导数与函数的单调性练习题.docx

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导数与函数的单调性练习题

导数练习（三）导数与函数的单调性基础巩固题：

1.函数f（X）=^--I-在区间（-2,+8）上为增函数，那么实数a的取值范囤为（）

x+2

丄>丄》2

222

2•已知函数‰）=√+2x+^lnx,若函数f（0在（OJ）Jl单调，则实数日的取值范国是（）

A.日MoB.a<,-4C.aM0或a≤-4D.日>0或X—4

9

3.函数fg=χ+—的单调区间为.

X

4.函数y=+一疋的单调增区间为,单调减区间为>

5.确定下列函数的单调区间:

（1）∕=√-9√+24x

（2）y=3χ-χ

6.函数y=ln（√-χ-2）的单调递减区间为・

7.已知y=i√+∕>√+ω+2）x÷3在R上不是单调增函数，则占的范国为.

8.已知x∈R,求证：

e*≥λ÷1・

9.已知函数f（x）=x3+bx2+cx+〃的图象过点P（0,2）,且在点M（-1,f（-1））处的切线方程为6x-y+7=0・（I）求函数y=f（x）的解析式；（II）求函数y=f（x）的单调区间.

11.已知函数f（x）=x3-lχ2÷bx+c.⑴若f（x）在（-oo,+oo）上是增函数，求b的取值范围;

2

12•已知函数f（x）=x（xH）（χ-a）在（2,+∞）上是增函数，试确定实数a的取值范国.

2

13.已知函数f（x）=4x+cιx2--x3（XeR）在区间[一1,1]JL是增函数，求实数α的取值

范围・

14•已知函数f（X）=X+bx2+ax+d的图象过点P（0,2）,且在点M（—1,/（一1））处的切线方程6x-y+7=0,

（1）求函数y=f（x）的解析式：

（2）求函数y=f（x）的单调区间。

强化提高题：

16•设£3、g（*）是R上的可导函数，f（χ）,g,3分别为f（%）>g（χ）的导函数，且满足尸ω^ω+∕rω√ω

A.f（x）g（,b）>f（6）gr（,x）B.f（x）g（a）>f（,a）g（x）C.f（x）g（x）>f（b）g（b）

D.f（x）g3>f（∕>）g（d）

17.若函数y=√-a√+4在（0,2）内单调递减.则实数日的取值范囤是・

18.已知函数f（^=aχ-∖nx9若f（x）>1在区间（1,+8）内恒成立，实数日的取值范围

为.

■

19.函数y=xe'M的单调递增区间是.

20若JXX）=ax3+bx2+cx+d（a>0）在/?

增函数，则aj^c的关系式为是

24.若函数f（x）=-x3--uλ2+（a-l）x+1在区间（1,4）內为减函数，在区间（6,+oo）

32

上为增函数，试求实数α的取值范国•

25.设函数f（χ）=χ÷-（a>0）.

（1）求函数在（0,+8）上的单调区间.并证明之；

（2）若函数X

f（x）在［a-2,+8］上递增，求a的取值范围.

26.已知函数y=日X与y=—色在（0,+o°）上都是减函数，试呦定函数y=ax+bx+5的单

X

调区间・

27设«>0J（X）=—+—是R上的偶函数.

（1）求α的值；

（2）证明/（x）在（0,÷∞）Clex

上是增函数。

28.求证：

方程Z-PinX=0只有一个根x=0.

29已知f（x）=√+c,且f［心］=f（√+1）

⑴设g3=心0］,求g3的解析式;

（2）设φ（X）=^（X）—λf（x）,试问：

是否存在实数儿使0（Ar）在（―∞,—1）内为减函数,且在

（―1,0）内是增函数.

课外延伸题：

30.方程√-3x÷c=0在［0,1］上至多有个实数根

31・若函数f（x）=√-3x+a有三个不同的零点，则实数曰的取值范围是

32.（2010湖北黄冈中学模拟，19）已知定艾域为［0,1］的函数f（x）同时满足：

①对于任意的x∈［0,1］,总有f（x）≥0;®f

（1）=1;③若xι≥O,x2≥0,xι÷x2≤1,则有f（×ι+x2）≥f（xι）÷f（χ2）.⑴求f（0）的值：

（2）求f（x）的最大值.

