知识有：

x－t图象和v－t图象的理解，匀变速直线运动的规律，临界条件的确定，极值思想等数学方法.

一、运动学图象

1.直线运动的x－t图象

（1）图象的物理意义

反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律.

（2）图线斜率的意义

①图线上某点切线的斜率大小表示物体速度的大小

②图线上某点切线的斜率正负表示物体速度的方向.

（3）交点

两图线交点，表示两物体相遇.

2.直线运动的v－t图象

（1）图象的物理意义

反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律.

（2）图线斜率的意义

①图线上某点切线的斜率大小表示物体加速度的大小.

②图线上某点切线的斜率正负表示加速度的方向.

（3）两种特殊的v－t图象

①匀速直线运动的v－t图象是与横轴平行的直线.

②匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜的直线.

（4）图象与时间轴围成的面积的意义（如图1）

图1

①图象与时间轴围成的面积表示位移.

②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负.

（5）交点

两图线交点表示此时两物体速度相同.

自测1

　甲、乙两物体从同一点出发且在同一条直线上运动，它们的位移—时间（x－t）图象如图2所示，由图象可以看出在0～4s内（　　）

图2

A.甲、乙两物体始终同向运动

B.第4s末时，甲、乙两物体间的距离最大

C.甲的平均速度等于乙的平均速度

D.乙物体一直做匀加速直线运动

答案　C

解析　由题图可知在0～2s内，甲、乙同向运动，在2～4s内两者反向运动，选项A错误；第4s末两物体相遇，两物体间的距离不是最大，选项B错误；由题图知在0～4s内，甲、乙的位移都是2m，故平均速度相等，选项C正确；根据图线斜率的绝对值等于速度的大小，可知乙物体一直做匀速直线运动，选项D错误.

自测2

　如图3所示，为某物体做直线运动的v－t图象，由此可知（　　）

图3

A.前1s物体的位移大小为1m

B.前2s末物体的瞬时速度大小为2m/s

C.前3s内物体的加速度大小为3m/s

D.前3s物体做匀变速直线运动

答案　A

解析　在v－t图象中，相应图线与时间轴所围的面积表示位移，由题图知，前1s内物体的位移大小x＝

×1×2m＝1m，选项A正确；在1～3s内由题图得，物体的加速度a＝

＝

＝－1m/s，第2s末物体的瞬时速度v＝v0＋at＝2m/s－1m/s2×1s＝1m/s，选项B、C错误；第1s内物体做匀加速直线运动，1～3s内物体做匀减速直线运动，选项D错误.

二、追及与相遇问题

1.概述

当两个物体在同一条直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题.

2.两类情况

（1）若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度.

（2）若后者追不上前者，则当后者的速度与前者的速度相等时，两者相距最近.

3.相遇问题的常见情况

（1）同向运动的两物体追及并相遇：

两物体位移大小之差等于开始时两物体间的距离.

（2）相向运动的两物体相遇：

各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离.

自测3

　平直公路上的甲车以10m/s的速度做匀速直线运动，乙车静止在路面上，当甲车经过乙车旁边时，乙车立即以大小为1m/s2的加速度沿相同方向做匀加速运动，从乙车加速开始计时，则（　　）

A.乙车追上甲车所用的时间为10s

B.乙车追上甲车所用的时间为20s

C.乙追上甲时，乙的速度是15m/s

D.乙追上甲时，乙的速度是10m/s

答案　B

解析　设乙车追上甲车所用的时间为t，则有v甲t＝

at2，解得t＝20s，选项A错误，B正确；由v＝at得，乙车追上甲车时，乙车速度v乙＝20m/s，选项C、D错误.

命题点一　运动学图象的理解和应用

1.x－t图象与v－t图象的比较

x－t图象

v－t图象

图象

举例

意义

倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动

倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动

特别处

两条图线的交点表示相遇

图线与时间轴所围面积表示位移

运动

情况

甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动

丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动

位移

0～t1时间内甲、乙位移相等

0～t2时间内丁的位移大于丙的位移

平均

速度

0～t1时间内甲、乙平均速度相等

0～t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度

2.三点说明

（1）x－t图象与v－t图象都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹；

（2）分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系；

（3）识图方法：

一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点.

