16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用.docx
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16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用
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1.均匀分布1
2.正态分布（高斯分布）2
3.指数分布2
4.Beta分布（分布）.............................................................................2
5.Gamma分布3
6.倒Gamma分布4
7.
威布尔分布（Weibull
分布、韦伯分布、韦布尔分布）
.................5
8.
Pareto分布................................................................................................
6
9.
Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布）...............................
7
10.
2
.........................................................................
7
分布（卡方分布）
11.
t分布........................................................................................................
8
12.
F分布........................................................................................................
9
13.
二项分布................................................................................................
10
14.
泊松分布（Poisson分布）.............................................................
10
15.
对数正态分布.......................................................................................
11
1.均匀分布
均匀分布X~U（a,b）是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。
f（x）
1
ba
.
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ab
E（X）
2
（ba）2
Var（X）
12
2.正态分布（高斯分布）
当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量
很可能服从正态分布，记作X~N（,
2）。
正态分布为方差已知的正态分布
N（,2）的参数
的共轭先验分布。
1
（x）2
e2
2
f（x）
2
E（X）
2
Var（X）
3.指数分布
指数分布X~Exp（）是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。
其
中
0为尺度参数。
指数分布的无记忆性：
PXst|XsP{Xt}。
f（x）ex,x0
E（X）
1
Var（X）
1
2
4.Beta分布（分布）
.
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Beta分布记为X~Be（a,b），其中Beta（1,1）等于均匀分布，其概率密度函数
可凸也可凹。
如果二项分布
B（n,p）中的参数p的先验分布取Beta（a,b），实验数
据（事件A发生y次，非事件A发生n-y次），则p的后验分布Beta（a
y,bny），
即Beta分布为二项分布B（n,p）的参数p的共轭先验分布。
（x）
0tx1etdt
f（x）
（a
b）
xa
1（1
x）b1
（a）
（b）
E（X）
a
a
b
Var（X）
ab
b）2（ab
1）
（a
5.Gamma分布
Gamma分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布，解决的
问题是“要等到n个随机事件都发生，需要经历多久时间”，记为X~Ga（a,b）。
其中a0为形状参数，b0为尺度参数。
Gamma分布为指数分布Exp（）的参数、Poisson分布P（）的参数的共轭先验分布。
a
f（x）bxa1ebx,x0
（a）
E（X）
a
b
Var（X）
a
b2
.
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6.倒Gamma分布
倒Gamma分布记为X~IGa（a,b）
。
若随机变量X~Ga（a,b），则
1~IGa（a,b）。
其中a
0为形状参数，b
0为尺度参数。
倒
Gamma分布为指
X
数分布Exp（）的参数1
、均值已知的正态分布N（
2）的参数
2的共轭先验分
布。
f（x）
ba
x（a1）ebx,x0
（a）
E（X）
b
a
1
Var（X）
b2
a
2
（a
1）2（a
2）
.
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7.威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布）
威布尔分布记为X~W（m,
）。
其中m
0为形状参数，
0为尺度参数。
当m
1，它是指数分布；m2
时，是Rayleigh
distribution（瑞利分布）。
常用
于拟合风速分布，并用最小二乘法、平均风速估计法或极大似然法求解其参数。
m1
xm
mx
e
x0
f（x）
E（X）
1
1
m
2
2
Var（X）
2
1
1
1
m
m
.
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8.Pareto分布
Pareto分布记为X~Pa（a,b）。
其中b
0为门限参数，a
0为尺度参数。
Pareto分布是一种厚尾分布。
Pareto分布为均匀分布U（0,
）的参数
的共轭先验
分布。
a
a
1
b
x
b
f（x）
x
b
E（X）
ab
a
1
a1
.