XM

33.已知函数f（χ）=（--"'+（--I）?

的定艾域为［m,n）且1Wm

（1）讨论函数f（x）的InX

单调性；

（2）证明：

对任意XX×2∈［m,n］,不等式If（Xl）-f（X2）I〈1恒成立.

高考链接题：

34.

）

D.（2,÷∞）

（2009•广东文，8）函数f（x）=（χ-3）ex的单调递增区间是（

A.（一8,2）B.（0,3）C.（1,4）

35.（2010∙课标全国文）设函数f（x）=x（e-1）-a√・

（1）若4=j,求代0的单调区间：

⑵若当XMO吋‰）≥0,求日的取值范国.

36.（2009江西）设函数/（X）=—

（2）

若k>09求不等式/（x）+k（l-x）∕（x）>O的解集.

；■导数与函数的单调性

基础巩固题：

1•函数f（X）=Hd■在区间（-2,+8）上为增函数，那么实数a的取值范囤为（）

x+2

丄>-A2

222

]2"

答案：

C解析：

Vf（X）=a+^^∙在（-2,+8）递增，Λ1-2a<0,即a>丄.

x+22

2•已知函数‰）=√÷2x+alnx,若函数f（0在（0,1）上单调，则实数曰的取值范因是（）

A.B.a<,-4C.日Mo或a≤-4D.日>0或a<—4

答案：

C解析ω=2x+2+-tf（x）在（0,1）上单调，:

.f3M0或尸3WOX

在（0,1）上恒成立，即2√+2x+a^0或2√+2x÷a≤0在（OJ）上恒成立，所以a≥-（2,+20或曰W-（2/+20在（0,1）上恒成立•记^（X）=-（2√÷2x）,0

Q

3.函数£（*）=“+-的单调区间为.

X

Qv^—Q

答案：

（一3,0）,（0,3）解析：

rω=ι一-令rω

或0

4函数y=χ2-X3的单调增区间为,单调减区间为,

22■2

答案：

（0,—）:

（-oo,0）,（-,+co）解析：

y=-3x2+2x=0.X=O,WcX=—

5.确定下列函数的单调区间:

（1）∕=x3-9√+24x

（2）j^3x-√

（1）解：

/=（√-9x2+24x）z=3x2-18^∙24=3U-2）（%-4）

令3（L2）（χ-4）>0,解得x>4或x<2.

Λj^x3-9√÷24x的单调增区间是（4,+8）和（-oo,2）

令3（χ-2）（χ-4）VO,解得2

・：

.y=x-9x^24x的单调减区间是（2,4）

（2）解：

/=（3χ-√）z=3-3√=-3（√-1）=-3（x÷1）（X-I）

令一3（λ+1）（X-I）>0,解得-1

/.y=3χ-χi的单调增区间是（-1,1）.

令一3（a÷1）（X-I）<0,解得”>1或x<-1.

Λy=3χ-χ的单调减区间是（一8,-I）和（1,+8）

6.函数y=ln（√-χ-2）的单调递减区间为・

［答案］（一8,-1）［解析］函数y=ln（√-χ-2）的定狡域为（2,+∞）U（-∞,—1）,令f（x）=X-A—2,f,（X）=2“一1<0,得

/.函数y=In（X—X—2）的单调减区间为（一8,—1）

7.已知y=p+∕>√+（^+2）x÷3在R上不是单调增函数，则b的范国为.

［答案］M-I或6>2［解析］若yf=x+2bx+b+2^O恒成立.则'=A-Mb+2）WO,Λ-1≤∕>≤2,由题意6V-1或b>2.

8.已知x∈R,求证：

e≥λ÷1・

证明：

设f（x）=eA-X—1,则f（x）=e*-1・

•••当Wo时，f（x）=0,f（x）=0.

当”>0时，f（x）>0,Λf（X）在（0,+8）上是增函数.Λf（X）>f（0）=0.

当XVo时，f（x）<0,f（X）在（一8,0）上是减函数，Λf（x）>f（0）=0.

9.

已知函数y=^∙-t试讨论出此函数的单调区间.X

解得x>∖或*一1・•••尸丹丄的单调增区间；是（-∞,一1）和⑴

X

<0,解得一IVXO或OVX1・Λy=A÷-的单调减区间是（-1t0）和（0,1）

X

10.已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0,2）,且在点M（—1,f（-1））处的切线方程为6λ-v+7=0・（丨）求函数y=f（x）的解析式；（II）求函数y=f（x）的单调区间.