例1

　（多选）如图4，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移—时间（x－t）图线，由图可知（　　）

图4

A.在时刻t1，a车追上b车

B.在时刻t2，a、b两车运动方向相反

C.在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加

D.在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大

答案　BC

解析　由题图可知，t1时刻，b车追上a车，故A错误；x－t图象的斜率表示速度，由于t2时刻a、b两图象的斜率一正、一负，故两车运动方向相反，B正确；由b图线的斜率的变化可以看出t1到t2这段时间b车的速率先减少后反向增加，C正确；如图所示，在t3时刻b图线的斜率与a图线的相等，此时两车的速率相等，故D错误.

例2

　（2014·新课标全国Ⅱ·14）甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶.在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v—t图象如图5所示.在这段时间内（　　）

图5

A.汽车甲的平均速度比乙的大

B.汽车乙的平均速度等于

C.甲、乙两汽车的位移相同

D.汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大

答案　A

解析　根据v—t图象中图线与时间轴所围的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，选项C错误；根据v＝

得，汽车甲的平均速度v甲大于汽车乙的平均速度v乙，选项A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于

，选项B错误；根据v—t图象的斜率反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误.

变式1

　甲、乙两车在同一条直道上行驶，它们运动的位移x随时间t变化的关系图象如图6所示.已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10s处.则下列说法正确的是（　　）

图6

A.甲车的初速度为零

B.乙车的初位置在x0＝60m处

C.乙车的加速度大小为1.6m/s2

D.5s时两车相遇，此时甲车速度较大

答案　C

解析　由题图可知甲车做匀速直线运动，速度v甲＝

＝

m/s＝4m/s.故A错；由题图可知乙车做匀减速直线运动，可看做是反方向的匀加速直线运动，则有x＝

at2.由题图可知，当其反向运动5s时，位移为20m.则有20＝

a·52，得加速度大小a＝1.6m/s2.因其共运动了10s，可得x0＝

×1.6×102m＝80m.C对，B错；t＝5s时，两车相遇，但甲车速度v甲＝4m/s小于乙车速度v乙＝8m/s，D错.

变式2

　（2018·广东佛山质检）如图7所示为甲、乙两质点做直线运动的速度－时间图象，则下列说法中正确的是（　　）

图7

A.在0～t3时间内甲、乙两质点的平均速度相等

B.甲质点在0～t1时间内的加速度与乙质点在t2～t3时间内的加速度相同

C.甲质点在0～t1时间内的平均速度小于乙质点在0～t2时间内的平均速度

D.在t3时刻，甲、乙两质点都回到了出发点

答案　A

解析　因在0～t3时间内甲、乙两质点的速度图线与t轴所围“面积”相等，说明位移相等，则甲、乙两质点的平均速度相等，故A项正确；在0～t1时间内，甲的图线斜率为正值，加速度为正方向，在t2～t3时间内，乙的图线斜率为负值，加速度为负方向，两个加速度不相同，故B项错误；甲质点在0～t1时间内的平均速度等于

＝

，乙质点在0～t2时间内的平均速度等于

＝

，故C项错误；由图可知甲、乙两质点的速度均为正值.则两质点均做单向直线运动，不可能回到出发点，故D项错误.

拓展点1　非常规图象

1.三类图象

（1）a－t图象：

由v＝v0＋at可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图8甲所示；

（2）

－t图象：

由x＝v0t＋

at2可得

＝v0＋

at，图象的斜率为

a，如图乙所示.

图8

（3）v2－x图象：

由v2－v02＝2ax可知v2＝v02＋2ax，图象斜率为2a.

2.解题技巧

图象反映了两个变量（物理量）之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图象的意义.

例3

　一质点沿直线运动，如图9所示是从t＝0时刻开始的质点的

－t图象（x为位移），可以推知（　　）

图9

A.质点做匀减速运动B.加速度的大小是1m/s2

C.t＝2s时的速度是1m/sD.t＝2s时位移是3m

答案　B

解析　由题意可得图线的函数表达式为

＝1＋

t，即x＝t＋

t2，又因为匀变速直线运动中位移公式为x＝v0t＋

at2，根据对应关系得v0＝1m/s，a＝1m/s2＞0，因此质点做匀加速运动，故A项错误，B项正确.当t＝2s时，根据公式v＝v0＋at，求出速度是3m/s，故C项错误；当t＝2s时，代入表达式x＝t＋

t2，可得位移是4m，故D项错误.