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ab2
Var（X）（a1）2（a2）,a2
9.Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布）
Cauchy分布记为X~Ca（a,b）。
其中a为位置参数，b
0为尺度参数。
中位
数Mode（X）a，期望、方差都不存在。
如果
X1,X2,
Xn是分别符合柯西分布
的相互独立同分布随机变量，那么算术平均数
X1,X2,
Xn
/n服从同样的柯西
分布。
标准柯西分布Ca（0,1）是t分布的一个自由度。
这种分布更适合拟合那种比较扁、宽的曲线。
1
b
f（x）
2
（x
a）2
b
10.
2分布（卡方分布）
n
设X1,X2,,Xn是来自N（0,1）的样本，则称统计量
2
Xi2服从自由度为
i1
n的
2分布，记为
2~
2（n）。
1
n1x
f（x）
n
x2e2,x0
n
22
2
E（X）n
Var（X）
2n
.
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11.t分布
设X~N（0,1），Y~2（n），且X，Y相互独立，则称随机变量tX服从
Y
n
自由度为n的t分布。
记为t~t（n）。
当自由度n时，t分布将趋于N（0,1）。
有时样本量很小，不知道总体的标准偏差，则可以依赖t统计量（也称为t分数）
的分布，其值由下式给出：
X
s
~t（n
1）
，其中X是样本均值，μ是总体均值，
n
s是样本的标准偏差，n是样本大小。
n
1
x
2
n1
2
2
f（x）
n
1
n
n
2
E（X）
0
Var（X）
n
n
n2
2
.
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12.F分布
U
设U~
2（n1），V~
2（n2），且U，V相互独立，则称随机变量F
n1服从
V
n2
自由度为（n1,n2）的F分布，记为F~F（n1,n2）。
设X1,X2,
Xn1与Y1,Y2,,Yn2分
别是来自正态总体N（1,
12）和N（
2,22）的样本，且这两个样本相互独立。
设X，
Y分别是这两个样本的样本均值；
s12，s22分别是这两个样本的样本方差，则有
s12
s22
~F（n1
1,n21）；当
2
2
2
时，
（XY）（1
2）
2），其中
2
1
2
1
1
~t（n1n2
1
2
sw
n2
2
n1
sw2
（n11）s12
（n21）s22
。
n1
n22
n1n2
n1
n1
2
n1
x2
1
2
n2
f（x）
x
0
n
n
1
2
n1
n2
1n1
x
2
2
2
n2
E（X）
n1
n1
2
n1
2
Var（X）
2n12（n1
n2
2）,n1
4
n2（n12）2（n1
4）
.
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13.二项分布
二项分布十分好理解，给你n次机会抛硬币，硬币正面向上的概率为p，问
在这n次机会中有k次（k≤n）硬币朝上的概率为多少。
记为X~B（n,p）。
当n
足够大，且
p不接近于0
也不接近于1时，二项分布B（n,p）可用正态分布
N（np,np（1
p））来近似。
P（X
k）
n!
pk（1
p）nk,p[0,1]
（nk）!
k!
E（X）
np
Var（X）
np（1
p）
14.泊松分布（Poisson分布）
泊松分布解决的是“在特定一段时间里发生n个事件的概率”，记为
.
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X~P（）。
当二项分布满足np时，二项分布近似为泊松分布。
泊松分布P（）
n
当
足够大时，变成正态分布N（,
）。
P（X
k）
ke
0
k!
E（X）
Var（X）
15.对数正态分布
对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。
如果
Y是正
态分布的随机变量，则exp（Y）是对数正态分布；同样，如果
X是对数正态分布，
则ln（X）为正态分布，如果一个变量可以看成是许多很小独立因子的乘积，则这
个变量可以看作是对数正态分布，如拟合风速分布模型，记为
X~LN（,2）。
1
（lnx
）2
e
2
2
x0
f（x）
2
2
E（X）
e
2
Var（X）
（e
2
2
1）e2
16.瑞利分布
当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分布时，这个向量的模呈瑞利分布。
x2
f（x）
x2e22
x0
.
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E（X）
Var（X）
2
42
2
.
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.
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