解：

（I）由f（x）的图象经过P（Ot2）,知d二2,

所以/（X）=x5÷bx2+CX+2,f,（x）=3x2+2bx+¢.

由在M（-1,f（-1））处的切线方程是6x-y÷7=0,知

-6-/（-1）+7=0,艮厅（一1）=LyVl）=6..（3-2Z?

+c=6,即∫2Z?

-C=一3，

∙*l+b-c+2=l.1方-C=0,解得b=c=-3.

故所求的解析式是/（λ）=a3-3x2-3x+2.

（II）广（.丫）=3f-6x-3・令3f-6.Y-3=0,即X2-2x—1=0.解得Xl=I-y∕29x2=1+χ∕∑.当x<ι-VI赵>1+√⅛f,∙厂（X）>0；当1一√2

故.f（x）在（YU-√Σ）内是增函数，在（1-√I1+√Σ）内是减函数，在（l+∖2+x）内是增函数.点拨：

本题考查函数的单调性.字数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问題的能力・

解

（1）∕,ω=3χ2-χ+b,因f（x）在（-8.+8）上是增函数,则f（χ）≥0.即3xJ+bM0,

Λb≥χ-3x2在（一8,+8）恒成立•设g（χ）=χ-3x2.当X=丄时,g（χ）nax=_,Λb≥—.

6121212•已知函数f（x）二X（X-I）（X-a）在（2,+∞）上是增函数，试确定实数a的取值范囤.解f（x）=x（XT）（χ-a）=x3-（a+1）x2+axΛ∕z（x）=3x2-2（a÷1）x+a要使函数

f（x）=x（χ-1）（χ-a）在（2,+8）上是增函数，只需∕χx）=3x2-2（a+1）x+a在（2,÷∞）上满足

f∖χ）≥0即可.Vf∖x）=3χ-2（a÷1）x+a的对称轴是X=—,

2

13.已知函数f（x）=4x+Ctx2--X3（X∈R）在区间［一1,1］上是增函数，求实数α的取值范围.

解：

/（x）=4+2^v-2√,因为f（χ）在区间［一1,1］上是增函数，所以/（x）≥O对xw［-l,l］恒成立，即XI-OX-2

-l≤α≤l所以实数α的取值范国为［一1,1］.

点拨：

已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：

即“若函数单调递增，S>∣/（λ）≥O:

若函数单调递减，则/U）≤O”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解.

14•已知函数f（X）=X3+bx2+ax+d的图象过点P（0,2）,且在点M（—1,/（-1））处的切线方程6x-y+7=0,

（1）求函数y=/（x）的解析式：

（2）求函数y=f（x）的单调区间。

解：

（1）由/（x）的图象经过P（0,2）,知d=2,所以f（x）=xi+bx2+cx+2tf,（x）=3x2+2bx+c由在点M（—1,/（一1））处的切线方程为6x-y+7=0

3—2Z?

+c=6∙∙∙/（-l）=l√f（-l）=6即•••解得b=c=-3

-1+∕7-c+2=1

故所求的解析式是/（X）=X3-3x2-3x+2

（2）∕‰v）=3x2-6λ-3令3x2-6x-3=O,解得XI-I-√2,x2=1+√2当xl+√Σ时，广（X）>0

当I-yt∣2

故/（x）=x3-3√+2在（Y,1-√Σ）内是增函数，在（l-√2,l+√2）内是减函数在（l+√2,+eθ）内是增函数

点拨：

本题考查函数的单调性.字数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问題的能力・

解析：

f,（X）

2d）2—（2χ-6）•2（“一1）

OPir

-2x+2b-22[χ-（/?

-!

）]

U-D3U-D3

令f'（X）=0,得x=b-↑且x≠1.当b-↑<↑f即b<2时，f,（0的变化情况如下表:

X

（一8,b-↑}

方一1

（^-1,1）

（1,÷o°）

ffω

—

0

+

—

当b-1>1,即b>2时，f,（力的变化情况如下表:

X

（-°o,D

（1,6—1）

b-↑

（b—1,÷∞）

ff（%）

—

+

0

—

所以，当b<2时，函数"力在（一8,6—1）上单调递减，在（b-1,1）±单调递增，在（1,+8）上单调递减・

当b>2时，函数f（0在（一8,1）上单调递减，在（1,6—1）上单调递增，在（Z^-1,+8）上单调递减.