变式3

　（2017·江西南昌3月模拟）一辆汽车做直线运动，其v2－x图象如图10所示.关于汽车的运动，下列说法错误的是（　　）

图10

A.汽车的初速度为4m/s

B.汽车的加速度大小为0.5m/s2

C.汽车第4s末的速度为2m/s

D.汽车前10s内的位移为15m

答案　D

解析　由题图可知初始时速度的平方为16m2/s2，则汽车的初速度v0＝4m/s，A项正确.由题图可知v2与x的关系式为v2－42＝－x，再与公式v2－v02＝2ax对比可知汽车做匀减速直线运动，加速度a＝－0.5m/s2，B项正确．由v＝v0＋at，可得汽车第4s末的速度为v4＝4m/s－0.5×4m/s＝2m/s，C项正确.因

＝8s，则知第8s末车停止，汽车前10s内位移x＝

＝16m，D项错误.

拓展点2　图象间的相互转化

例4

　一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图11所示.取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的v－t图象正确的是（　　）

图11

答案　C

命题点二　追及相遇问题

1.分析思路

可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”.

（1）一个临界条件：

速度相等.它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；

（2）两个等量关系：

时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口.

2.能否追上的判断方法

物体B追赶物体A：

开始时，两个物体相距x0，到vA＝vB时，若xA＋x0＜xB，则能追上；若xA＋x0＝xB，则恰好不相撞；若xA＋x0＞xB，则不能追上.

3.特别提醒

若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动.

4.三种方法

（1）临界法：

寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离.

（2）函数法：

设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f（t）＝0，若方程f（t）＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f（t）＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇.

（3）图象法.

①若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇.

②若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积.

例5

　甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为v1＝8m/s，乙车在后，速度为v2＝16m/s，当两车相距x0＝8m时，甲车因故开始刹车，加速度大小为a1＝2m/s2，为避免相撞，乙车立即开始刹车，则乙车的加速度至少为多大？

答案　6m/s2

解析　方法一：

临界法

设两车速度相同时均为v，所用时间为t，乙车的加速度大小为a2，则v1－a1t＝v2－a2t＝v，

t＝

t－x0，解得t＝2s，a2＝6m/s2，即t＝2s时，两车恰好未相撞，显然此后在停止运动前，甲的速度始终大于乙的速度，故可避免相撞.满足题意的条件为乙车的加速度至少为6m/s2.

方法二：

函数法

甲、乙运动的位移：

x甲＝v1t－

a1t2，x乙＝v2t－

a2t2

避免相撞的条件为x乙－x甲

即

（a2－a1）t2＋（v1－v2）t＋x0>0

代入数据有（a2－2）t2－16t＋16>0

不等式成立的条件是：

Δ＝162－4×16（a2－2）<0，且a2－2>0

解得a2>6m/s2.

变式4

　（多选）（2016·全国卷Ⅰ·21）甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图象如图12所示.已知两车在t＝3s时并排行驶，则（　　）

图12

A.在t＝1s时，甲车在乙车后

B.在t＝0时，甲车在乙车前7.5m

C.两车另一次并排行驶的时刻是t＝2s

D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m

答案　BD

解析　由题中v－t图象得a甲＝10m/s2，a乙＝5m/s2，两车在t＝3s时并排行驶，此时x甲＝

a甲t2＝

×10×32m＝45m，x乙＝v0t＋

a乙t2＝10×3m＋

×5×32m＝52.5m，所以t＝0时甲车在前，距乙车的距离为L＝x乙－x甲＝7.5m，B项正确.t＝1s时，x甲′＝

a甲t′2＝5m，x乙′＝v0t′＋

a乙t′2＝12.5m，此时x乙′＝x甲′＋L＝12.5m，所以另一次并排行驶的时刻为t＝1s，故A、C项错误；两次并排行驶的位置沿公路方向相距L′＝x乙－x乙′＝40m，故D项正确.