2

当b~↑=1T即b=2时，f（x）==Γ［,所以函数f（"）在（一8,1）上单调递减，在（1.+8）上单调递减.

强化提高题：

16•设fg、gd）是R上的可导函数，f（x）,g,（力分别为fgg（0的导函数，且满

足尸3g（x）+f（"）g'（x）<0,则当a

A.f（x）g（b）>f（6）g（x）B.f3gQ）〉f3g3

C.∕r3g3>f（6）g（b）D.∕r3g（x）>f（6）g（d）

答案:

C解析:

令P=f（x）∙g（x）,则y,=f（x）∙g{x）+f（x）∙g,（X）,由于尸（x）g（x）

+f（χ）g,（XXOt所以y在R上单调递减，又xf（6）g（6）.

17.若函数y=χ-ax+4在（0,2）内单调递减.则实数日的取值范囤是・

［答案］［3,÷∞）［解析］y,=3√-2ax,由题意知3√-2aK0在区间（0,2）内恒成

立，

3

即日>尹在区间（0,2）上恒成立，•••日M3.

18.已知函数f（^）=aχ-∖nx9若f（x）>1在区间（1.+8）内恒成立，实数日的取值范围为.

［答案］日M1［解析］由已知曰>吐匕匕在区间（1,+8）内恒成立.

X

/X1+∣n”r,1ZZXIn—c/、八•/X1÷Irr八I、

设g3=,贝巾g（X）=<0（x>1）,∙∙g（x）=在区间（1,+∞）

XXX

内单调递减，∙∙∙g3

（1）=1,•••上MVl在区间（1,+8）内恒成立•

X

Λa≥1.

19.函数y=√e^x的单调递增区间是.

答案：

（0,2）解析：

yt=（2λ~√）e"x>0≠≠0

20.若f{x）=ax3+bx2+cx+d（a>0）在/?

增函数，则a,h,c的关系式为是

21・若函数y=-1X^bX有三个单调区间.則b的取值范围是・

3

答案：

b>Q解析：

y,=-4√+∕>,若/值有正、有负，则6>0・

22.定义在R上的奇函数f（x）在［-a,-b］（a>b>O）上是减函数且f（-b）>0,判斷F（x）=［f（x）］2在［b,a］上的单调性并证明你的结论.

解析：

设b≤xι<χ2≤a,则

-b≥-Xι>-×2^-a・

Vf（X）在［-a,-b］上是减函数,Λ0

Λ0<-f（x1）<-f（x2）,

则f（x2）

ΛF（x）在［b,a］上为增函数・

23.设函数f^=x~3ax+3bx的图象与直线12x÷y-1=0相切于点（1,-11）.

（1）求3、6的值：

（2）讨论函数f（x）的单调性.

［解析］

（1）求导得尸ω=3√-6ax+3∕>.

由于f（x）的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1,-11）,所以f

（1）=-11,f

（1）

=T2,

1-3a+3∕>=-11

即LZ1Oz.-“，解得曰=Xb=-3.

3—6a+36=—12

⑵由曰=1,b=-3得尸ω=3√-6ax+3Z^=3（√-2χ-3）=3（x÷1）（χ-3）.

令尸（x）>0,解得*一1或Q3：

又令尸（x）<0,解得一1<«3.所以当x∈（-∞,-

1）时，f（x）是增函数：

当x∈（3,+8）时，f（x）也是增函数；当x∈（—1,3）时，f（x）是减函数.

24.若函数f（χy）=-x3--ax2+（a-V）x+l在区间（1,4）内为减函数，在区间（6,+<>o）

32

上为增函数，试求实数α的取值范国.

解：

f,（x）=X2-ax+a-l=（X-I）［x-（λ-1）］,

令广（X）=O得X=1或X=“一1,

・•・当XG（1,4）时，∕,（x）≤O,当x∈（6,-κ>o）⅛,ff（x）≥O,

∙∖4≤6/—1≤6,.∖5≤a≤7・

25.设函数f（X）=X÷-（a>0）.⑴求函数在（0,+8）上的单调区间.并证明之；

（2）若函数

f（x）在［a-2,÷∞J上递增，求a的取值范围.