变式5

　（2018·河北保定调研）在平直公路上有甲、乙两辆汽车从同一位置沿着同一方向运动，它们的速度－时间图象如图13所示，则（　　）

图13

A.甲、乙两车同时从静止开始出发

B.在t＝2s时乙车追上甲车

C.在t＝4s时乙车追上甲车

D.甲、乙两车在公路上可能相遇两次

答案　C

1.（多选）（2017·河北唐山一中模拟）在足球比赛中，跑位技术相当重要.图1所示为某前锋球员在时间t0内沿直线跑位的速度－时间图象，则在这段时间内，该球员（　　）

图1

A.运动方向不变

B.运动的加速度方向不变

C.先做加速运动后做减速运动

D.运动的加速度先减小后增大

答案　AC

解析　因v－t图象中图线的斜率表示加速度.则由题图可知球员先做加速度减小的加速运动，后做加速度先增大后减小的减速运动，其运动方向不变，则A、C正确，B、D错误.

2.（多选）（2017·山西五校四联）甲、乙两车在一平直公路上同向行驶，其速度－时间图象如图2所示.下列说法正确的是（　　）

图2

A.乙车做曲线运动

B.0～10s内，乙车的位移大于甲车的位移

C.t＝10s时，两车可能相遇

D.0～10s内，必有某一时刻甲、乙两车的加速度相同

答案　BCD

解析　因甲、乙两车在一平直公路上同向行驶，则甲、乙两车均做直线运动，因v－t图象中图线的斜率表示加速度，则由题图可知乙车做加速度逐渐减小的变加速直线运动，甲车做匀加速直线运动，且t＝0时a乙＞a甲，t＝10s时a乙＜a甲，则0～10s内必有某一时刻a乙＝a甲，A项错误，D项正确.因v－t图象中图线与t轴所围面积表示位移，则由题图可知0～10s内乙车位移大于甲车位移，因题中没明确甲、乙出发位置，则t＝10s时两车可能相遇，B、C项正确.

3.（2017·河北唐山一模）a、b两物体同时从同一地点开始做匀变速直线运动，二者运动的v－t图象如图3所示，下列说法正确的是（　　）

图3

A.a、b两物体运动方向相反

B.a物体的加速度小于b物体的加速度

C.t＝1s时两物体的间距等于t＝3s时两物体的间距

D.t＝3s时，a、b两物体相遇

答案　C

解析　由题图可知a、b两物体的速度均为正值，则a、b两物体运动方向相同，A项错误.因v－t图象中图线的斜率表示加速度，则a的加速度大于b的加速度，B项错误.v－t图象中图线与坐标轴所围的面积表示位移，因为t＝1s到t＝3s，a图线和b图线与t轴所围的面积相等，即此时间段两物体位移相同，则t＝1s时两物体的间距等于t＝3s时两物体的间距，C项正确.由题图可知t＝3s时，xb＞xa，又a和b同时、同地出发，同向运动，所以t＝3s时，b在a前方，D项错误.

4.（多选）甲、乙两物体在同一直线上运动的x－t图象如图4所示，以甲的出发点为原点，出发时刻为计时起点.则从图象可以看出（　　）

图4

A.t2到t3这段时间内甲的平均速度大于乙的平均速度

B.乙比甲先出发

C.甲开始运动时，乙在甲前面x0处

D.甲在中途停了一会儿，最终也没追上乙

答案　AC

解析　在t2～t3这段时间内，甲的位移大于乙的位移，由

＝

，所以甲的平均速度大于乙的平均速度，A项正确.由题图知乙和甲同时出发，且乙在甲前面x0处，故B项错误，C项正确.在t3时刻，甲追上了乙，D项错误.

5.（多选）一质点做直线运动的v－t图象如图5所示，下列选项正确的是（　　）

图5

A.在2～4s内，质点所受合外力为零

B.质点在0～2s内的加速度比4～6s内的加速度大

C.在第4s末，质点离出发点最远

D.在0～6s内，质点的平均速度为5m/s

答案　AD

解析　由题图可知，在2～4s内，质点做匀速直线运动，所以所受合外力为零，A对.由题图可知，质点在0～2s内加速度大小为5m/s2，4～6s内加速度大小为10m/s2，B错.由题图可知，在第5s末，质点离出发点最远，C错.在0～6s内，质点的平均速度

＝

＝5m/s，D对.

6.质点做直线运动时的加速度随时间变化的关系图象如图6所示，该图线的斜率为k，图中阴影部分面积为S，下列说法正确的是（　　）

图6

A.斜率k表示速度变化的快慢

B.斜率k表示速度变化的大小

C.面积S表示t1～t2的过程中质点速度的变化量

D.面积S表示t1～t2的过程中质点的位移

答案　C

7.图7是一做匀变速直线运动的质点的位移—时间图象（x－t图象），P（t1，x1）为图象上一点.PQ为过P点的切线，与x轴交于点Q（0，x2）.下列说法正确的是（　　）

图7

A.t1时刻，质点的速率为

B.t1时刻，质点的速率为

C.质点的加速度大小为

D.0～t1时间内，质点的平均速度大小为

答案　B

8.图象法可以形象直观地描述物体的运动情况.对于如图8所示的两质点运动的位移—时间图象和速度—时间图象，下列分析结果正确的是（　　）

图8

A.由图甲可知，质点做曲线运动，且速度逐渐增大

B.由图甲可知，质点在前10s内的平均速度大小为4m/s

C.由图乙可知，质点在第4s内的加速度方向与物体运动的方向相反

D.由图乙可知，质点在运动过程中，加速度大小的最大值为15m/s2

答案　D

9.（多选）小张和小王分别驾车沿平直公路同向行驶，在某段时间内两车的v－t图象如图9所示，初始时，小张在小王前方x0处.下列说法正确的是（　　）

图9

A.若x0＝18m，两车相遇1次

B.若x0＜18m，两车相遇2次

C.若x0＝36m，两车相遇1次

D.若x0＝54m，两车相遇1次

答案　AB

10.（2018·安徽马鞍山模拟）一个物体以初速度v0沿光滑斜面向上运动，其速度v随时间t变化的规律如图10所示，在连续两段时间m和n内对应面积均为S，则经过b时刻的速度大小为

（　　）

图10

A.

B.

C.

D.

答案　C

解析　设物体的加速度大小为a，m时间内的初速度大小为v1，末速度（即b时刻的速度）大小为v2，

根据x＝v0t＋

at2，得：

S＝v1m－

am2①

S＝v2n－

an2②

v2＝v1－am③

①②③联立得：

v2＝

，故选C.

11.（2018·山东烟台质检）如图11甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点（t＝0），A、B两车的v－t图象如图乙所示.已知B车在第1s内与A车的距离缩短了x1＝12m.

图11

（1）求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小.

（2）若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时（t＝0）两车的距离x0应满足什么条件？

答案　

（1）12m/s　3m/s2　

（2）x0>36m

解析　

（1）在t1＝1s时A车刚启动，两车间缩短的距离x1＝vBt1

代入数据解得B车的速度vB＝12m/s

A车的加速度a＝

将t2＝5s和其余数据代入解得A车的加速度大小a＝3m/s2

（2）两车的速度达到相等时，两车的距离达到最小，对应于v－t图象的t2＝5s时刻，此时两车已发生的相对位移为梯形的面积，则x＝

vB（t1＋t2）

代入数据解得x＝36m

因此，若A、B两车不会相撞，则两车的距离x0应满足条件：

x0>36m.

12.斜面长度为4m，一个尺寸可以忽略不计的滑块以不同的初速度v0从斜面顶端沿斜面下滑时，其下滑距离x与初速度二次方v02的关系图象（即x－v02图象）如图12所示.

图12

（1）求滑块下滑的加速度大小.

（2）若滑块下滑的初速度为5.0m/s，则滑块沿斜面下滑的时间为多长？

答案　

（1）2m/s2　

（2）1s

解析　

（1）由v02＝2ax推知，图线斜率为

，根据题图可知，

＝

，所以滑块下滑的加速度大小a＝2m/s2.

（2）由题图可知，当滑块的初速度为4m/s时，滑块刚好滑到斜面最低点，故滑块下滑的初速度为5.0m/s时能滑到斜面最低点.设滑块在斜面上的滑动时间为t，则x＝v0t－

at2，x＝4m，v0＝5m/s，解得t＝1s，t＝4s（舍去）.