解析：

（1）f（x）在（0,+8）上的增区间为［、方，+8］,减区间为（O,√^^）.

证明：

∙∙∙f'（X）=I-Λ,当X∈［√Λ,÷∞］时，

Jr

Λf,（x）>0,当x∈（0,4a）Bt,f,（x）<0.

即f（x）在［J万+8］上单调递增，在（0,需）上单调递减.（或者用定艾证）

（2）［a-2,+8］为［亦，+8］的子区间，所以a-2M苗二>a-亦-2M0=>（亦+1）（府-2）M0=>V^-2M0=>aM4.

26.已知函数y=ax与y=—'在（0,+o°）上都是减函数，试确定函数y=ax+bx+5的单

X

调区间・

解析：

可先由函数y=ax与A=—。

的单调性确定念6的取值范围，再根据日、b的

X

取值范囤去确定y=ax+bx^-5的单调区间.

［解］T函数y=ax与f=—2在（O,+o°）上都是减函数，Λa<0,b

由y=ax'+bx÷5得y,=3a×+2bx.

OIb

令/>0,得3a√+2bx>0,Λ--

当x∈（—寻，0）时，函数为增函数.令y,V0,即3a√+2bx<0,

2bV

/.x<—或x>Q.

6a

27设α>OJ∖x）=-+-是R上的偶函数，

（1）求d的值：

（2）证明/（x）在（O,+oC）αex

上是增函数。

28.求证：

方程SinX=0只有一个根X=0.

[证明]设f（x）=“一*sinx,x∈（-oo,+8）,

则f,（x）=1-~cosx>0,

・•・£（"）在（一8,+8）上是单调递增函数.而当x=0Btff（x）=Of

方程x—苏inx=0有唯一的根x=0.

29已知f（x）=√+c,且f[f（x）]=f（√+1）

⑴设g3"[f3],求g3的解析式;

（2）设φ（X）=^（X）—λf（x）,试问：

是否存在实数人，使03在（―∞,—1）内为减函数，且在

（―1,0）内是增函数.

解：

⑴由題意得f[f（x）J=f（√+c）=（√÷c）2÷c

f（√+1）=（√+1）2+c,Vf[f3]=f（√+1）

/.（x2÷c）2+cc=（x÷1）2÷c,

Λx2+

∙∙"3=√÷1^W=f[f3]=f（χ÷D=（√÷1）2+1

（2）φω=g3一λf（x）=X4+（2-Λ）√+（2-λ）

若满足条件的/1存在.则0'3=4,+2（2—/1）”

T函数Φ（x）在（―∞,—1）上是减函数，

•••当XV-I时，φ,（X）Vo

即4,+2（2—λ）x

Λ2（2—λ）>—4x,

Vx<-1lΛ-4√<-4

Λ2（2-λ）≥-4,解得λ≤4

又函数0（方在（一1,0）上是增函数

•••当一1VXV0时，φ,（x）>0

即4/+2（2—久）“>0对于XE（-1,0）恒成立

/.2（2—λ）V—4”；

V-IVxVOt-4<4x2<0

：

.2（2~Λ）≤-4,解得λ≥4

故当/1=4时，0（”）在（-oo,-1）JL是减函数.在（一1,0）上是增函数，即满足条件的

λ存在.

课外延伸题：

30.方程x3-3λ÷c⊂O在［0,1］上至多有个实数根

答案：

1解析.设f（x）=√-3x÷c,则广（x）=3√-3=3（x2-1）.当XW（0,1）时，•厂（Q〈0恒成立・

Λf（%）在（0,1）上单调递减.

Λf（x）的图象与"轴最多有一个交点.

因此方程丿一3Hb0在［0,1）上至多有一实根.

31・若函数f（x）=√-3x+^有三个不同的零点，则实数日的取值范围是

答案：

一2<*2解析：

f（x）=3x2-3=3（x÷1）（X-I）・

令尸（“）=0,得%=—1或”=1.

Λf（%）在（一8,—1）和（1,+8）上递增，在（-1,1）±递减,

32.（2010湖北黄冈中学模拟，19）已知定艾域为[0,1]的函数f（x）同时满足：

①对于任意